精品解析：河北省廊坊市2024-2025学年高一下学期期末测试数学试卷

2024～2025学年度高一年级期末测试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在平行四边形中，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 4. 抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数，则下列选项的两个事件中，互斥但不对立的是（ ） A. 事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为偶数” B. 事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为奇数” C. 事件“点数之和不小于8”与事件“点数之和不大于7” D. 事件“点数之积不小于7”与事件“点数之积不大于8” 5. 已知圆台的上、下底面直径长分别为、，侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知平面向量、满足，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，为测量一条河流的宽度，选取了与河宽在同一垂直平面内的两个观测点，，利用无人机在点处测得河岸点的俯角为，河岸点的俯角为，无人机沿方向飞行千米到达点，测得河岸点的俯角为，则（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 8. 如图，正方形和正方形的边长均为2，且它们所在的平面互相垂直，点在线段上运动，点在正方形内运动，，且始终保持，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一次射击决赛中，某位选手射击了一组子弹，得分分别为，，则（ ） A. 该组数据的极差为1.8 B. 该组数据的众数为10.1 C. 该组数据的分位数为9.9 D. 若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等 10. 在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，则满足条件的三角形有两个 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则 11. 在棱长为4的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线，是异面直线 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的内切球的体积为 D. 平面截正方体所得截面的面积为18 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用斜二测画法作出水平放置的正方形的直观图如图所示，则正方形与直观图的周长之比__________. 13. 已知是相互独立事件，且，，则______． 14. 费马点是三角形内到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知在中，角所对的边分别为为费马点.若，则的值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设复数. （1）若是实数，求m的值； （2）若是纯虚数，求复数z的共轭复数. 16. 已知向量，，． （1）求的最小值； （2）若与共线，求与的夹角． 17. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求； （2）求的最大值. 18. 用分层随机抽样从某校高一年级1000名学生的数学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本容量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个.再将40个男生成绩样本数据分为6组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图. （1）由频率分布直方图，求出图中的值； （2）为了进一步分析学生的成绩，按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，再从中抽取2人，求这2人中男生女生各1人的概率； （3）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为66和40，求总样本的平均数和方差. 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，，点E是棱PB的中点，点M是棱BC上的一点. （1）求证：； （2）若，求二面角的余弦值； （3）若直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段BM的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度高一年级期末测试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出． 【详解】由，知复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 2. 在平行四边形中，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的概念及加法运算即可求解. 【详解】. 故选：B. 3. 一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】设黑球的个数为n，根据古典概型概率公式列式求解即可. 【详解】设黑球的个数为n，由古典概型的概率公式可得，解得. 故选：A. 4. 抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数，则下列选项的两个事件中，互斥但不对立的是（ ） A. 事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为偶数” B. 事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为奇数” C. 事件“点数之和不小于8”与事件“点数之和不大于7” D. 事件“点数之积不小于7”与事件“点数之积不大于8” 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，二者能同时发生，不是互斥事件，如(3,4),故A错误； 对于B，二者不能同时发生，也不能同时不发生，点数都是偶数，故B正确； 对于C，二者不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故C错误； 对于D，二者能同时发生，不是互斥事件，如(2,4)，故D错误. 故选:B 5. 已知圆台的上、下底面直径长分别为、，侧面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆台的侧面积公式求出圆台的母线长，进而可求出圆台的高，结合台体体积公式可求得该圆台的体积. 【详解】设圆台的母线长为，则该圆台的侧面积为，故， 取圆台的轴截面，则四边形为等腰梯形， 分别过点、在平面内作、，垂足分别为点、，如下图所示： 因为，，，则四边形为矩形，故， 且， 因为，，，故， 所以，故， 故圆台的高为，因此该圆台的体积为. 故选：C. 6. 已知平面向量、满足，，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量数量积的运算可求出的值，再利用投影向量的定义可求得在上的投影向量的坐标. 【详解】因为，则，且，， 则，可得， 所以，在上的投影向量为. 故选：B. 7. 如图所示，为测量一条河流的宽度，选取了与河宽在同一垂直平面内的两个观测点，，利用无人机在点处测得河岸点的俯角为，河岸点的俯角为，无人机沿方向飞行千米到达点，测得河岸点的俯角为，则（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】D 【解析】 【分析】由题目中条件分别在和中利用正弦定理解方程组可得. 【详解】根据题意可知， 在中，利用正弦定理可得，所以； 又易知， 在中，利用正弦定理可得，所以； 又，因此可得， 因此. 故选：D 8. 如图，正方形和正方形的边长均为2，且它们所在的平面互相垂直，点在线段上运动，点在正方形内运动，，且始终保持，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定证得平面，再结合三角形全等的性质及圆的性质求出最小值. 【详解】如图，过点作，垂足为，连接， 而，，，平面，则平面． 又平面，则，又平面平面， 平面平面，平面，则平面， 平面，于是，而，因此，即， 则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆弧，所以的最小值为． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在一次射击决赛中，某位选手射击了一组子弹，得分分别为，，则（ ） A. 该组数据的极差为1.8 B. 该组数据的众数为10.1 C. 该组数据的分位数为9.9 D. 若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用极差、百分位数、平均数的概念逐项判断即可. 【详解】对于A项，极差等于，故A正确； 对于B项，该组数据的众数为10.1和，故B错误； 对于C项，，故分位数为，故C正确； 对于D项，平均数等于， 去掉后，这两组数据的平均数相等，故D正确. 故选：ACD. 10. 在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的外接圆的面积为 B. 若，则满足条件的三角形有两个 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】应用正弦定理有，进而求外接圆的面积判断A；应用正弦定理判断三角形个数判断B；由锐角三角形及诱导公式有、判断C；假设为钝角即可判断D. 【详解】因为，所以（为外接圆的半径）， 所以，故的外接圆的面积为，故A正确； 若，则，所以无解，故B错误； 若为锐角三角形，则，所以， 所以，同理， 所以，故C正确； 若为钝角，显然满足，但，不满足，故D错误. 故选：AC 11. 在棱长为4的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线，是异面直线 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的内切球的体积为 D. 平面截正方体所得截面的面积为18 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据异面直线的判定定理判断A的真假；构造异面直线所成的角，解三角形求两直线所成角的余弦；先判断三棱锥是正四面体，利用体积法求其内切球的半径，进而求内切球的体积，判断C的真假；作出截面，再求截面面积，判断D的真假. 【详解】对A：如图： 取中点为，连接，，， 因为，所以共面，且平面， 又平面，，平面，所以直线与异面.故A正确； 对B：取的中点，取的中点，则， 所以为直线与所成的角或其补角. 连接，在中，，，， 由余弦定理得：， 即直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对C：如图： 由题意，三棱锥为棱长是的正四面体，设其内切球的球心为O，半径为R， 所以， 又， 所以，解得， 则三棱锥的内切球的体积为，故C错误； 对D：如图： 延长，交于点，连接交于点，连接， 因为平面平面，平面平面，平面平面，所以. 在梯形中，，，. 则梯形的高为， 所以等腰梯形的面积为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 用斜二测画法作出水平放置的正方形的直观图如图所示，则正方形与直观图的周长之比__________. 【答案】 【解析】 【分析】设正方体的棱长，再利用画直观图的规则求出直观图的周长即可. 【详解】设正方形的边长为，则正方形的周长为， 直观图中,，则其周长为， 所以正方形与直观图的周长之比为. 故答案为：. 13. 已知是相互独立事件，且，，则______． 【答案】0.426 【解析】 【分析】根据事件独立求出，再利用求出答案. 【详解】因为是相互独立事件，所以， 所以． 故答案为：0.426 14. 费马点是三角形内到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．已知在中，角所对的边分别为为费马点.若，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知求得，进而有且费马点在三角形内部，，再应用三角形面积公式列方程得，再由向量数量积的定义求目标式的值. 【详解】由，显然最大角为， 由余弦定理得， 又，所以为小于的钝角，且， 所以费马点在三角形内部，且， 所以， 则， 所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设复数. （1）若是实数，求m的值； （2）若是纯虚数，求复数z的共轭复数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法运算化简，根据实数条件得到虚部为零，求得的值； （2）利用复数的除法运算化简，利用纯虚数的条件求得的值，进而得解. 【小问1详解】 由题知 若是实数，则，解得； 【小问2详解】 由题知 若是纯虚数，则，解得，所以. 16. 已知向量，，． （1）求的最小值； （2）若与共线，求与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算以及模长的坐标表示，结合二次函数的性质，可得答案； （2）根据共线向量以及数量积与模长的坐标表示，利用向量夹角的计算公式，可得答案. 【小问1详解】 由，，可得， 则， 故当时，取得最小值，即时，取得最小值． 【小问2详解】 ，， 由与共线可得，解得， 则，，，， 设与的夹角为，所以， 因为，所以． 17. 记锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式化简，结合正弦定理可得角； （2）根据正弦定理进行边角互化，结合三角函数性质可得最值. 【小问1详解】 由已知， 即， 又在中，， 则， 可得，即， 又由正弦定理可知， 即， 又， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得，， 则， 又在中，， 即， 由，，则， 所以当，即时，取最大值为. 18. 用分层随机抽样从某校高一年级1000名学生的数学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本容量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个.再将40个男生成绩样本数据分为6组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图. （1）由频率分布直方图，求出图中的值； （2）为了进一步分析学生的成绩，按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，再从中抽取2人，求这2人中男生女生各1人的概率； （3）已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为66和40，求总样本的平均数和方差. 【答案】（1） （2） （3）平均数和方差分别为68和105.1 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为1计算可得； （2）先根据分层抽样求出男女生人数，再由古典概率计算可得； （3）求出总样本的平均数，利用整体方差和局部方差的相关公式求出答案. 【小问1详解】 由图形可得，解得. 【小问2详解】 男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人， 则抽取男生人数为，女生人数为3人， 设男生为，女生为， 抽取两人的情况为：，共10种， 再从中抽取2人，这2人中男生女生各1人的情况为： 所以概率为. 【小问3详解】 设男生成绩样本平均数为，方差为， 女生成绩样本平均数，方差为，总样本的平均数为，方差为， ． ． 所以总样本的平均数和方差分别为68和105.1． 19. 如图，在三棱锥中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，，点E是棱PB的中点，点M是棱BC上的一点. （1）求证：； （2）若，求二面角的余弦值； （3）若直线EM与平面所成角的正弦值为，求线段BM的长. 【答案】（1）证明：取AB的中点F，连接PF，因为是边长为2的等边三角形， 所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以. 在中，，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求证平面即可得证； （2）取BF的中点O，连接EO， 过点E作，垂足为G，连接OG，求证平面得到为二面角的平面角，求出即可得解； （3）先求证平面得到点M不同于点C，过点M作，垂足为H，进而求证平面得直线EM与平面所成的角为，设，由得到，再由即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取BF的中点O，连接EO，因为E为线段PB的中点， 所以，， 由（1）知，平面，又平面，所以，所以. 过点E作，垂足为G，连接OG，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角. 因为平面，又平面，所以， 又，所以， 所以，即，解得. 因为平面，平面，所以， 又，所以，所以， 所以， 即二面角的余弦值为. 【小问3详解】 因为平面，平面，所以， 又是边长为2的等边三角形，点E是棱PB的中点，所以， 又，平面，所以平面. 显然点M不同于点C，过点M作，垂足为H，又平面， 所以，又，平面， 所以平面，所以直线EM与平面所成的角为. 设，所以，， 在中，， 所以，即， 所以，所以， 解得或（舍），即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $