精品解析：陕西省西安市铁一中学2025届高三上学期模考(三)子题1数学试题

【高2025届】2024－2025学年度第一学期高三模考（三） 子题1 满分：150分 时长：110分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题所给的选项中，只有一个正确） 1. 复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用复数的四则运算化简，得到的代数形式，即可得点坐标. 【详解】， 该复数在复平面内对应的点的坐标为． 故选：A 2. 已知，点D在线段BC上（不包括端点），向量，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算确定，且，再将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知向量且点D在线段BC上（不包括端点）， 则设，则, 则，结合，可得，且， 故， 当且仅当，结合，即时取得等号， 即 的最小值为， 故选：D 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合等差数列性质求，再结合等差数列求和公式和性质求. 【详解】因为数列为等差数列， 所以，又， 所以， 所以，又， 所以. 故选：D. 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立和求出即可得解. 【详解】因为，所以，所以， 整理得①， 又，所以②， 联立①②求解得， 所以. 故选：C 5. 如果，，，，成等比数列，那么（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式和下标和性质直接求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，则，， ，. 故选：C. 6. 已知，，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知算出，根据投影向量的定义即可求解. 【详解】因为，所以，即， 又因为，设的夹角为，所以，在上的投影为：， 所以在上的投影向量为. 故选：C. 7. 已知，，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切的倍角公式求得，再结合正切的和角公式求得，结合的范围，即可求得结果. 【详解】； ， 又，，故，， 又，，故，则. 故选：B. 8. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列命题： ①； ②； ③在上的投影向量为； ④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4． 其中正确的命题个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】正八边形中，每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2，然后再由数量积的运算判断①②,由投影向量和投影数量判断③④得答案． 【详解】由题意可知，正八边形每个边所对的角都是，中心到各顶点的距离为2， 对于①，，故①错误； 对于②，，则以，为邻边的对角线长是的倍， 可得，故②正确； 对于③，在上的投影向量为，故③正确； 对于④，设的夹角为，则，其中表示在上的投影数量， 易知,延长DC交AB延长线于Q,当P在线段DC上运动，投影数量最大， 易知为等腰直角三角形，且, 则在中，, 在等腰三角形中， 则 .故④正确. 则正确的个数共有3个. 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题问题④的关键是利用数量积的几何意义确定在上的投影的最大值. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题所给的选项中，有多个正确选项，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的最小值为9 D. 若，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由即可判断；对于B，由不等式性质即可判断；对于C，由基本不等式“1的整体代换”即可分析求解；对于D，由结合重要不等式即可判断. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，因为，所以当有，故B正确； 对于C，且， 则， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，因为，，且，当且仅当时等号成立， 所以，即， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，故D正确. 故选：BD. 10. 已知数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，且，则 B. 若是等比数列，且，则 C. 若，则是等差数列 D. 若是公比大于1的等比数列，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用等差数列和等比数列的求和公式判断选项AB;利用判断选项C；通过举例，判断选项D. 【详解】对于A，若是等差数列，则， 且，故 ，故A正确； 对于B，若是等比数列，则当时，， 且，则； 当时，，舍去，故B正确； 对于C，若，则，， ，故，所以不是等差数列，故C错误； 对于D，若，则, 此时，不满足，故D错误. 故选：AB 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调递减区间为 B. 函数的切线过原点，则该切线的斜率为 C. 若方程有两个不同的实数根，则 D. 函数在区间上不单调，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数判断单调区间和单调性可得A错误；设切点，利用导数的意义求出斜率，再由切点在直线上和点斜式方程求出切线方程，最后代入原点求出斜率可得B正确；利用导数得到单调性求出，再数形结合求出的取值可得C正确；利用导数求出单调区间后再令，求出可得D正确. 【详解】A：， 令，解得， 所以当时，，为增区间；在上单调递增减，故A错误； B：设切点为， 由导数可得切斜的斜率为， 又， 由点斜式可得切线方程为， 因为函数的切线过原点，代入可得 ， 所以切线的斜率为，故B正确； C：由A可得，在单调递增，在上单调递增减， 所以， 又时，；时，， 所以若方程有两个不同的实数根，则，故C正确； D：由A可知，若函数在区间上不单调， 则，解得，故D正确； 故选：BCD. 12. 对于，（角所对的边分别为中的余弦定理是），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则一定为等腰三角形 B. 若，则一定为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，则一定为锐角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正弦定理和诱导公式计算即可判断A；由正弦定理化简即可判断B；由余弦定理和基本不等式计算化简即可判断C；根据诱导公式和两角和的正切公式化简计算即可判断D. 【详解】对于，在中，若， 因为， 则或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故错误； 对于，若， 由正弦定理得，所以一定为等腰三角形，故B正确； 对于，由余弦定理， 得，又， 所以， 即， 即， 又，当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为12， 所以，所以， 又因，所以，故错误； 对于D， ， 所以， 所以， 所以三个数有0个或2个为负数， 又因为最多一个钝角， 所以，即都是锐角， 所以一定为锐角三角形，故正确. 故选：BD. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 设函数，则使得成立的的解集是____________． 【答案】 【解析】 【分析】判断函数的性质，再利用性质求解不等式. 【详解】函数的定义域为R，，则为奇函数， 又函数分别为R上的增函数和减函数，于是是R上的增函数， 不等式化为， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 14. 如图，在中，，则_______ 【答案】## 【解析】 【分析】将用基底两个表示，后用数量积运算性质,结合垂直的向量结论计算即可 【详解】， 由于则，则. 故答案为：. 15. 设数列的前n项和满足，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由，两本同除以，可构造是等差数列，由此可求出 ，再利用，即可求得 【详解】由，得 是以为首相，1为公差的等差数列， ， ， 当 时，， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了由数列的递推关系式，求数列的通项公式，是常考题型，属于中档题. 16. 若存在正实数x，使得不等式成立，则a的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用同构法先把不等式化为，构造函数，利用函数单调性，转化为，再分离参数得，再求函数的最大值即可. 【详解】由， 又，所以. 设，则， 所以在上单调递增. 所以（）. 设（），则， 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以. 因为存在正实数x，使得不等式成立，所以. 即的最大值为：. 故答案为： 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 四、解答题（本题共70分） 17. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2），. 【解析】 【分析】（1）利用得出数列是等比数列，从而可得通项公式； （2）由已知求得，得出是等差数列，求出其前项和，然后根据绝对值的性质得出数列与的前项和的关系，从而求得结论． 【小问1详解】 由，则当时 两式相减得，所以. 将代入得，， 所以对于，故是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. 【小问2详解】 . ， 因为当时，当时， 所以当时，， 当时，. 故. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调区间. 【答案】（1） （2） 若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【解析】 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）求导可得，分类讨论的符号以及与0的大小关系，利用导数判断原函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率为， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 由题意可知：的定义域为，且， （i）若，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； （ⅱ）若，令，解得或， ①当，即时， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； ②当，即时，则，可知在内单调递增； ③当，即时， 令，解得或；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递减区间为，单调递增区间为. 19. 在中，，点D在BC上，满足，． （1）若，求的面积； （2）求余弦值的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，在中和中，分别用余弦定理表示出，由等式解出，面积公式求的面积； （2）设，，由，余弦定理得，代入中结合基本不等式求最小值. 【小问1详解】 设，则，． 