第1章勾股定理 自主学习达标测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2025-2026学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》自主学习达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列数组中，不是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．9，12，15 C．7，24，25 D．1，2.2，2.5 2．在中，斜边，则的值为（ ） A． B． C． D．无法计算 3．在中，，c为斜边，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线l上有三个正方形A，B，C，若正方形A，C的面积分别为8和15，则正方形B的面积为(    )    A．6 B．7 C．23 D．120 5．如图，在中，，将折叠，使A与的中点D重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”意思是：“今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分还有3尺，拉着绳索沿地面退行，在离木柱根部8尺处时，绳索用尽，如图，问绳索长多少？”设绳索长x尺，可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端A到左墙的距离为，梯子顶端D到地面的距离为，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端C到地面的距离为，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽为（   ）    A． B． C． D． 8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图1），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”；在“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积和是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 二、填空题（满分24分） 9．已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的高长为 ． 10．如图，要在两幢楼房的房顶、间拉一根光缆线（按线段计算），则至少要 米． 11．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子顶端与墙角的距离长为4米，梯子的长为5米，则梯子与墙角的距离为 米． 12．如图，台风过后，一旗杆在B处断裂，旗杆顶部A点落在离旗杆底部C点处，已知旗杆原长，则旗杆在离底部 米的位置断裂． 13．如图，在中，于点D，M为上任意一点，则 ． 14．如图，在长方形纸片中，，，点P在边上，将沿DP折叠，点C落在点E处，，分别交于点G，F，若，则 ． 15．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米，若梯子的顶端沿墙下滑米，这时梯子的底端也恰好外移米，则梯子的长度为 米． 16．如图是一个滑梯示意图，若将滑道水平放置，则刚好与一样长．已知滑梯的高度，，则滑道的长为 ． 三、解答题（满分72分） 17．如图，在中，，是上一点，已知，，，求的长． 18．如图，A、B两个小集镇在河流的同侧，分别到河的距离为千米，千米，且千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 19．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 20．如图，在中，于C，，交与点，垂足为，连接，已知． (1)填空：把图中的两个全等三角形用符号表示出来____________________； (2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明． 已知：如图，在中，，，，，求证：． 21．如图，在中，，点D是上一动点，连接，过点A作，并且始终保持，连接． (1)求证：； (2)若平分交于．求的值． 22．如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 23．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，，显然．（对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半） (1)请用a，b，c分别表示出四边形，梯形的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，在中，，是边上的高，，求的长度； (3)如图4，在中，是边上的高，，求的长． 参考答案 1．解：， ∴A、B、C均为勾股数，不符合题意； D选项中各数不全是整数，故不是勾股数，符合题意； 故选：D． 2．解：∵在中，斜边为， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．解：∵在中，， ∵，， ∴， ∴， 则：， 故的面积是：． 故选：B． 4．解：由题意可得， ，即， 在和中，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即，故选：C．    5．解：设，由折叠的性质可得， 是的中点， ， 在中，， 解得． 故线段的长为4， ∴． 故选：B． 6．解：设绳索长x尺， 由题意并结合勾股定理可得：， 故选：A． 7．解：在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， 故选：A． 8．解：设直角三角形的两条直角边为，斜边为， ∴， ∵正方形的边长为1， ∴， 由图1可知，“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， ∴此时，所有正方形的面积和为：， 由图2可知，“生长”2次后，所有正方形的面积和为：， ， ∴在“生长”了2024次后形成的图形中所有正方形的面积和是：． 故选：D． 9．解：∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长为， 设斜边上的高为， 由题意得， ∴，即此直角三角形斜边上的高长为， 故答案为：． 10．解：过点作于点，则，米，米， ∴由勾股定理得，米， 故答案为：． 11．解：由题意得，米，米， ∴米， 故答案为：3． 12．解：∵旗杆顶部A点落在离旗杆底部C点处， ∴， ∵旗杆原长， ∴， ∴设，则， ∴，解得：， ∴旗杆在离底部的位置断裂， 故答案为：． 13．解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：96． 14．解：∵四边形是长方形， 由翻折的性质可知，， 在和中， ∴， ∴ ∵ ∴ 设，则 ∴， ，， ∴， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 15．解：由题意，得：米， ∴米， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即：， 解得：， ∴米， ∴米． 故答案为：． 16．解：设的长为米． ， 米． 米， 米． 在中，，即：， 解得：， 滑道的长为米． 故答案为：． 17．解：∵，， ∴． 在中， ． 在中， ． 18．解：作点A关于的对称点，连接与交于点M，过点作交延长线于点K，      ∴千米，， ∴， 即的最小值为的长，此时铺设水管的费用最节省， ∵， ∴， 由平行线间距离处处相等可得： 千米，千米， ∴千米， ∴千米， ∴此时总费用为万元． 19．解：∵，，， ∴， 同理可得， ∴， ∴（元）； 答：铺满这块空地共需花费3600元． 20．（1）证明：∵，， ∴，即 ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， 故答案为：，； （2）证明：∵，， ， 21．（1）证明：∵， ∴， ∴，即． 又∵，， ∴； （2）解：如图，连接． ∵， ∴，． ∵， ∴，即， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 22．（1）证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：． 23．（1）解：， ， ， ， ， 化简得：； （2）解：在中，，， ， 是边上的高， ， ； （3）解：设， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$