解析几何：圆的方程复习讲义-2026届高三数学一轮复习

解析几何：圆的方程复习讲义 解析几何：圆的方程复习讲义 考点一 圆的定义与方程 【知识点解析】 1. 圆的定义与方程 知识点 知识点解析 圆的定义 到定点的距离相等的点的集合. 圆的两要素 圆心与半径. 圆的标准方程 若已知圆的圆心为，半径为，则标准方程为. 圆的一般方程 ，其中. 2.求轨迹方程的五个步骤 （1）设定变量与坐标系：建立适当的坐标系，用表示曲线上任意一点的坐标； （2）分析几何条件：写出适合条件的点的集合； （3）代数化几何条件：用坐标表示条件，列出方程； （4）化简方程：化方程为最简形式； （5）査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 【例题分析】 考向一 圆的标准方程 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，以为直径的圆的圆心为中点，半径为， 所以圆的方程为. 故选：B. 2．（2025·北京海淀·二模）圆心为且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆心为且与轴相切，所以半径， 则圆的方程为. 故选：D 3．（24-25高三下·海南·阶段练习）圆心在直线上，并且与轴相切于点的圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】由题设可知圆为直线与的交点，其半径为3， 故圆标准方程为. 故答案为：. 4．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，则圆的标准方程是 . 【答案】 【详解】设圆的标准方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 5．（24-25高二下·四川成都·期末）圆心为点，且过点的圆的标准方程是 ． 【答案】 【详解】因为，，所以圆半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 考向二 圆的一般方程 1．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，由可得， 所以，即，解得或， 当时，方程为，可化为，不合题意； 当时，方程为，可化为，符合题意， 所以. 故选：. 2．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程可变形为， 由题知，得到， 故选：C. 3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，，可得中点为，中点为，中点为， 设的九点圆方程为， 代入、、三点坐标，可得， 解得，，，即， 化简可得圆的标准方程为． 故选：C. 4．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 得， 解得. 故选：D 5．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则这个圆的半径是 . 【答案】3 【详解】圆的方程化为：， 所以圆的半径为3. 故答案为：3 6．（24-25高二下·上海·期末）已知，圆的面积为，则 . 【答案】 【详解】已知圆的方程为 ， 可得， 此为标准形式，圆心为 ，半径平方为 ， 由 得：， 解方程：. 故答案为：. 7．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）过三个点，，的圆的方程为 ． 【答案】 【详解】设圆的一般方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故答案为： 考向三 曲线的轨迹方程 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，由为的中点，则，即， 由点在圆上，则，即， 化简可得. 故选：D. 2．（24-25高二下·云南昭通·期末）已知，，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则点M的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】设点的坐标为，因为，，， 所以，化简得， 即. 故答案为：. 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知向量，满足，则动点的轨迹方程是 . 【答案】 【详解】， ，故， 即， 故答案为： 4．（24-25高二上·青海西宁·期中）已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】设， M为线段的中点，， 而A是圆C上一动点， 故， 整理得：， 即， 故动点M的轨迹方程为. 故答案为： 5．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知直角的斜边为AB，且，，则直角顶点C的轨迹方程为 ，直角边BC的中点M的轨迹方程为 ． 【答案】 且； 且 【详解】设AB中点为D，则，由直角三角形的性质知，， 由圆的定义知，动点C的轨迹是以为圆心，2为半径长的圆． 所以直角顶点C的轨迹方程为且． 设点，点，由，M是线段BC的中点， 得且，，于是有，． 由（1）知，点C在圆且上运动， 将代入该方程得，即且． 故答案为：且；且． 考点二 以圆为背景的位置关系问题 【知识点解析】 1．点与圆的位置关系 点与圆和的位置关系是： 位置关系 几何法 代数法 在圆内 点到圆心的距离小于半径 或 在圆上 点到圆心的距离等于半径 或 在圆外 点到圆心的距离大于半径 或 2．直线与圆的位置关系 位置关系 几何法 代数法 相切 圆心到直线的距离等于半径 联立直线与圆的方程，消元所得二次方程的判别式 相交 圆心到直线的距离小于半径 联立直线与圆的方程，消元所得二次方程的判别式 相离 圆心到直线的距离大于半径 联立直线与圆的方程，消元所得二次方程的判别式 3．圆与圆的位置关系 ：与：的位置关系是： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内离 判定方法 【例题分析】 考向一 直线与圆的位置关系 1．（24-25高二下·湖北荆门·期末）设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心C到直线l的距离， 故直线与圆C相离． 故选：C. 2．（24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 【答案】A 【详解】的圆心和半径分别为， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交但不经过圆心， 故选：A 3．（2025·北京大兴·三模）已知直线：与圆：，则（    ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 【答案】C 【详解】已知圆：，则圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，即直线经过圆心. 故选：C. 4．（2025·重庆九龙坡·三模）若直线 与圆 相切，则实数 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆即的圆心坐标为，半径为， 若直线 与圆 相切， 则，解得. 故选：B. 5．（2025·天津红桥·二模）已知直线与圆 相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将圆化为标准方程， 可得圆心，半径， 依题意可知圆心到直线的距离为， 又，解得. 故选：D 6．（24-25高二下·福建厦门·期末）若轴与圆相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心到轴的距离为，且轴与圆相切，所以， 故选：A． 考向二 圆与圆的位置关系 1．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【详解】，圆心，半径， 可化简为， 则圆的圆心为，半径， ，所以两圆相交. 故选：C. 2．（2025·浙江温州·三模）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得， 解得：． 故选：B 3．（24-25高二下·广西崇左·期末）圆与圆的位置关系是 ． 【答案】相交 【详解】由题设，且对应半径为，且对应半径为， 所以，故，即两圆相交. 故答案为：相交 4．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知圆和圆有一个公共点，则的值为 ． 【答案】或 【详解】圆和圆有一个公共点，则两圆内切或外切， 由题可得，解得或． 故答案为：或 5．（24-25高二下·河南信阳·阶段练习）已知圆和圆相切，则 【答案】或或 【详解】由圆可知圆心，半径， 由圆可知圆心，半径， 所以当两圆相内切时，圆心距，解得； 当两圆相外切时，圆心距，解得或， 所以的值为或或. 故答案为：或或 6．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知平面直角坐标系中两定点为、，为坐标原点． (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)设．动点满足，记的轨迹为曲线．若曲线与圆：外切，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设的中点为，则由中点坐标公式有， 则，，设直线的斜率，则， 所以， 所以线段的垂直平分线的方程为. （2）设，则由已知有， 由有：， 所以圆，圆心， 圆，圆心， 因为圆和圆外切，所以，解得， 因为，所以. 7．（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知圆M经过和，且圆心在直线上． (1)求圆M的方程； (2)若圆N：与圆M外切，求实数a的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）以和为端点的线段的中点为，斜率为， 所以以和为端点的线段的垂直平分线为：， 即圆心在上， 又圆心在直线上，由，解得， 所以圆心为，半径为， 所以圆M的方程为：； （2）圆，所以圆心，半径， 因为圆M与圆N外切，所以， 所以，所以 考向三 直线与半圆的交点问题 1．（24-25高二下·贵州毕节·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得， 直线经过定点，如图， 当直线与半圆相切时，， 所以恰有两个公共点时，由图可知，， 故选：D． 2．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得到， 所以曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，图象如图， 当直线过点时，，此时与曲线有两个不同的交点， 当直线与曲线相切时，由，解得或（舍）， 由图可知，实数的取值范围是， 故选：C. 3．（24-25高一下·上海宝山·期末）若直线（常数）与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，得，则曲线表示以原点为圆心，1为半径的圆在及右侧部分， 直线恒过定点，斜率为，在同一坐标系内作出直线与曲线， 观察图象知，且，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 4．（24-25高二下·上海·阶段练习）过定点的直线与曲线交于不同的两点，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【详解】由已知曲线表示的是以为圆心，以为半径的上半圆， 由题意可知直线的斜率一定存在且大于零，可设方程为，即 当直线与圆相切时，即，得，解得， 所以直线的斜率的取值范围是. 考点三 弦长问题 【知识点解析】 1. 弦长问题：若直线：与圆的方程为相交 处理方法 处理步骤 图解 几何法 （1）求圆心到直线的距离，圆的半径； （2）弦长为，则，整理得. 代数法 （1）联立直线与圆的方程，消元得二次方程，整理韦达定理； （2）设直线与圆的两交点分别是， 则. ※不管用哪种方法，设直线时需考虑直线斜率是否存在 2. 公共弦问题：若：与：相交 问题 处理方法 公共弦方程 将与的方程联立，消去与，可得公共弦方程. 公共弦弦长 先求公共弦，再转化为公共弦与圆的弦长问题. 【例题分析】 考向一 弦长问题 1．（24-25高二下·广西桂林·期末）直线与圆交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知圆，圆心为，半径 所以圆心到直线的距离 所以 故选： 2．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 【答案】A 【详解】圆的标准方程是，圆心为，半径为， 到直线的距离为， 所以， 所以， 故选：A． 3．（24-25高二下·云南·期中）已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由圆可知圆心，半径， 由，解得， 则圆心到直线的距离为，则，解得. 故选：C． 4．（2025·北京·三模）已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，恒过定点，且点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为. 故选：D 5．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）直线被圆截得的最短的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】原圆方程配方得， 所以圆心为，半径， 因为直线， 所以直线过定点，因为定点和圆心的距离， 所以定点在圆内，当直线垂直于圆心到定点的连线时圆心到直线的距离最大为， 所以弦长最短为. 故选：C. 6．（24-25高二下·湖南·期末）已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】依题意，圆，圆心，半径为， 直线过定点，，故点在圆内， 当直线过圆心时，弦长最大，为直径， 当直线与垂直时，弦长最小， 此时的最小值为，故的取值范围为． 故答案为：． 7．（2025·天津红桥·模拟预测）已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 【答案】(1)圆心，半径 (2) 【详解】（1）圆：的标准方程为：， ∴圆的圆心为，半径为. （2）由（1）可知：圆的圆心为，半径为. 弦中点，连接，，如图所示. 由圆的性质可知，. ∴圆心到直线：的距离.    在中，，∴， 即直线被圆截得的弦的长度为. 8．（24-25高二下·上海虹口·期末）已知圆经过点，且圆心为． (1)求圆的标准方程； (2)若直线经过两点，且与圆相交于点，求线段的长． 【答案】(1)； (2)2. 【详解】（1）由题设，所以圆的标准方程为． （2）由题意，，故，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以的长等于． 9．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设动点， 因为，则， 整理可得，即， 所以动点的轨迹为的方程为. （2）由（1）可知：曲线是以圆心为，半径的圆， 设直线，即， 由题意可得：圆心到直线的距离， 则，解得或， 所以直线的方程为或. 10．（24-25高二下·山东潍坊·阶段练习）已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称. (1)求的值 (2)过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为圆：可化为， 所以圆心为，半径为， 因为圆C上存在两点关于直线：对称，则直线经过圆心， 将代入，即 ，解得. （2）依题意，设圆心到直线距离为d，因为，则． 当直线l斜率不存在时，直线方程l为，符合题意； 当直线l斜率存在时，设直线l方程为，即， 所以圆心到直线l的距离，解得， 直线l的方程为，即， 综上所述，直线l的方程为或. 考向二 公共弦问题 1．（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）圆与圆相交于A、B两点，则两圆公共弦AB所在直线的方程为 . 【答案】 【详解】圆，即，圆心为，半径； 圆，即，圆心为，半径， 又，所以，所以两圆相交， 则两圆方程作差得到，即公共弦所在直线的方程为. 故答案为： 2．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB所在的直线方程为 ． 【答案】 【详解】由题意可知两点均在两个圆上，即两点均满足两圆的方程， 也即是两个圆方程共同的解，故联立两个圆方程，得 ，解得或， 故或， 两种情况下公共弦所在的直线方程均为. 故答案为：. 3．（24-25高二上·广西河池·期末）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 【答案】 【详解】圆：和圆， 两圆作差相减，得直线方程为，经检验，直线方程满足题意； 故答案为：. 4．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是 ． 【答案】 【详解】由题意所在的直线方程为：，即. 将圆转化为标准方程得，即圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为1， 由圆的几何性质可得． 故答案为：. 5．（23-24高二上·广东深圳·期末）圆与圆的公共弦的长为 ． 【答案】 【详解】由，得， 即两圆公共弦所在直线的方程为， 圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为： 6．（24-25高二上·天津武清·期中）已知圆经过点，，且圆心在直线上，圆． (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆的位置关系并说明理由；若相交，求两圆公共弦的长． 【答案】(1) (2)相交， 【详解】（1），中点坐标 直线的斜率为， 直线的垂直平分线的斜率为， 直线的垂直平分线的方程， 即，联立方程， 解方程组得，所以圆心为， 半径， 所以圆的方程为：. （2）由（1）圆圆心，半径， 圆圆心，半径， ， ∵， 所以圆和圆相交， 设交点为，，直线方程为 即：. ，运用点到直线距离公式计算得到到直线的距离， 所以． 两圆公共弦的长． 考点四 切线问题 【知识点解析】 1. 过定点切线问题：若点在外，求过点与相切的直线 切线类型 处理方法 斜率存在 （1） 设切线为； （2） 利用几何法（圆心到直线距离等于半径）或代数法（直线与圆的方程联立所得二次方程根的判别式等于0）求参数. 斜率不存在 检验圆心到直线的距离与半径是否相等. 2.公切线问题 圆与圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内离 公切线数量 4 3 2 1 0 图解 3. 公切线的求解：已知：与： 切线类型 处理方法 斜率存在 （1） 设公切线为； （2） 利用几何法（圆心到直线距离等于半径）或代数法（直线与圆的方程联立所得二次方程根的判别式等于0）求参数. 斜率不存在 观察图像是否存在与轴的直线与两圆同时相切 两圆相切的公切线 （1） 求直线的斜率； （2） 利用有一条公切线与直线垂直，设公切线为； （3） 利用几何法（圆心到直线距离等于半径）或代数法（直线与圆的方程联立所得二次方程根的判别式等于0）求参数. 【例题分析】 考向一 切线问题 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的标准方程为，圆心为， 因为，所以，点在圆上，则， 所以，所求切线与轴垂直，故所求切线的方程为. 故选：D. 2．（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆的方程，可得圆心坐标为， 将的坐标代入圆的方程，得，则点在圆上， 又，所以过点与圆相切的直线的斜率为1， 所以过点的切线方程为，即. 故选：D. 3．（24-25高二上·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可） 【答案】或（写出一条即可） 【详解】由可知：直线一定有斜率， 故设：， 则，化简可得，故或， 当时，切线方程为，当时，切线方程为， 故切线方程为：或， 故答案为：或， 4．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知圆C的方程为：； (1)过点作圆的切线，求切线的方程. (2)已知圆C上有2个点到直线：的距离为1，求m的取值范围. 【答案】(1)或 (2)且 【详解】（1）由题可知圆心， 因为， 所以P在圆外，过圆外一点作圆的切线有2条. ①当k存在时，设切线方程：，即. 则圆心C到的距离d＝， 此时切线： ②当k不存在时，过点的直线方程为， 圆心到直线的距离为2， 所以直线与圆相切， 此时切线方程： 综上：切线的方程为：或 （2）圆心到的距离 ， 当圆上有1个点到的距离为1，则 当圆上有3个点到的距离为1，则， 所以当圆上有2个点到的距离为1，则， 所以，即，， 的取值范围为且 5．（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）由题意设圆心， 因为， 即， 解得，即，     半径，     所以圆的标准方程为. （2）当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件；     当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为， 即， 则圆心到切线的距离， 解得，     此时切线的方程为：， 即，     综上所述：过的切线方程为或. （3）圆心到直线的距离为，     所以弦长. 考向二 公切线问题 1．（24-25高三下·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】圆的方程等价于， 所以圆是以为圆心，为半径的圆， 圆 是以为圆心，为半径的圆， 所以圆，圆的圆心距为， 圆，圆半径之和为， 即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切， 所以圆，圆有3条公切线． 故选：C 2．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）圆，若两圆的公切线恰有3条，则 （    ） A．4 B．6 C．16 D．36 【答案】C 【详解】因为是圆，所以， 因为两圆的公切线恰有3条，所以两圆外切， 因为，所以，解得， 故选：C. 3．（24-25高二下·福建福州·阶段练习）已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由圆与圆恰有两条公切线，得圆与圆相交， 而圆心，半径，圆心，半径，则 ， 因此，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 4．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）圆M：与圆N：的公切线条数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由圆M:，可得圆心，半径为1， 又由圆N:，化为标准方程为， 可得圆心，半径为6，可得，且， 所以，所以圆内切于圆，所以圆与圆的公切线的条数为1条. 故选：A 5．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【详解】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 6．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆O：与圆C关于直线l：对称，则圆O与圆C的一条公切线方程为 （写出其中一条公切线方程即可）. 【答案】或或或（写出其中一个即可） 【详解】如图：任意圆与圆关于直线对称，为圆与圆的一条公切线， ∵圆与圆关于直线对称，∴， ∵为圆与圆的公切线，∴，∴， 由圆与圆关于直线对称，∴圆与圆的半径相等，即， ∴，且到的距离为， ∵，∴，，∴， 设其中一条公切线，则，即， 故圆与圆的公切线. ∵圆心到直线的距离，∴圆与圆相离， ∴圆与圆有4条公切线，由对称性可知公切线与交于一点， 设与圆相切与点，则， ∵，，∴， ∵，∴轴，轴， ∴故圆与圆的公切线或. 故答案为：或或或（写出其中一个即可）. 7．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆与圆 (1)若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围; (2)若，且圆与圆有两个不同的交点求线段DE的长; (3)若r=1，求圆与圆的公切线方程. 【答案】(1)； (2)； (3)，，. 【详解】（1）圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为4， 由圆与圆有两个不同的交点，得，而， 因此，解得， 所以的取值范围是. （2）当时，圆，此时圆与圆相交，两圆方程相减得直线方程， 点到直线的距离， 所以. （3）当时，，即圆与圆外切，圆与圆有1条内公切线，2条外公切线， 显然切线的斜率存在，设方程为，则， 整理得或，解，得 解，得或， 因此内公切线的方程为，即； 外公切线的方程为，的方程为，即， 所以圆与圆的公切线方程为，，. 考点五 切线长定理 【知识点解析】 1. 切线长：指从圆外一点到切点的线段长度. 2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角. 3. 图示、符号表示与推论 （1）点为外一点，过点作的两条切线，切点分别为、. （2）. （3）、. （4）. （5） （6）、、、四点共圆，圆心为线段的中点. 【例题分析】 1．（2025·重庆·三模）过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【详解】由题意有，即. 故选：B. 2．（2025·山东·模拟预测）已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆的半径为， 且过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且， 所以圆心到直线l的距离，解得或， 故实数的取值范围是. 故选：D 3．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）若是直线上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，由可得，则其圆心为，半径. 因为直线与圆相切，所以，且， 则四边形面积， 又，则. 故当取最小值时，四边形面积取最小值， 由图象可得，取得的最小值即为点到直线的距离， 即， 故四边形面积的最小值为. 故选：B. 4．（24-25高二下·云南昆明·期中·多选）已知圆，P是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆O相切于点A，B，则（   ） A．圆O与直线l相离 B．存在最小值 C．存在最大值 D．存在点P使得为直角三角形 【答案】AB 【详解】圆的圆心，半径， 对于A，点到直线的距离，故圆O与直线l相离，正确； 对于B，， 当且仅当时取等号，正确； 对于C，由垂直平分得，， 则，当且仅当时取等号， 所以不存在最大值，错误； 对于D，由A可知，，若为直角三角形，则， 从而，又，所以不存在点P使得为直角三角形，错误. 故选：AB 5．（24-25高二上·广西钦州·期末·多选）已知圆，点是直线上的点，则（    ） A．圆上有两个点到直线的距离为2 B．圆上只有一个点到直线的距离为2 C．从点向圆引切线，切线长的最小值为 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 【答案】BC 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径. 圆心到直线的距离，所以A不正确，B正确. 从点向圆引一条切线，设切点为，连接，    则，则， 当时， 取得最小值，此时取得最小值， 即，故C正确，D不正确. 故选：BC 6．（24-25高二上·江苏扬州·期中·多选）已知圆：，点，则下列结论正确的是（   ） A．点在圆外 B．圆上动点到点距离的最大值为 C．过点作圆的切线，则切线方程为或 D．过点作圆的切线，切点为A，，则直线的方程为 【答案】AC 【详解】圆：的圆心为，半径， 对于选项A：因为，可知点在圆外，故A正确； 对于选项B：圆上动点到点距离的最大值为，故B错误； 对于选项C：若直线的斜率不存在，此时直线方程为， 圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线斜率存在，设直线方程为，即， 则，解得，所以直线方程为； 综上所述：切线方程为或，故C正确； 对于选项D：直线与圆切与点，记为点A，且直线的斜率， 因为，可知直线的斜率， 所以直线的方程为，即，故D错误； 故选：AC. 7．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习·多选）已知点A，B在圆上，点P在直线上，则（    ） A．直线l与圆O相离 B．当时，的最小值是 C．当PA、PB为圆O的两条切线时，为定值 D．当PA、PB为圆O的两条切线时，直线AB过定点 【答案】ACD 【详解】对A：圆心到直线：的距离：. 所以直线l与圆O相离，故A正确； 对B：如图：    当时，设中点为D，则，. 所以的最小值为，故B错误； 对C：如图：    当PA、PB为圆O的两条切线时，，. 所以为定值.故C正确； 对D：如图：    当PA、PB为圆O的两条切线时，，是圆与以为直径的圆的交点. 设，则以为直径的圆的方程为：即， 由得直线的方程为：. 即. 由，所以直线经过定点.故D正确. 故选：ACD 8．（24-25高一下·重庆·期末）已知圆，过直线上一点P作圆C的切线，切点为A、B，则的最小值为 ． 【答案】1 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离，又， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 故答案为：1 9．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设圆的圆心为，半径为1， 由切线长定理可得， 又因为，，则，所以， 所以，则四边形面积为， 所以， 当的长最小时，弦长最小， 而的最小值为圆心到直线的距离， 所以，所以． 故答案为：. 10．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知长为2的线段的两个端点和分别在x轴和y轴上滑动，线段的中点的轨迹为曲线C， (1)求曲线C的轨迹方程； (2)若是直线上的动点，过点向曲线C引两条切线，切点分别为、，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）设，，由，得，设的中点为， 依题意，，则，即； 所以所求曲线C的方程为. （2）由、为圆的两条切线，得，， 则四边形的面积， 设，，则， 所以四边形的面积的最小值为1. 考点六 以圆为背景的最值问题 【知识点解析】 1. 已知点在圆外，点在圆上，则 （1）的最值问题可转化为点与点的斜率的最值问题； （2）的最值问题可转化为点与点的距离的最值问题； （3）的最值问题可转化为平行的直线与圆相切时截距的最值问题. 2. 若点在圆内，过点做圆的弦，则当弦过圆心时，所得弦长最大；当该弦与过该点的直径垂直时，所得弦最短. 3. 若点在外，点在圆上，当直线过圆心时，取得最大值或最小值，，. 4. 若点在上，直线与圆相离，到直线的距离，圆心到直线的距离为，则，. 5. 求圆上存在与直线距离为的点的数量，应比较圆心到直线的距离与的大小关系，以及与的大小关系. 【例题分析】 1．（24-25高二下·安徽滁州·期末）圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】已知圆的标准方程为：，则其圆心,半径. 直线方程为，根据点到直线的距离公式计算圆心到直线的距离为： . 因为，那么圆与直线相离. 因此，圆上点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去半径，即： 故选:A. 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线：，可化为， 由，解得，，所以过定点， 又因为点在圆上，且，圆的圆心为，半径， 所以当，且，，三点共线时，点到直线的距离最大，最大为， 此时，所以直线的斜率为1，即，无解， 故直线不存在，所以； 当直线与圆相交或相切时，点到直线的距离最小，最小为0， 故点到直线的距离的取值范围为． 故选：B． 3．（2025·湖北·三模）已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（    ）． A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】A 【详解】对于直线，可变形为. 令，解得，所以直线恒过定点. 对于直线，可变形为. 令，解得，所以直线恒过定点. 因为，所以，已知，，则中点坐标为. ，所以半径. 则点的轨迹是以AB为直径的圆的一部分，故点P的轨迹为， 已知圆的圆心，半径，则圆心与点轨迹圆的圆心的距离为. 的最大值为圆心加上两圆半径，即. 由于轨迹不包含点，故不存在最小值. 故选：A． 4．（24-25高二上·广东深圳·期末·多选）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【详解】因为圆，则， 设，，， 对A：， 所以当时，的最大值为，故A正确； 对B：， 所以当时，的最大值为，故B错误； 对C：设，则，圆， 圆心，半径为，则圆心到直线的距离小于等于半径，， 所以，计算得， 所以的最大值为，故C正确； 对D：可以看作是圆上某点到原点的距离的平方， ，故D正确. 故选：ACD. 5．（24-25高二上·江苏南京·期末·多选）已知实数x，y满足，则（   ） A．的最小值为-5 B．的最大值为9 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】 设， 由得，点P在半圆C：上， 对于A，因为，所以当时，的最小值为-5，故A正确； 对于B，设，因为， 所以的最大值为9，故B正确； 对于C，D，设，当过圆心时，， 当与半圆相切时，，故C错误，D正确. 故选：ABD. 6．（24-25高二上·湖北·期中·多选）已知点在圆上，点，则（   ） A．点到直线AB的距离最小值为 B．在点处作圆的切线（为切点）与直线AB相交于点，则|PT|的最小值为 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】BCD 【详解】因为圆的圆心，半径， 且，则直线方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以点到直线AB的距离最小值为，故A错误； 在中，， 当最小时，则最小，由选项A可知，的最小值为， 则，故B正确； 如图所示，当直线与圆相切时，取到最大值和最小值， 此时，切线长， 其中，则，故C,D正确； 故选：BCD 7．（2025·湖南·模拟预测·多选）已知直线和圆，不过原点O的直线m过点，且与圆O交于P，Q两点，过点O作直线m的垂线交l于点M，则（） A．与圆O没有公共点 B．点O到直线m距离的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，圆的圆心为，半径为， 因为点到直线的距离为， 所以直线与圆相离，A正确． 对于B，如图，过点作直线的垂线，当垂足为点时， 点到直线的距离最大，为，B正确． 对于C，当直线轴时，； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为， 则点到直线的距离为， 从而， 因为恒成立，所以当时，最大， 但此时直线过点，不符合题意，C错误． 对于D，当直线的斜率为0时，； 当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在且不为0时，则直线的方程为且， 联立解得则， 所以． 令，则， 所以当，即时，， 综上所述，的最小值为，D正确． 故选：ABD． 8．（24-25高三下·河北承德·阶段练习·多选）已知圆，点是圆C上的任意一点，则以下说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【详解】由题可知圆的圆心为，半径为1. 设，则，又点是圆C上的任意一点， 所以，解得，所以的最大值为，最小值为，故A正确； 设，， 则，， 当时，取最大值，故B错误； 表示点P到点的距离， 因为圆心到点的距离为，故最大值为，最小值为，故C错误； ，表示点P到直线距离的倍. 因为圆心到直线的距离为， 故点P到直线距离的最小值为，故的最小值为，故D正确. 故选：AD. 9．（2025·上海·模拟预测）圆上的点到直线的距离最大值为 . 【答案】4 【详解】因为， 所以圆心坐标为，半径. 所以圆上的点到的距离最大值为圆心到直线的距离加圆的半径，即的长度. 所以. 故答案为：4. 10．（24-25高二下·上海·期中）已知为圆上一动点，则的最大值为 ． 【答案】8 【详解】设，则在直线上， 又因为在圆上， 所以直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离，解得. 所以的最大值为. 故答案为：. 11．（24-25高二下·上海·期末）已知圆C：及直线l：． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3)弦长为；直线方程为 【详解】（1）由题意可得圆心， 由点在圆上，所以设切线斜率为， 则， 所以直线方程为，即. （2）变形为， 令，解得， 所以直线l恒经过点， 因为，所以点在圆内部， 所以直线l与圆C恒相交. （3）当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点所在的直线垂直， 设弦的斜率为，则， 弦方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 12．（24-25高二上·广东茂名·期末）已知圆关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于、两点，求； (3)在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）圆的方程可化为，圆心为， 因为圆关于直线对称， 则直线过圆心，所以，得. 所以圆的标准方程为. （2）由（1）得圆心为，半径， 又直线的方程为， 则圆心到直线的距离，直线与圆相交， 所以. （3）圆的圆心为，半径长为， 则点到直线的距离为， 所以点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 考点七 以圆为背景的对称问题 【知识点解析】 对称问题 求圆关于点对称的圆的方程 处理方法 （1）求圆心关于点的对称点； （2）写出圆心为，半径为的圆的标准方程. 对称问题 求圆关于直线对称的圆的方程 处理方法 （1）求圆心关于直线的对称点； （2）写出圆心为，半径为的圆的标准方程. 对称问题 圆关于直线对称 处理方法 直线经过的圆心. 【例题分析】 1．（24-25高二上·云南红河·期末）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的标准方程为：，圆心. 圆的标准方程为：，圆心. 所以线段的中点为， 由题意，为线段的垂直平分线，且，所以， 所以的方程为，则. 故选：D 2．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，设对称圆的圆心为， 依题意得，解得， 又圆的半径与对称圆的半径相等， 所以对称圆的方程为. 故选：D. 3．（24-25高二上·江苏盐城·期中）圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，的圆心，半径， 由题意则与关于直线对称， 所以，解得， 所以圆的标准方程为， 故选：A 4．（24-25高二上·广西柳州·期末）圆关于直线对称，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】圆的圆心坐标为， 因为圆关于直线对称， 则直线过圆心，所以，则， 所以， 当且仅当时，即当时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 5．（24-25高二下·天津·阶段练习）圆关于直线对称，则实数m的值 ． 【答案】3 【详解】由圆的标准方程为，则圆心为， 圆关于直线对称，则，即或， 显然时，不合要求，满足， 所以. 故答案为：3 高考真题实战训练 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 2．（2025·全国一卷·高考真题）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：，    故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B.      4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 【答案】C 【详解】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 【答案】（中任意一个皆可以） 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 8．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ． 【答案】 【详解】圆化为标准方程为：， 圆的面积为，圆的半径为， ，解得． 故答案为： 9．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 【答案】2 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解析几何：圆的方程复习讲义 解析几何：圆的方程复习讲义 考点一 圆的定义与方程 【知识点解析】 1. 圆的定义与方程 知识点 知识点解析 圆的定义 到定点的距离相等的点的集合. 圆的两要素 圆心与半径. 圆的标准方程 若已知圆的圆心为，半径为，则标准方程为. 圆的一般方程 ，其中. 2.求轨迹方程的五个步骤 （1）设定变量与坐标系：建立适当的坐标系，用表示曲线上任意一点的坐标； （2）分析几何条件：写出适合条件的点的集合； （3）代数化几何条件：用坐标表示条件，列出方程； （4）化简方程：化方程为最简形式； （5）査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 【例题分析】 考向一 圆的标准方程 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京海淀·二模）圆心为且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·海南·阶段练习）圆心在直线上，并且与轴相切于点的圆的标准方程为 . 4．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，则圆的标准方程是 . 5．（24-25高二下·四川成都·期末）圆心为点，且过点的圆的标准方程是 ． 考向二 圆的一般方程 1．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知表示圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则这个圆的半径是 . 6．（24-25高二下·上海·期末）已知，圆的面积为，则 . 7．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）过三个点，，的圆的方程为 ． 考向三 曲线的轨迹方程 1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南昭通·期末）已知，，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则点M的轨迹方程为 . 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知向量，满足，则动点的轨迹方程是 . 4．（24-25高二上·青海西宁·期中）已知圆是圆上一动点，点为线段的中点，则动点的轨迹方程为 . 5．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知直角的斜边为AB，且，，则直角顶点C的轨迹方程为 ，直角边BC的中点M的轨迹方程为 ． 考点二 以圆为背景的位置关系问题 【知识点解析】 1．点与圆的位置关系 点与圆和的位置关系是： 位置关系 几何法 代数法 在圆内 点到圆心的距离小于半径 或 在圆上 点到圆心的距离等于半径 或 在圆外 点到圆心的距离大于半径 或 2．直线与圆的位置关系 位置关系 几何法 代数法 相切 圆心到直线的距离等于半径 联立直线与圆的方程，消元所得二次方程的判别式 相交 圆心到直线的距离小于半径 联立直线与圆的方程，消元所得二次方程的判别式 相离 圆心到直线的距离大于半径 联立直线与圆的方程，消元所得二次方程的判别式 3．圆与圆的位置关系 ：与：的位置关系是： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内离 判定方法 【例题分析】 考向一 直线与圆的位置关系 1．（24-25高二下·湖北荆门·期末）设直线，圆，则与圆C（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能 2．（24-25高二下·广东深圳·期末）直线和圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交且过圆心 3．（2025·北京大兴·三模）已知直线：与圆：，则（    ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 4．（2025·重庆九龙坡·三模）若直线 与圆 相切，则实数 的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·天津红桥·二模）已知直线与圆 相切，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·福建厦门·期末）若轴与圆相切，则（    ） A． B． C． D． 考向二 圆与圆的位置关系 1．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（2025·浙江温州·三模）已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广西崇左·期末）圆与圆的位置关系是 ． 4．（2025·云南曲靖·模拟预测）已知圆和圆有一个公共点，则的值为 ． 5．（24-25高二下·河南信阳·阶段练习）已知圆和圆相切，则 6．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知平面直角坐标系中两定点为、，为坐标原点． (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)设．动点满足，记的轨迹为曲线．若曲线与圆：外切，求的值． 7．（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知圆M经过和，且圆心在直线上． (1)求圆M的方程； (2)若圆N：与圆M外切，求实数a的值． 考向三 直线与半圆的交点问题 1．（24-25高二下·贵州毕节·期末）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海宝山·期末）若直线（常数）与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是 ． 4．（24-25高二下·上海·阶段练习）过定点的直线与曲线交于不同的两点，则直线的斜率的取值范围是 . 考点三 弦长问题 【知识点解析】 1. 弦长问题：若直线：与圆的方程为相交 处理方法 处理步骤 图解 几何法 （1）求圆心到直线的距离，圆的半径； （2）弦长为，则，整理得. 代数法 （1）联立直线与圆的方程，消元得二次方程，整理韦达定理； （2）设直线与圆的两交点分别是， 则. ※不管用哪种方法，设直线时需考虑直线斜率是否存在 2. 公共弦问题：若：与：相交 问题 处理方法 公共弦方程 将与的方程联立，消去与，可得公共弦方程. 公共弦弦长 先求公共弦，再转化为公共弦与圆的弦长问题. 【例题分析】 考向一 弦长问题 1．（24-25高二下·广西桂林·期末）直线与圆交于，两点，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·四川泸州·期末）已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．2 3．（24-25高二下·云南·期中）已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·三模）已知直线与圆交于、两点，则的最小值为（   ） A．5 B．10 C． D． 5．（24-25高二下·河南商丘·阶段练习）直线被圆截得的最短的弦长为（    ） A． B． C．4 D． 6．（24-25高二下·湖南·期末）已知直线，圆，若直线与圆交于M，N两点，则的取值范围为 ． 7．（2025·天津红桥·模拟预测）已知圆：，直线：. (1)求圆的圆心及半径； (2)求直线被圆截得的弦的长度. 8．（24-25高二下·上海虹口·期末）已知圆经过点，且圆心为． (1)求圆的标准方程； (2)若直线经过两点，且与圆相交于点，求线段的长． 9．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程． 10．（24-25高二下·山东潍坊·阶段练习）已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称. (1)求的值 (2)过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程. 考向二 公共弦问题 1．（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）圆与圆相交于A、B两点，则两圆公共弦AB所在直线的方程为 . 2．（24-25高二下·甘肃庆阳·开学考试）若圆，与圆相交于A，B，则公共弦AB所在的直线方程为 ． 3．（24-25高二上·广西河池·期末）已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 . 4．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是 ． 5．（23-24高二上·广东深圳·期末）圆与圆的公共弦的长为 ． 6．（24-25高二上·天津武清·期中）已知圆经过点，，且圆心在直线上，圆． (1)求圆的方程； (2)判断圆与圆的位置关系并说明理由；若相交，求两圆公共弦的长． 考点四 切线问题 【知识点解析】 1. 过定点切线问题：若点在外，求过点与相切的直线 切线类型 处理方法 斜率存在 （1） 设切线为； （2） 利用几何法（圆心到直线距离等于半径）或代数法（直线与圆的方程联立所得二次方程根的判别式等于0）求参数. 斜率不存在 检验圆心到直线的距离与半径是否相等. 2.公切线问题 圆与圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内离 公切线数量 4 3 2 1 0 图解 3. 公切线的求解：已知：与： 切线类型 处理方法 斜率存在 （1） 设公切线为； （2） 利用几何法（圆心到直线距离等于半径）或代数法（直线与圆的方程联立所得二次方程根的判别式等于0）求参数. 斜率不存在 观察图像是否存在与轴的直线与两圆同时相切 两圆相切的公切线 （1） 求直线的斜率； （2） 利用有一条公切线与直线垂直，设公切线为； （3） 利用几何法（圆心到直线距离等于半径）或代数法（直线与圆的方程联立所得二次方程根的判别式等于0）求参数. 【例题分析】 考向一 切线问题 1．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏镇江·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东茂名·期末）过点作圆的切线，则直线的方程为 .（写出一条方程即可） 4．（24-25高二上·湖北·阶段练习）已知圆C的方程为：； (1)过点作圆的切线，求切线的方程. (2)已知圆C上有2个点到直线：的距离为1，求m的取值范围. 5．（24-25高二下·云南文山·阶段练习）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程； (3)求直线上被圆所截得的弦长. 考向二 公切线问题 1．（24-25高三下·辽宁·期中）圆与圆的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）圆，若两圆的公切线恰有3条，则 （    ） A．4 B．6 C．16 D．36 3．（24-25高二下·福建福州·阶段练习）已知圆：与圆：有两条公切线，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·贵州铜仁·期末）圆M：与圆N：的公切线条数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 6．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆O：与圆C关于直线l：对称，则圆O与圆C的一条公切线方程为 （写出其中一条公切线方程即可）. 7．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆与圆 (1)若圆与圆有两个不同的交点，求的取值范围; (2)若，且圆与圆有两个不同的交点求线段DE的长; (3)若r=1，求圆与圆的公切线方程. 考点五 切线长定理 【知识点解析】 1. 切线长：指从圆外一点到切点的线段长度. 2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角. 3. 图示、符号表示与推论 （1）点为外一点，过点作的两条切线，切点分别为、. （2）. （3）、. （4）. （5） （6）、、、四点共圆，圆心为线段的中点. 【例题分析】 1．（2025·重庆·三模）过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（    ） A．2 B． C． D．4 2．（2025·山东·模拟预测）已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）若是直线上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·云南昆明·期中·多选）已知圆，P是直线上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆O相切于点A，B，则（   ） A．圆O与直线l相离 B．存在最小值 C．存在最大值 D．存在点P使得为直角三角形 5．（24-25高二上·广西钦州·期末·多选）已知圆，点是直线上的点，则（    ） A．圆上有两个点到直线的距离为2 B．圆上只有一个点到直线的距离为2 C．从点向圆引切线，切线长的最小值为 D．从点向圆引切线，切线长的最小值是 6．（24-25高二上·江苏扬州·期中·多选）已知圆：，点，则下列结论正确的是（   ） A．点在圆外 B．圆上动点到点距离的最大值为 C．过点作圆的切线，则切线方程为或 D．过点作圆的切线，切点为A，，则直线的方程为 7．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习·多选）已知点A，B在圆上，点P在直线上，则（    ） A．直线l与圆O相离 B．当时，的最小值是 C．当PA、PB为圆O的两条切线时，为定值 D．当PA、PB为圆O的两条切线时，直线AB过定点 8．（24-25高一下·重庆·期末）已知圆，过直线上一点P作圆C的切线，切点为A、B，则的最小值为 ． 9．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ． 10．（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知长为2的线段的两个端点和分别在x轴和y轴上滑动，线段的中点的轨迹为曲线C， (1)求曲线C的轨迹方程； (2)若是直线上的动点，过点向曲线C引两条切线，切点分别为、，求四边形的面积的最小值． 考点六 以圆为背景的最值问题 【知识点解析】 1. 已知点在圆外，点在圆上，则 （1）的最值问题可转化为点与点的斜率的最值问题； （2）的最值问题可转化为点与点的距离的最值问题； （3）的最值问题可转化为平行的直线与圆相切时截距的最值问题. 2. 若点在圆内，过点做圆的弦，则当弦过圆心时，所得弦长最大；当该弦与过该点的直径垂直时，所得弦最短. 3. 若点在外，点在圆上，当直线过圆心时，取得最大值或最小值，，. 4. 若点在上，直线与圆相离，到直线的距离，圆心到直线的距离为，则，. 5. 求圆上存在与直线距离为的点的数量，应比较圆心到直线的距离与的大小关系，以及与的大小关系. 【例题分析】 1．（24-25高二下·安徽滁州·期末）圆上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B．1 C． D． 2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北·三模）已知直线与相交于点P，点Q在圆上，则（    ）． A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 4．（24-25高二上·广东深圳·期末·多选）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 5．（24-25高二上·江苏南京·期末·多选）已知实数x，y满足，则（   ） A．的最小值为-5 B．的最大值为9 C．的最大值为 D．的最小值为 6．（24-25高二上·湖北·期中·多选）已知点在圆上，点，则（   ） A．点到直线AB的距离最小值为 B．在点处作圆的切线（为切点）与直线AB相交于点，则|PT|的最小值为 C．当最小时， D．当最大时， 7．（2025·湖南·模拟预测·多选）已知直线和圆，不过原点O的直线m过点，且与圆O交于P，Q两点，过点O作直线m的垂线交l于点M，则（） A．与圆O没有公共点 B．点O到直线m距离的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 8．（24-25高三下·河北承德·阶段练习·多选）已知圆，点是圆C上的任意一点，则以下说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的最大值为3 C．的最小值为 D．的最小值为 9．（2025·上海·模拟预测）圆上的点到直线的距离最大值为 . 10．（24-25高二下·上海·期中）已知为圆上一动点，则的最大值为 ． 11．（24-25高二下·上海·期末）已知圆C：及直线l：． (1)求过点的圆的切线方程； (2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； (3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 12．（24-25高二上·广东茂名·期末）已知圆关于直线对称. (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于、两点，求； (3)在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值. 考点七 以圆为背景的对称问题 【知识点解析】 对称问题 求圆关于点对称的圆的方程 处理方法 （1）求圆心关于点的对称点； （2）写出圆心为，半径为的圆的标准方程. 对称问题 求圆关于直线对称的圆的方程 处理方法 （1）求圆心关于直线的对称点； （2）写出圆心为，半径为的圆的标准方程. 对称问题 圆关于直线对称 处理方法 直线经过的圆心. 【例题分析】 1．（24-25高二上·云南红河·期末）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·重庆·期中）已知圆M：，求圆M关于直线l：的对称圆方程（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏盐城·期中）圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广西柳州·期末）圆关于直线对称，则的最小值是 ． 5．（24-25高二下·天津·阶段练习）圆关于直线对称，则实数m的值 ． 高考真题实战训练 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·全国一卷·高考真题）若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B．4 C． D．7 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 8．（2023·上海·高考真题）已知圆的面积为，则 ． 9．（2025·天津·高考真题），与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$