第1章勾股定理 自主学习同步练习题 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2025-2026学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．以下列各组线段为边，能组成直角三角形的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 2．已知直角三角形的两条直角边长分别是6和8，下列说法正确的是（　　） A．该三角形的斜边长为100 B．该三角形的周长为25 C．该三角形的斜边长为10 D．三角形的面积为48 3．已知的三边长分别是、、，则的面积是（    ） A． B． C． D． 4．如图，有一根电线杆在离地面6米处断裂，电线杆顶部C落在离电线杆底部B点8米远的地方，则断裂之前电线杆的长度为（    ）米 A．10 B．12 C．16 D．18 5．如图，是台阶的模型图．已知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶的高度都是1cm，连接，则等于（　　） A． B． C． D． 6．为打造“宜居、宜业、宜游”的城市环境，迎泽大街将于今年五月份启动改造，九月份正式竣工通车．此次改造新换的路灯为“中华灯”，让迎泽大街更显古朴典雅．如图是吊车安装“中华灯”的示意图，已知为吊车起重臂，长为米，点B到路灯杆的水平距离为米，点B到地面的竖直距离为2米，则起重臂顶端A离地面的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．《九章算术》提供了许多勾股数如，等一组勾股数最大的数称为“弦数”．经研究，若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个数组成勾股数，若m是大于1的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，那么m与这两个数组成勾股数，根据上面的规律，由10生成的勾股数的“弦数”是（    ） A．16 B．24 C．26 D．32 二、填空题 8．在中，，，，则 ． 9．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为 ．    10．我国古建筑的屋顶结构设计融合实用功能、艺术美学于一体，既利于排水采光，又形成灵动曲线，是中华工匠智慧的立体结晶．如图，某古建筑屋顶的人字架是等腰三角形，，，若跨度尺，上弦尺，则中柱的长 尺． 11．如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞 ． 12．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一名学生正对门，缓慢走到离门米的C处时，感应门自动打开．已知感应器离地面的高度为米，这名学生身高为米，则人头顶离感应器的距离等于 米． 13．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点落在边的中点处，压平后得到折痕，则线段的长为 ． 14．由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．图中正方形的面积是10，，则正方形的面积是 ． 15．如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面的点处连接着出水口所在的水管，水管上的点处安装有红外线感应装置，已知出水口到点的距离为，出水口到点的距离为，且，则红外线感应装置距离洗手台面的高度为 ． 16．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行8尺与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送8尺时，即尺．秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”请运用所学知识求出秋千的长是 尺． 三、解答题 17．如图，在中，，垂足为． (1)若，，直接写出的值为 ； (2)若，，求的长 18．在学校组织的研学活动中，需要学生自己搭建帐篷．下图是搭建帐篷的示意图．在中，支架从帐篷顶点支撑在水平的支架上，且于点，经测量得：，，．按照要求，帐篷支架与所夹的角需为直角．请通过计算说明学生搭建的帐篷是否符合条件． 19．如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，． (1)求的长； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 20．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． (1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回A港所需的时间． (2)岛在港的什么方向？ 21．一架云梯长，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端离墙． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少？ 22．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点，再测量绳子底端与旗杆根部点之间的距离，测得距离为． 【解决问题】设旗杆的高度为，通过计算即可求得旗杆的高度． (1)用含的式子表示为_____； (2)请你求出旗杆的高度． 23．著名的赵爽弦图（如图（1），其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为），可以推导出重要的勾股定理．    (1)请你利用图（2）推导勾股定理． (2)如图（3）一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于种种原因，由到的路现在已经不通了，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．是不是从村庄到河边的最近路，请通过计算加以说明；并求比原来的路线近了多少． 参考答案 1．解：A、不能，因为，故不能构成直角三角形； B、不能，因为，故不能构成直角三角形； C、不能，因为，故不能构成直角三角形； D、能，因为，故能构成直角三角形． 故选：D． 2．解：∵直角三角形的两条直角边长分别是6和8， ∴斜边长，故A不正确，C正确； ∴该三角形的周长为，故B不正确； ∴该三角形的面积，故D不正确； 故选：C． 3．解：， 是直角三角形， ， 的面积为． 故选：A． 4．解：由题意可得：在中，米，米， ∴（米）， 故这根高压电线杆断裂前高度为：（米）． 故选：C． 5．解：如图，由题意得， ， 故． 故选：A． 6．解：∵米，米， ∴米， ∵点到地面的竖直距离为2米， ∴米， ∴起重臂顶端离地面的高度为米． 故选：B． 7．解：， ， ， ∴由10生成的勾股数的“弦数”是26， 故选：C． 8．解：∵，，， ∴． 故答案为：4． 9．解：如图，字母A代表的正方形的面积， 故答案为：64．    10．解：，尺， （尺）， ∴（尺）． 故答案为：9． 11．解：如图， 根据题意得：， ∴． 即喜鹊至少要飞． 故答案为：13 12．解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：（米）． 故答案为：米． 13．解：如图①，连接，，， ∵将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕， ∴垂直平分，，， ∴，， 设，则，   在和中， ∴， 即， 解得． 故线段的长为． 故答案为：． 14．解：∵正方形的面积为10，， ∴， ∴在中，， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴正方形的面积． 故答案为：4． 15．解：∵， ∴是直角三角形 ， ∵在中，，， ∴ ， ∵， ∴ ， 红外线感应装置到洗手台面的高度的长为． 故答案为：12． 16．解：由题意可知：尺，尺， ∴（尺）， 设绳索尺，则有尺， 根据题意得：， 即， 解得． 即绳索的长为10尺． 故答案为：10． 17．（1）解：在中，∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； 故答案为：； （2）解：，， ， ， ， 在中，， 即， 在中，， 即， 在中，， 即， 解得． 18．解：∵， ∴． 在中，， ∴， ∴． ∴． 在中，， ∴， ∴． ∵，， ∴； ∴． ∴学生搭建的帐篷符合条件． 19．（1）解：，，，．即的长为； （2）解：，，， ， ， ， ， 即图中阴影部分的面积为． 20．（1）解：由题意， 在中，， 得， ∴． ∴． ∴． 则（小时）， 答：从岛返回港所需的时间为小时； （2）解：∵，， ∴． ∴， ∵一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达岛， ∴ ∴岛在港的北偏西． 21．（1）解：在中，，，， ∴=24()． 答：这个梯子的顶端距地面． （2）在中，，， ∴， ∴． 答：如果梯子的顶端下滑了，那么梯子的底部在水平方向滑动了． 22．（1）解：∵设旗杆的高度为，先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是 ∴米． 故答案为：； （2）解：在直角中，由勾股定理得： ， 即． 解得． 答：旗杆的高度为12米． 23．（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ∴，即； （2）解：是从村庄到河边的最近路，理由如下： 在中，千米，千米，千米， ∴， ∴为直角三角形，， 即， ∴是从村庄到河边的最近路， 设千米，则千米 在中， ， ∴， 解得：， 即千米， 千米． 即比原来的路线近了千米． 学科网（北京）股份有限公司 $$