在中，． 在中， ，解得，故， 所以． 【小问2详解】 设，，则，． 因为，所以， 即，整理得． 在中， ， 当且仅当，即，时取等号， 经检验，此时三角形存在，符合题意． 所以∠ADC余弦值的最小值为． 20. 已知数列中，，且，为数列的前n项和，，数列是等比数列，，． （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1），； （2）数列的前项和为. 【解析】 【分析】（1）由关系证明数列为等差数列，由此可求数列的通项公式，再求数列的通项公式，设数列的公比为，由条件列方程求，，结合等比数列通项公式可得结论. （2）由（1）可得，利用裂项相消法求数列的前项和. 【小问1详解】 由已知当，时，，， 所以， 又， 所以， 所以， 所以数列为等差数列，公差为， 又，所以， 所以当，时，， 又， 所以，， 设等比数列的公比为， 因为，， 所以，， 所以，所以， 【小问2详解】 由（1）， 所以， 所以数列的前项和， 所以. 21. 若数集中任意两个元素和的和或差，至少有一个属于该数集，我们就将这种数集称为“数集”． （1）判断数集是否为“数集”； （2）已知数集是“数集”，证明： ①； ②． （3）已知数集是“数集”，现给数集添加个元素：，，，若数集仍是“数集”，证明：． 【答案】（1）数集不是“数集”. （2）①证明：由题可知，当时，此时有,所以，又因为，故； ②证明：令，显然，故，因为，共项均属于数集，又因为共项均属于数集，所以有，所以可以得到，利用倒序相加可知，故，证毕. （3）证明：由（2）可知时，，可得， 所以，两式求差可得， 因为，所以 所以构成了以首项，为公差的等差数列； 同理具有“数集”性质的元素是首项，为公差的等差数列； 所以， 所以， 所以 ，证毕. 【解析】 【分析】（1）利用“数集”定义判断即可; （2）①直接令，就可知，因为，可证得； ②令，显然，故，然后利用不同项的大小关系，以及， 可得到，最后得到，然后倒序相加即可； （3）利用（2）得到的然后得到， 然后求差得到，可以得到，所以任何具有“数集”性质的数集的元素是一个以首项， 为公差的等差数列，然后利用等差数列的性质和公式证明需要结果即可. 【小问1详解】 取，所以此时，, 所以数集不是为“数集”. 【小问2详解】 ①略 ②略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：此题最主要的是找到不同元素之间的联系，找到“数集”的不同元素的关系计算即可，第二问的目的就是找到一些元素之间的关系，然后用于第三问，最终找到元素构成等差数列计算即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【高2025届】2024－2025学年度第一学期高三模考（三） 子题1 满分：150分 时长：110分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题所给的选项中，只有一个正确） 1. 复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，点D在线段BC上（不包括端点），向量，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如果，，，，成等比数列，那么（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知，，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，则下列命题： ①； ②； ③在上的投影向量为； ④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4． 其中正确的命题个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题所给的选项中，有多个正确选项，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的最小值为9 D. 若，则的最大值为 10. 已知数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，且，则 B. 若是等比数列，且，则 C. 若，则是等差数列 D. 若是公比大于1的等比数列，则 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调递减区间为 B. 函数的切线过原点，则该切线的斜率为 C. 若方程有两个不同的实数根，则 D. 函数在区间上不单调，则 12. 对于，（角所对的边分别为中的余弦定理是），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则一定为等腰三角形 B. 若，则一定为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，则一定为锐角三角形 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 设函数，则使得成立的的解集是____________． 14. 如图，在中，，则_______ 15. 设数列的前n项和满足，且，则_____． 16. 若存在正实数x，使得不等式成立，则a的最大值为______． 四、解答题（本题共70分） 17. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调区间. 19. 在中，，点D在BC上，满足，． （1）若，求的面积； （2）求余弦值的最小值． 20. 已知数列中，，且，为数列的前n项和，，数列是等比数列，，． （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 21. 若数集中任意两个元素和的和或差，至少有一个属于该数集，我们就将这种数集称为“数集”． （1）判断数集是否为“数集”； （2）已知数集是“数集”，证明： ①； ②． （3）已知数集是“数集”，现给数集添加个元素：，，，若数集仍是“数集”，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $