精品解析：辽宁省锦州市实验学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年上学期期中协作体学情调研 九年级数学学科 一、选择题：（本题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列方程中属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 中，，，，的值为（ ） A. B. C. D. 2 4. 在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（ ） A. 测量其中三个角是否为直角 B. 测量两组对边是否相等 C. 测量对角线是否相互平分 D. 测量对角线是否相等 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 6. 如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，且点在线段上．若，的周长为，则的周长是（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 8. 在中，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 凸透镜成像的原理如图所示，，若缩小的实像是物体的，则物体到焦点的距离与焦点到凸透镜的中心线GH的距离之比为（焦点和关于点O对称）（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上，且，，连接，分别交与点P，Q，R．有下列结论①；②；③；④平分．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 若，且，则____． 12. 如图，某校为生物兴趣小组规划一块长，宽的矩形试验田，现需在试验田中修建同样宽的两天互相垂直的小路（两条小路各与举行的一条边平行），根据学校规划，小路分成的四块试验田的总面积为，求小路的宽为多少米？若设小路的宽为，根据题意所列方程是________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角α的正切值为，则m的值为______． 14. 如图，正方形的边长为，点在线段上，且四边形为菱形，则的长为______． 15. 如图，矩形中，，，的直角顶点P在的延长线上且，E在边上，，EF与边交于点M，若，则线段的长为______． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （3）判断和是否是位似图形（直接写结果），如果是，请写出位似中心M的坐标． 18. 如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架．点A、B、C处均可旋转，处可摆放平板或者手机．其中．研究表明，当手机（）与桌面的夹角为时，更符合人体工学设计，也是多数人操作手机最舒适的角度． （1）如图2，当和桌面垂直且时，可将绕点B旋转一定的角度，就能达到最舒适的观影状态，求此时的度数； （2）在（1）的条件下求点D点到的距离（结果保留整数）． （参考数据：） 19. 如图，在▱中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 20. 某商场将进货价为30元的水杯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种水杯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销，经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种水杯的售价每降价0.5元，其销售量增加8个，若商场要想使4月份销售这种水杯获利4864元，则这种是被售价应定为多少元？ 21. 一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，设计了以下方案：在点处放一面平面镜，从点处后退到点处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部点的像；再将平面镜向后移动放在处（即），从点处向后退到点处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部点的像，测得眼睛距地面的高度均为，已知点，在同一水平线上，且．求灯柱的高度．（平面镜的大小忽略不计） 22. 综合与实践 问题背景 数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究． 探究发现 如图1，在中，，． （1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）； （2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：； 拓展应用： 当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长． 23. （1）问题探究： 如图1，在中，于D，P，Q分别是线段上的动点，且，求的最小值． 小慧的做法：如图2，过点P作交所在直线于点H，可证，四边形是平行四边形，则，求的最小值即为求的最小值． 小明的做法：如图3，过点P作于点M，于点J，于点N，于点G，可证，，可得为定长，在中，求的最小值． 王老师总结：两位同学都是利用图形的特点作出恰当的辅助线构造出定形或找到定关系，使离散的线段聚合或产生关联，进而使问题发生转化并得到解决． 请你选择一位同学的做法，写出完整的解答过程； （2）类比练习： 如图4，菱形中，，对角线和交于点O，，R是边上（不与点B和点C重合）的一个动点，连接并延长交于点P，M为上一点，Q为上一点且，连接，当时，求出的长； （3）拓展提升： 如图5，在中，于D，，P，Q分别是线段上的动点，且，M为的中点，N为的中点，连接并延长，交边于点G，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期期中协作体学情调研 九年级数学学科 一、选择题：（本题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列方程中属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、方程化为，是一元二次方程，故该选项符合题意； B、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、当时，方程是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 已知一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程求出，然后利用整体代入求值即可，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 【详解】解：将代入原方程得：， ∴， 则， 故选：． 3. 中，，，，的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 在直角三角形中，正切值定义为对边与邻边的比值，根据题意，确定角A的对边和邻边，代入计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴ 故选：D． 4. 在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（ ） A. 测量其中三个角是否为直角 B. 测量两组对边是否相等 C. 测量对角线是否相互平分 D. 测量对角线是否相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定定理，根据矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定为矩形；符合题意； B、测量两组对边是否相等，只能判定为平行四边形；不符合题意； C、测量对角线是否相互平分，只能判定为平行四边形；不符合题意； D、测量对角线是否相等，不能判定其为矩形（如等腰梯形的对角线也相等），不符合题意； 故选：A． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根求解即可． 【详解】解：，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 6. 如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质．由相多三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，即可求解． 【详解】解：因为两个图形相似： 解得：，，； ， 观察四个选项，D选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，且点在线段上．若，的周长为，则的周长是（ ） A. 8 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握位数图形的性质，找出相似比是关键． 根据题意，得到，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，且， ∴，的周长为， ∴的周长是， 故选：B ． 8. 在中，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交延长线于点，则，由邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，由线段之间的和差关系可得，由勾股定理可得，于是得解． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，含度角的直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，利用邻补角互补求角度，线段的和与差等知识点，添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 9. 凸透镜成像的原理如图所示，，若缩小的实像是物体的，则物体到焦点的距离与焦点到凸透镜的中心线GH的距离之比为（焦点和关于点O对称）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、对称性质，先证明，，根据平行线间的距离处处相等得到，进而可求解． 【详解】解：由题意，，，，，， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即物体到焦点的距离与焦点到凸透镜的中心线GH的距离之比为． 故选：B． 10. 如图，已知是三个全等的等腰三角形，底边在同一直线上，且，，连接，分别交与点P，Q，R．有下列结论①；②；③；④平分．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据是三个全等的等腰三角形，即可得到，，根据平行线等分线段定理即可判断． 【详解】解：∵是三个全等的等腰三角形， ∴， ∴， ∵和有一个公用角，，， ∴，故①是正确的． ∵ ∴ ∵， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，故③正确； ∵由面积关系得， ∴不平分．故④错误． 综上，正确的结论是①②③，共3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质及全等三角形、等腰三角形的性质运用，平行线等分线段定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题：（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 若，且，则____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据比例性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴，又， ∴， 故答案为：6． 12. 如图，某校为生物兴趣小组规划一块长，宽的矩形试验田，现需在试验田中修建同样宽的两天互相垂直的小路（两条小路各与举行的一条边平行），根据学校规划，小路分成的四块试验田的总面积为，求小路的宽为多少米？若设小路的宽为，根据题意所列方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，四块试验田可以拼为长为，宽为的矩形，根据矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：设小路的宽为， 根据题意，得， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角α的正切值为，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交轴于点，根据题意得出，即可求出；本题主要考查解直角三角形，熟练掌握锐角正切值的定义是解题的关键． 【详解】过点作，交轴于点 点在第二象限 故答案为：． 14. 如图，正方形的边长为，点在线段上，且四边形为菱形，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形性质，菱形性质，勾股定理，等腰直角三角形判定和性质，过点作交延长线于，则，由四边形是正方形，得，，，由勾股定理可得，又四边形为菱形，则，，从而证明是等腰直角三角形，设，则，，然后由勾股定理得，即，然后解出方程即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∴， ∵在中，， ∴，整理得：， 解得：（舍去），， ∴， 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，，的直角顶点P在的延长线上且，E在边上，，EF与边交于点M，若，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识．作交的延长线于点，交的延长线于点，由，，，得，可证明，则，求得，由，得，求得，再证明四边形是矩形，则，，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点，交的延长线于点， 四边形是矩形，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， 故答案为：． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）直接用公式法解一元二次方程即可； （2）先进行因式分解，然后对方程求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或者， ，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； （2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （3）判断和是否是位似图形（直接写结果），如果是，请写出位似中心M的坐标． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示：即为所求； （3）是， 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，位似作图，求位似中心． （1）先画出平移后各点的对应点，再依次连接即可； （2）先画出位似的对应点，再依次连接即可； （3）连接并反向延长，相交于点M，点M即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图可知，和是位似图形，位似中心M的坐标为． 18. 如图1是一款多功能可调节的桌面手机、平板支架．点A、B、C处均可旋转，处可摆放平板或者手机．其中．研究表明，当手机（）与桌面的夹角为时，更符合人体工学设计，也是多数人操作手机最舒适的角度． （1）如图2，当和桌面垂直且时，可将绕点B旋转一定的角度，就能达到最舒适的观影状态，求此时的度数； （2）在（1）的条件下求点D点到的距离（结果保留整数）． （参考数据：） 【答案】（1） （2）D到的距离约为 【解析】 【分析】（1）过点D作于H，利用四边形内角和定理计算即可． （2）过点D作于H，延长、交于点E，利用解直角三角形的知识，求得长度即可． 本题考查了四边形内角和定理，解直角三角形的相关计算，熟练掌握进行解直角三角形的计算是解题的关键． 【小问1详解】 过点D作于H， 由题意得： ∴． 【小问2详解】 过点D作于H， 延长、交于点E， ∵． ∴， ∵． ∴ 答：D到的距离约为． 19. 如图，在▱中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵ ， ∴ ，即． ∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，， ∴ ，， ∴ 四边形为平行四边形． 又∵ 于点， ∴ ， ∴ 四边形为矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）先利用已知条件得出线段相等关系，结合平行四边形的性质得到对边平行且相等，证明四边形是平行四边形，再依据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形 ）完成证明． （2）根据矩形性质求出相关线段长度，借助勾股定理逆定理判断三角形形状，再利用三角形面积公式求出的长，进而得到的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ 四边形为矩形，， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ 是直角三角形，且． ∵ ， ∴， 解得． 又∵ 四边形是矩形，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理逆定理以及三角形面积公式，熟练掌握这些知识的内在联系和应用方法是解题的关键． 20. 某商场将进货价为30元的水杯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种水杯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销，经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种水杯的售价每降价0.5元，其销售量增加8个，若商场要想使4月份销售这种水杯获利4864元，则这种是被售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）售价为38元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设2，3两个月这种台灯销售量的月均增长率为，利用3月份的销售量1月份的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每台降价元，则每台的销售利润为元，四月份可售出台，利用总利润二每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； 【小问1详解】 解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为， 依题意，得：， 解得：(不符合题意，舍去)． 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设这种台灯每个降价元时，商场四月份销售这种台灯获利4864元， 依题意，得：， 整理，得：， 解得，(不符合题意，舍去)， ∴售价为元 答：该这种台灯售价为38元． 21. 一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，设计了以下方案：在点处放一面平面镜，从点处后退到点处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部点的像；再将平面镜向后移动放在处（即），从点处向后退到点处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部点的像，测得眼睛距地面的高度均为，已知点，在同一水平线上，且．求灯柱的高度．（平面镜的大小忽略不计） 【答案】灯柱的高度为． 【解析】 【分析】先证明得到，再证明得到，由此建立方程，求出的长即可求出的长． 【详解】解：， ． ． ， ． 设，则， 同理可得， ． ，， ， 解得， ． 答：灯柱的高度为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用，正确理解题意利用相似三角形的性质推出是解题的关键． 22. 综合与实践 问题背景 数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究． 探究发现 如图1，在中，，． （1）操作发现：将折叠，使边落在边上，点的对应点是点，折痕交于点，连接，，则_______，设，，那么______（用含的式子表示）； （2）进一步探究发现：，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：； 拓展应用： 当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的是黄金三角形．如图2，在菱形中，，．求这个菱形较长对角线的长． 【答案】（1） （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理，得：， 解得：（负值已舍掉）； 经检验是原分式方程的解． ∴； 拓展应用： 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角求出的长，翻折得到，，利用三角形内角和定理求出，，，表示出即可； （2）证明，利用相似比进行求解即可得出； 拓展应用：连接，延长至点，使，连接，得到为黄金三角形，进而得到，求出的长即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵将折叠，使边落在边上， ∴，， ∴，； 故答案为：； （2）略 拓展应用： 如图，连接，延长至点，使，连接， ∵在菱形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为黄金三角形， ∴， ∴．即菱形的较长的对角线的长为． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是理解并掌握黄金三角形的定义，利用相似三角形的判定和性质，得到黄金三角形的底边与腰长的比为． 23. （1）问题探究： 如图1，在中，于D，P，Q分别是线段上的动点，且，求的最小值． 小慧的做法：如图2，过点P作交所在直线于点H，可证，四边形是平行四边形，则，求的最小值即为求的最小值． 小明的做法：如图3，过点P作于点M，于点J，于点N，于点G，可证，，可得为定长，在中，求的最小值． 王老师总结：两位同学都是利用图形的特点作出恰当的辅助线构造出定形或找到定关系，使离散的线段聚合或产生关联，进而使问题发生转化并得到解决． 请你选择一位同学的做法，写出完整的解答过程； （2）类比练习： 如图4，菱形中，，对角线和交于点O，，R是边上（不与点B和点C重合）的一个动点，连接并延长交于点P，M为上一点，Q为上一点且，连接，当时，求出的长； （3）拓展提升： 如图5，在中，于D，，P，Q分别是线段上的动点，且，M为的中点，N为的中点，连接并延长，交边于点G，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）最小值为6；（2）；（3）9 【解析】 【分析】（1）直接根据两人的求解思路，分别利用全等三角形的判定与性质或者利用矩形的判定与性质、勾股定理解答即可； （2）如图4，连接，先证明得到，再证明四边形和四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质和等腰三角形的判定证明在中，利用勾股定理求得，，在中，利用勾股定理求得，然后证明，再利用相似三角形的性质求解即可； （3）先根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求、，如图5，过点P作于点I，于点T，于点J，进而求得，证明得到，设，则，根据线段的和差和相似三角形的判定证明求得、，然后证明，利用相似三角形的性质求得，进而可求解． 【详解】解：（1）选小慧的做法： 如图2，过点P作交所在直线于点H，连接，则， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值即为求CH的最小值． 由垂线段最短得，当H、D重合时取等号， ∴的最小值为6，即的最小值为6． 选小明做法： 如图3，过点P作于点M，于点J，于点N，于点G， 则， 在中，， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即为定长， 在中，， 当时，最小，最小值为6； （2）如图4，连接， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴，则， 设，则， 在中，由得，解得：，即， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即，解得： ； （3）在中，于D，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 如图5，过点P作于点I，于点T，于点J， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴，则， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，又N为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $