精品解析：2022年贵州省铜仁第一中学（高中）自主招生数学试卷

秘密★启用前 2022年自主招生考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号，考场座位号，学校填写在答题卡上． 2．本试卷共8页，共计24题，总分150分，考试用时150分钟． 3．回答选择题和填空题时，请将正确答案的序号填入第4页的答题卷内．回答解答题时，将答案写在题目下方空白处． 4．考试结束后，将试卷、答题卷交回． 一、选择题（每小题只有一个正确答案，共10小题，每小题5分，共50分） 1. 如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，则点C所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用点A表示的数减去的长即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B，， ∴， ∴点C表示的数为． 2. 的半径为，弦，，则和的距离是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，因为位置不明确，所以分在圆心的同一侧和圆心两侧两种情况讨论． 【详解】解：①在圆心的同侧，如图①，连接，过O作的垂线交于E、F， 根据垂径定理得 在中，，， 由勾股定理得， 在中，，，则， 所以，和的距离； ②在圆心的异侧，如图②，连接，过O作的垂线交于E、F， 根据垂径定理得 在中，，， 由勾股定理得， 在中，，，则， 所以，和的距离； 综上，和的距离是或． 故选：C． 3. 已知三个数a，b，c的积为负数，和为正数，且，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的化简求值及求代数式的值等知识， 由题意可知，三个数的积为负数，和为正数，故其中必为一个负数、两个正数，根据各数的符号计算的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：由且，可知中有一个负数、两个正数，不妨设，，， ，，， ，故； ，故； ，故； 代入的表达式： ； 当时， ． 故选A． 4. 有三张正面分别写有数字，，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点在第二象限的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式可得答案． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知，共有6种等可能结果，其中点在第二象限的有2种结果， 所以点在第二象限的概率为， 故选：B． 5. 半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（　） A. 1：： B. ：：1 C. 3：2：1 D. 1：2：3 【答案】B 【解析】 【分析】设圆的半径为R，分别画出圆的内接正三角形、正方形、正六边形，根据锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质，求出边长即可． 【详解】设圆的半径为R， 如图(一)， 连接OB，过O作OD⊥BC于D， 则∠OBC=30°，BD=OB⋅cos30°=R， 故BC=2BD=R； 如图(二)， 连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E， 则△OBE是等腰直角三角形， 2BE2=OB2，即BE=R， 故BC=R； 如图(三)， 连接OA、OB，过O作OG⊥AB， 则△OAB是等边三角形， 故AG=OA⋅cos60°=R，AB=2AG=R， 故圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为R∶R∶R=∶∶1． 故选B． 【点睛】本题主要考查圆的正多边形的边长，掌握等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 6. 已a、b、c分别为△ABC中的对边，若关于x的方程有两个相等的实根且，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和一元二次方程判别式与根的关系，由于关于x的方程有两个相等的实根，所以判别式，解可得，即；又已知，可得，故．根据这两个条件可以判断的形状为等腰直角三角形． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实根， ∴， 化简，得， 即． ∴； 又∵， ∴， 故， ∴， 所以的形状为等腰直角三角形． 故选：D． 7. 等边的各边与它的内切圆相切于的各边与它的内切圆相切于，…，以此类推．若的面积为1，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、三角形的中位线定理、相似三角形的判定及性质，设等边的边长为a，则可得出是等边三角形，且边长为，同理，得出等边的边长为，…，等边的边长为，由于所有的等边三角形都相似，所以根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出的面积． 【详解】解：∵等边的各边与它的内切圆相切于，设等边的内心为O， ∴点O也是等边的外心， ∴分别是各边的中点， 设等边的边长为a，则根据三角形中位线定理，得出的边长为， 同理，等边的边长为， …， 等边的边长为， 又∵，的面积为1， ∴的面积：的面积， ∴的面积． 故选：D． 8. 二次函数的图象与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴正方向交于点C．已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与坐标轴交点的坐标特点、根与系数的关系以及直角三角形的边角关系．首先利用根与系数的关系求得A，B两点横坐标之间的关系，再进一步结合已知，利用直角三角形的边角关系，把A与B两点横坐标用c表示，由此联立方程即可求得答案． 【详解】解：由题意知，点C的坐标为，， 设A，B两点的坐标分别为， 则是方程的两根， 由根与系数的关系得：，， 又∵，则， ∴； ∴，， 由，得：或（舍去）． 故选：C． 9. 已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积是（ ）. A. 40π B. 24π C. 20 π D. 12π 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三视图得到底面圆的半径为4cm，圆锥的高为3cm，再根据勾股定理计算出母线长为5cm，然后根据锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算． 【详解】根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为8cm，即底面圆的半径为4cm，圆锥的高为3cm，所以圆锥的母线长=，所以这个圆锥的侧面积=×2π×4×5=20π(cm²). 故选C. 10. 设分别是的三个内角的对边，且满足，则与的关系是( ) A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】在CB延长线上取BD=BA=c，则∠D=∠BAD，由已知得到，然后得到△ABC∽△DAC，根据相似三角形的性质，∠D=∠BAC，通过外角性质和等量代换，即可得到答案． 【详解】解：如图，在CB延长线上取BD=BA=c，则∠D=∠BAD， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴△ABC∽△DAC， ∴∠D=∠BAC， ∵∠D=∠BAD， ∴∠ABC=2∠D， ∴∠ABC=2∠BAC， 即； 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是正确得到边的比例关系，证明△ABC∽△DAC． 二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 11. 如图，是等腰直角三角形，是斜边，点P是内一定点，延长至点，将绕点A旋转后，与重合，如果，那么________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质∶旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．根据旋转的性质和全等三角形的性质解答可知． 【详解】∵绕点旋转后能与重合， ， 故答案为：2． 12. 已知，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，先根据分式的运算法则化简代数式，然后将代入，即可求解． 【详解】解： ， ， 原式 故答案为：． 13. 如图所示，一个大长方形被两条线段、分成四个小长方形，其中长方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别是8、6、5，那么阴影部分的面积是：　_________　． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查长方形的性质，面积及等积变换．设大长方形的长为a，宽为b，Ⅰ的长为x，宽为y，则Ⅱ的长为，宽为y，Ⅲ的长为，宽为，阴影部分的长为x，宽为，设有阴影的矩形面积为z，再根据等高不同底利用面积的比求解即可． 【详解】解：设大长方形的长为a，宽为b，Ⅰ的长为x，宽为y，则Ⅱ的长为，宽为y，Ⅲ的长为，宽为，阴影部分的长为x，宽为，设有阴影的矩形面积为z， ∵图形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别为8、6、5， ∴， ∴， ∴， 解得 ∴S阴影=z=． 故答案为： 14. 已知 ， ，那么的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找出最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，同时注意化简求值题要将原式化为最简后再代值．根据已知的两等式表示出的与是解本题的关键．由第一个等式表示出，由第二个等式表示出，然后将所求式子通分后，利用同分母分式的减法法则计算后，将表示出的与代入，化简后即可求出值． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，，…的斜边都在坐标轴上，．若点的坐标为，，，，…则依此规律，的值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的规律问题．由得到，进而找出规律，可知，，求出的值，进而可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 同理可得，，，…， ， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 16. 定义一种新运算(其中为实数)，例如：．若关于的不等式组恰好有个整数解，则实数的取值范围_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义的运算方法，求出不等式组的每个不等式的解集，根据已知即可得出t的范围． 【详解】解：∵， ∴①， ②， 由不等式①，得：， 由不等式②，得：， ∴ ∵m恰好有个整数解， ∴， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，新定义的混合运算，能求出m的取值范围是解此题的关键． 17. 如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，DC=3，AB=，则⊙O的直径等于______． 【答案】 【解析】 【分析】连接AO并延长到E，连接BE．设AE=2R，则∠ABE=90°，∠AEB=∠ACB，∠ADC=90°，利用勾股定理求得AD的长，再证明Rt△ABE∽Rt△ADC，根据相似三角形的性质即可求得结果． 【详解】解：连接AO并延长到E，连接BE 设AE=2R，则∠ABE=90°，∠AEB=∠ACB； ∵AD⊥BC于D点，AC=5，DC=3，AB= ∴∠ADC=90°， ∵∠ABE=∠ADC=90°，∠AEB=∠ACB ∴Rt△ABE∽Rt△ADC ∴，即 ∴⊙O的直径等于． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆，勾股定理，相似三角形的判定和性质．辅助线问题是初中数学的难点，能否根据题意准确作出适当的辅助线很能反映一个学生的对图形的理解能力，因而是中考的热点，尤其在压轴题中比较常见，需特别注意． 18. 设是方程的两实数根，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先将代入方程得到，推出，将其代入所求代数式中得，根据根与系数关系式求得，即可得到答案. 【详解】∵是方程的两实数根， ∴, ∴, ∴, ∴, ∵是方程的两实数根， ∴, ∴2016， 故答案为：2016. 【点睛】此题考查等式的性质，方程的解，一元二次方程根与系数的关系式，根据原方程求出是解此题的关键，将高次项降次也是此题解题入手之处. 19. 四边形中，，，，，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的知识点是解直角三角形，解题的关键是构造的直角三角形，熟练运用锐角三角函数求解． 延长与的延长线相交于点，构造了两个的直角三角形，首先在直角三角形中求得的长，再进一步在直角三角形中，求得的长，再在直角三角形中由勾股定理求得． 【详解】解：如图，延长与的延长线相交于点． 在中，， ． 在中，， ， ． 在中，， ， 在中，， 故答案为：． 20. 设表示不超过x的最大整数(例如：)，则方程的解为___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次方程与一元一次不等式组，解题的基本思路是设，解一元一次方程，用含n的式子表示x，再根据新定义，确定x的取值范围，进一步确定的取值范围，进而求解． 【详解】令(n为整数)，则原方程为． ． ∵表示不超过x的最大整数 ， ， 解得， 或或， 分别将n的值代入， 或或． 故答案为：或或． 三、解答题：（共4题，满分50 分） 21. 先阅读材料，再解答问题： 已知点和直线，则点到直线的距离可用公式计算．例如：求点到直线的距离． 解：由直线可知：． 所以点到直线的距离为． 求：（1）已知直线与平行，求这两条平行线之间的距离； （2）已知直线分别交轴于两点，是以为圆心，为半径的圆，为上的动点，试求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）18 【解析】 【分析】（1）在直线上任取一点，由直线与平行，则两直线间的距离即为点P到的距离；再根据题干所给距离公式解答即可； （2）分别令x=0、y=0求得对应的y和x，进而确定点A、B的坐标和AB的长度；设圆心到直线即的距离为，的半径为，然后根据题干所给距离公式求得半径R，然后再根据直线与圆的位置关系列出不等式，求得点到直线的距离的最大值，最后运用圆的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）在直线上任取一点， 直线与平行， 这两条平行线之间的距离等于点到直线的距离． 直线可变形为，其中． 点到直线的距离． 这两条平行线之间的距离等于 ； （2）令得；令得 ，． 设圆心到直线即的距离为，的半径为 ，即： 又∵上任意点到直线的距离h≤， 上任意点到直线的距离的最大值hmax= 所以的面积的最大值为： ． 【点睛】本题考查了一次函数的点与直线之间的距离公式，直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系、平行线的性质等知识，弄清题意，明确所给“点到直线的距离公式”的内涵是解答本题的关键． 22. 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：． （1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？ （3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？ （成本＝进价×销售量） 【答案】（1）35元 （2）销售单价应定为30元或40元 （3）3600元 【解析】 【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润（定价进价）销售量，从而列出关系式； （2）令，然后解一元二次方程，从而求出销售单价； （3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本． 【详解】解：（1）由题意，得：， ， ， 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润． （2）由题意，得：， 解这个方程得：，， 答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元． （3）， 抛物线开口向下， 当时，， ， 当时，， 设成本为（元，由题意，得：， ， 随的增大而减小， 当时，， 答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元． 【点睛】本题考查二次函数的性质及其应用，解题的关键是还考查抛物线的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题． 23. 如图①，已知抛物线y＝ax2＋x＋c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A坐标为(－1，0)，点C坐标为(0，)，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E． （1）求a，c的值； （2）求线段DE的长度； （3）如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？ 【答案】（1）a＝－，c＝ （2）DE＝2 （3）△MPF面积有最大值为 【解析】 【分析】（1）用待定系数法将点C，点A坐标函数解析式y＝ax2＋x＋c（a≠0）即可得出方程组，解出a和c的值即可； （2）根据对称点坐标特点可求出点D坐标，又DH⊥x，所以DH的长就是点D纵坐标的绝对值．又△ACO∽△EAH，，而OC，AH，OA的值都已知，可求出EH的值，DE的长即DH和EH的和； （3）找点C关于DE的对称点N和关于AE的对称点G，连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF＋PF＋CP＝GF＋PF＋PN最小，如图见详解，求此时△MPF面积即可． 【小问1详解】 解：将A（－1，0），C（0，）代入抛物线y＝ax2＋x＋c（a≠0）， ， ∴a＝－，c＝ 【小问2详解】 解：由（1）得抛物线解析式：y＝－x2＋x＋， ∵ ∴抛物线对称轴直线： ∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C（0，） ∴D（2，）， ∴DH＝， 令y＝0，即－x2＋x＋＝0， 解得x1＝－1，x2＝3， ∴A（－1，0），B（3，0）， ∵AE⊥AC，EH⊥AH， ∴， ∴ 又∵ ∴△ACO∽△EAH， ∴，即， 解得：EH＝， 则DE＝2； 【小问3详解】 解：点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（－2，－）， 连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF＋PF＋CP＝GF＋PF＋PN最小， 设直线GN的解析式为 将N（4，），G（－2，－）代入抛物线 ， 得 解得， ∴直线GN的解析式：y＝x－， 由（2）得E（2，－），A（－1，0）， ∴直线AE的解析式：y＝－x－， 联立， 解得 ∴F（0，－）， ∵DH⊥x轴， ∴将x＝2代入直线GN的解析式：y＝x－， ∴P（2，） ∴F （0，－）与P（2，－）的水平距离为2 过点M作y轴的平行线交FP于点Q， 设点M（m，－m2＋m＋），则Q（m，m－）（＜m＜）； ∴S△MFP＝S△MQF＋S△MQP＝MQ×2＝MQ＝（－m2＋m＋）－（m－）， S△MFP＝＝ ∵对称轴为：直线m＝， ∵开口向下，＜m＜， ∴m＝时，△MPF面积有最大值为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法解二次函数解析式、二次函数的综合性问题及相似三角形的判定和性质的知识，先理清题意，掌握基本知识点去综合运用并准确计算是做出本题的关键． 24. 在中，，，M是上的动点（不与A、B重合），过点M作交于点N．以为直径作，并在内作内接矩形，令． （1）用含x的代数式表示的面积S． （2）在动点M的运动过程中，记与梯形重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值． 【答案】（1） （2），2 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质，三角形相似的判定和性质，解答即可． （2）分点P在的内部及上和外部两种情况，分别计算解答即可． 【小问1详解】 解法1：， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵矩形， ∴． 解法2：∵，，， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∵矩形， ∴． 【小问2详解】 解：随着点M的运动，点P在上时，连接，根据题意， 为直径， 故， ， ∴， ∴， ①当时， 当时，. ②当时，设，分别交于E，F. 四边形是矩形. , 四边形是平行四边形， . 由, ∴， ∴， ∴， ∴ 当 当. 综上所述， 当时，y取最大值2. 【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的性质，三角形相似的判定和性质，二次函数求最值，分类思想的应用，清楚分类的标准，二次函数的最值，三角形相似的判定和性质是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前 2022年自主招生考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号，考场座位号，学校填写在答题卡上． 2．本试卷共8页，共计24题，总分150分，考试用时150分钟． 3．回答选择题和填空题时，请将正确答案的序号填入第4页的答题卷内．回答解答题时，将答案写在题目下方空白处． 4．考试结束后，将试卷、答题卷交回． 一、选择题（每小题只有一个正确答案，共10小题，每小题5分，共50分） 1. 如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，，则点C所表示的数是（ ） A. B. C. D. 2. 的半径为，弦，，则和的距离是（ ） A. B. C. 或 D. 3. 已知三个数a，b，c的积为负数，和为正数，且，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4. 有三张正面分别写有数字，，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点在第二象限的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（　） A. 1：： B. ：：1 C. 3：2：1 D. 1：2：3 6. 已a、b、c分别为△ABC中的对边，若关于x的方程有两个相等的实根且，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 7. 等边的各边与它的内切圆相切于的各边与它的内切圆相切于，…，以此类推．若的面积为1，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴正方向交于点C．已知，，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积是（ ）. A. 40π B. 24π C. 20 π D. 12π 10. 设分别是的三个内角的对边，且满足，则与的关系是( ) A. B. C. D. 不确定 二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 11. 如图，是等腰直角三角形，是斜边，点P是内一定点，延长至点，将绕点A旋转后，与重合，如果，那么________． 12. 已知，则_____________． 13. 如图所示，一个大长方形被两条线段、分成四个小长方形，其中长方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别是8、6、5，那么阴影部分的面积是：　_________　． 14. 已知 ， ，那么的值为_____________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，，…的斜边都在坐标轴上，．若点的坐标为，，，，…则依此规律，的值为_____________． 16. 定义一种新运算(其中为实数)，例如：．若关于的不等式组恰好有个整数解，则实数的取值范围_______． 17. 如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，DC=3，AB=，则⊙O的直径等于______． 18. 设是方程的两实数根，则_________． 19. 四边形中，，，，，则______________． 20. 设表示不超过x的最大整数(例如：)，则方程的解为___________． 三、解答题：（共4题，满分50 分） 21. 先阅读材料，再解答问题： 已知点和直线，则点到直线的距离可用公式计算．例如：求点到直线的距离． 解：由直线可知：． 所以点到直线的距离为． 求：（1）已知直线与平行，求这两条平行线之间的距离； （2）已知直线分别交轴于两点，是以为圆心，为半径的圆，为上的动点，试求面积的最大值． 22. 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：． （1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？ （3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？ （成本＝进价×销售量） 23. 如图①，已知抛物线y＝ax2＋x＋c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A坐标为(－1，0)，点C坐标为(0，)，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E． （1）求a，c的值； （2）求线段DE的长度； （3）如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？ 24. 在中，，，M是上的动点（不与A、B重合），过点M作交于点N．以为直径作，并在内作内接矩形，令． （1）用含x的代数式表示的面积S． （2）在动点M的运动过程中，记与梯形重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $