精品解析：广西南宁市2023-2024学年高一下学期期末考调研测试数学试题

2023—2024学年南宁市高一年级下学期期末考调研测试 高一数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．考查范围：必修第一册和必修第二册． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】整理可得，结合复数的模长公式运算求解. 【详解】由题意可得：， 所以． 故选：C． 2. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 又因为，所以． 故选：B． 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法，结合推出关系，即可得出判断. 【详解】由“”可以推出“”， 反之，由“”不一定推出“”，也可以推出“”． 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 4. 已知平面平面是平面外两条不同的直线，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中的直线与平面以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若，平面平面是平面外的直线，故，A正确， 对于B，若，平面平面则，故B正确， 对于C，若，则或者相交或者异面，故C错误， 对于D，若，平面平面，则，故D正确， 故选：C 5. 已知球O的半径，球O的内接圆锥的高h与底面半径r的比为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由球的定义结合勾股定理求出，，进而得出圆锥的体积. 【详解】依题意，所以， 即，两边平方整理得，，解得（舍去）或，则． 所以该圆锥的体积为． 故选：C． 6. 高二（1）班有40名学生，其中男生有16名，已知男生平均体重为，总平均体重为，则女生的平均体重约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设女生的平均体重为，根据平均数的计算公式列式求解即可. 【详解】由题意可知：高二（1）班有24名女生，有16名男生， 设女生的平均体重为， 则，解得． 故选：B． 7. 已知函数（且）在R上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数在各段单调递增且在断点左侧函数值不大于右侧函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】二次函数的对称轴为， 因为函数在R上单调递增， 所以有，解得，即实数的取值范围是． 故选：C． 8. 已知函数，若对任意的实数，在区间上的值域均为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简函数解析式，再根据余弦型函数的值域与周期性可得解. 【详解】由， 函数值域为， 又对任意的实数，在区间上的值域均为， 则， 解得， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用不等式的性质进行分析即可. 【详解】由，知必有，所以两边同乘以a，得，故A正确； 因为b的符号不能确定，所以不一定正确，故B错误； 由两边同乘以c，得，故C正确； 当，时，满足且，但，故D错误． 故选：AC． 10. 在中，内角的对边分别是，满足，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化，利用已知角的余弦定理求边的关系，即可得出选项判断. 【详解】因为，所以，由正弦定理，得，所以，故A正确； 因为，所以是等腰三角形，所以，故B错误； 由得，又因为， 所以，即， 得，因为A是三角形内角，所以，故C正确； 由余弦定理得，整理得， 解得（舍去）或，故D正确． 故选：ACD． 11. 如图，在正方体中，是上底面的中心，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 直线与平面所成角的正切值为 C. 平面与平面的夹角为 D. 异面直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理求解，利用线面角的定义，求解直线与平面所成角的正切值，先做出平面与平面的夹角的夹角，在利用解三角形的知识求解，利用异面直线的夹角的定义求解异面直线与所成角的余弦值. 【详解】选项A：因为在正方体中，是上底面的中心，分别为的中点，所以 面面所以又面 所以面，面，所以，正确； 选项B：连结交于,连结则为直线与平面所成角， 设正方体边长为，则正切值为正确. 选项C：延长交于其中连结取中点设为则面， 因为面和面所以为面和面的交线， 则过作连结则为平面与平面的夹角的平面角. 在中，设正方体边长为则 在中，由余弦定理得 则错误. 选项D：取的中点设为Q,连结则为异面直线和的夹角， 在中 ，正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据的第40百分位数为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据百分位数可得答案. 【详解】，故样本数据的第40百分位数为第3个数12． 故答案为：12. 13. 已知在中，内角的对边分别为，若，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理解得，结合面积公式运算求解. 【详解】由余弦定理可得，即， 整理可得，解得（舍负），则， 所以的面积为． 故答案为：. 14. 如图，在中，为斜边的中点，点分别在边上（不包括端点），，若，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据找到的关系，再找到角的关系，利用两个三角形的正弦定理即可求解. 【详解】因为，若，所以,所以，即， 又因为为斜边的中点，， 所以, 所以 所以在中，,即, 整理得， 在中，,即, 整理得，， 联立得，， 即， 因为， ， 所以，解得， 因为，所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（且）的图象经过点，函数的图象经过点． （1）求值； （2）求函数的单调递增区间． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）代入得，再代入点得，联立即可； （2）利用二次函数单调性和对数函数单调性复合即可得到函数单调增区间. 【小问1详解】 由函数的图象经过点，得，① 由函数的图象经过点，得， 即，② 解①②得（舍去）． 【小问2详解】 由（1）知， 因为， 所以函数的定义域为R，再根据复合函数单调性知其在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为． 16. 已知中，角所对的边分别是，其中，． （1）求的外接圆半径； （2）求周长的最大值． 【答案】（1）3 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系及正弦定理即可求解； （2）根据（1）的结论及余弦定理，再利用基本不等式及三角形的周长公式即可求解. 【小问1详解】 依题意，解得， 故的外接圆半径． 【小问2详解】 由（1）知，， 由余弦定理，， 因为，则， 则， 当且仅当时，等号成立， 故， 所以周长的最大值为． 17. 某高中为了激发学生参加科技创新实践活动热情，决定举办两场“创新追梦”知识竞赛．规定每位参赛选手均须参加两场比赛，若其在两场比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知高二（1）班选出甲、乙两名选手参加比赛，在第一场比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，在第二场比赛中，甲、乙胜出的概率分别为．甲、乙两人在每场比赛中是否胜出互不影响． （1）甲、乙两人中，谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）求甲、乙两人中至少有一人赢得比赛的概率． 【答案】（1）甲参赛赢得比赛的概率更大 （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件概率公式计算并比较大小即得. （2）由（1）的信息，结合互斥事件、相互独立事件的概率公式计算即得. 【小问1详解】 记事件表示“甲在第一场比赛中胜出”，事件表示“甲在第二场比赛中胜出”， 事件表示“乙在第一场比赛中胜出”，事件表示“乙在第二场比赛中胜出”， 于是表示甲赢得比赛”， ， 表示“乙赢得比赛”， ，而有， 所以甲参赛赢得比赛概率更大． 【小问2详解】 记C表示“甲赢得比赛”，D表示“乙赢得比赛”， 由（1）知， 则表示“两人中至少有一个赢得比赛”，且， 所以 ． 所以甲，乙两人中至少有一人赢得比赛的概率为. 18. 如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，是棱上的一点，点在棱上，是三棱柱，分别是线段的中点． （1）证明：直线平面； （2）若四棱锥的体积为，求的长度． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质定理推出，应用勾股定理得，再用线面垂直的判定定理即可. （2）由四棱锥的体积可得点到平面的距离为，连接，过点作的垂线交于点，用线面垂直的判定定理证明平面，即为四棱锥的高，由可得. 【小问1详解】 在正方体中，平面，分别是棱的中点， ，则平面， 又平面，， 由题意知，由勾股定理得， ，即， 又，平面 平面 【小问2详解】 由（1）知，平面，又平面， ， 由题意知，所以四边形的面积为， 由四棱锥的体积为，得，所以四棱锥的高为， 即点到平面的距离为. 连接，易知三点共线，过点作的垂线交于点，即， 由平面，得平面， 又平面，， 又，平面， 平面，即为四棱锥的高， ， ，，， ，即 . 19. 对于平面向量（且），记，若存在，使得，则称是的“k向量”． （1）设，若是的“向量”，求实数的取值范围； （2）若，则是否存在“1向量”？若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由； （3）已知均为的“向量”，其中．设平面直角坐标系中的点列满足（与原点O重合），且与关于点对称，与关于点对称．求的取值范围． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算和模的运算即可得解； （2）利用三角函数的周期性再结合向量的坐标运算即可得解； （3）利用向量的坐标运算结合方程组思想即可得解； 【小问1详解】 依题意得，, 又由是的“向量”得，，则， 整理得，解得或， 所以，实数的取值范围是． 【小问2详解】 依题意，可得． 因为， 所以中的向量依次以3为周期． 若存在“1向量” ，只需． 因为， 所以 ． 所以只需使， 整理得． 即，即， 当时，符合要求． 故存在“1向量”，且“1向量”为． 【小问3详解】 因为为的“向量”，所以， 即，即， 同理， 以上三式相加，整理得， 即，即，所以． 则． 设，依题意，有 得， 所以， ， 所以， ， 当且仅当时，时，， 所以， 所以， 所以的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：读懂题目，看清条件，结合向量的坐标运算，问题都可以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年南宁市高一年级下学期期末考调研测试 高一数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．考查范围：必修第一册和必修第二册． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，则（ ） A B. C. D. 3. “”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知平面平面是平面外两条不同的直线，则下列结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知球O的半径，球O的内接圆锥的高h与底面半径r的比为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 高二（1）班有40名学生，其中男生有16名，已知男生平均体重为，总平均体重为，则女生的平均体重约为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（且）在R上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意的实数，在区间上的值域均为，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数满足，则（ ） A B. C. D. 10. 在中，内角的对边分别是，满足，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，在正方体中，是上底面的中心，分别为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 直线与平面所成角的正切值为 C. 平面与平面的夹角为 D. 异面直线与所成角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据的第40百分位数为_______． 13. 已知在中，内角的对边分别为，若，则的面积为_______． 14. 如图，在中，为斜边中点，点分别在边上（不包括端点），，若，则____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（且）的图象经过点，函数的图象经过点． （1）求的值； （2）求函数的单调递增区间． 16. 已知中，角所对的边分别是，其中，． （1）求的外接圆半径； （2）求周长的最大值． 17. 某高中为了激发学生参加科技创新实践活动的热情，决定举办两场“创新追梦”知识竞赛．规定每位参赛选手均须参加两场比赛，若其在两场比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知高二（1）班选出甲、乙两名选手参加比赛，在第一场比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，在第二场比赛中，甲、乙胜出的概率分别为．甲、乙两人在每场比赛中是否胜出互不影响． （1）甲、乙两人中，谁参赛赢得比赛概率更大？ （2）求甲、乙两人中至少有一人赢得比赛的概率． 18. 如图，正方体的棱长为分别是棱的中点，是棱上的一点，点在棱上，是三棱柱，分别是线段的中点． （1）证明：直线平面； （2）若四棱锥的体积为，求的长度． 19. 对于平面向量（且），记，若存在，使得，则称是的“k向量”． （1）设，若是的“向量”，求实数的取值范围； （2）若，则是否存在“1向量”？若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由； （3）已知均为的“向量”，其中．设平面直角坐标系中的点列满足（与原点O重合），且与关于点对称，与关于点对称．求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$