专题26 圆的方程讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦圆的方程高考核心考点，涵盖圆的定义与方程、点与圆位置关系、直线与圆及圆与圆位置关系等内容，按“定义-方程-位置关系-切线应用”逻辑架构组织知识点。通过考点梳理、方法指导（如切线结论总结）、真题训练（例题及变式）等环节，帮助学生构建知识网络，突破重点难点，体现复习的系统性和针对性。 讲义特色在于分层教学与核心素养培养，如在轨迹问题中，引导学生从几何条件抽象出代数方程，发展数学眼光和抽象能力。设置基础巩固、能力提升、综合应用三级练习，配合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

2026年高考数学一轮复习 专题26：圆的方程 思维导图 1、圆的定义及方程 知识点1：圆的方程 2、点与圆的位置关系 圆的 3、二元二次方程与圆的关系 方程 1、直线与圆的位置关系及判断 2、圆的切线与切线长 知识点2：直线与圆、圆与圆的位置关系 3、圆的弦长 4、圆与圆的位置关系 知识梳理 知识点1：圆的方程 1、圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 x-a)2+y-b)2=2>0) 圆心：(a,b)半径：r 圆心：alvs4al小col(-\ 一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2-4F>0) fDE2) 半径：=D2+E2-4)2 2、点与圆的位置关系 点Mo,yo),圆的标准方程(x-a2十0y-b)2=2 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 (0一a)2+(y-b)2=2台点在圆上 三种情况 (0一a)2+0-b)2>2台点在圆外 (-a)2十0-b)2<2台点在圆内 第1页共8页 知识点2：直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线和圆的位置关系 直线Ax十By十C=0与圆x一a)2+0y-b)2=2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 图形 d 交点个数 2 1 0 几何法：设圆心到直线的距离d=|Aa十Bb十C d<r d=r d>r 判断 \r(A2+B2) 方法 代数法：由Ax十By+C=O, x-a2+ A>0 4=0 A<0 y-b2=r2)消元得到一元二次方程的判别式4 判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法 2.圆与圆位置关系的判定 (①)几何法：若两圆的半径分别为，2，两圆连心线的长为d,则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 不 d与n,2的关系 d>n十2 d=n十2 ln-2<d<n十2 d=n-n d<n-n 公切线条数 3 2 0 2)代数法：设两圆的一般方程为 C1:x2+y2+D1x+Ey+F1=0(D21+E21-4F1>0),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0D22+E22-4F2>0), 联立方程得x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0,) 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 第2页共8页 两圆的公共点个数 2 1 0 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 满分技巧 关于圆的切线的几个重要结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x,y)的圆的切线方程为xx+yy=r2. (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x,y)的圆的切线方程为 (x,-a)x-a)+(y。-b)(y-b)=r2 (3)过圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上一点P(x,y)的圆的切线方程为 ox+yoy+D.+E+yF=0 2 2 (4)求过圆x2+y2=r2外一点P(x,y)的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为y-y。=k(x-x),利用圆心 到切线的距离等于半径，列出关于k的方程，求出k值.若求出的k值有两个，则说明斜率不存在的情形 不符合题意；若求出的k值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意. 考点突破 考点一求圆的方程 【例1】若圆C与直线4：x+y=0和：x+y-8=0都相切，且圆心在y轴上，则圆C的方程为( 第3页共8页 A.x2+(y+4=8 B.x2+(y-4)=8 C.x2+(y+4)2=16 D.x2+(y-4)2=16 【变式1-1】过点A1,-1,B(-1,1,且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是() A.(x-1)2+(y-1)2=4 B.(x+32+y-1=4 C.（x-3)2+(y+12=4 D.(x+1)+(y+12=4 【变式1-2】过点P(4,2)作圆x2+y2=4两条切线，切点分别为A、B,O为坐标原点，则△OAB的外接圆 方程是() A.(x-2)2+(y-1)2=5 B.(x-4)2+(y-2)2=20 C.(x+2)2+0y+1)2=5 D.(x+4)2+(y+2)2=20 考点二与圆有关的轨迹问题 【例2】己知A,B为圆C:x2+y2-2x-4y+3=0上的两个动点，P为弦AB的中点，若∠ACB=90°，则 点P的轨迹方程为() 4.a-r+0-2=号 B.(x-1)2+(y-2)2=1 c.(e+P+0+2r= D.(x+1)2+(y+2)2=1 【变式2】（多选题）在平面直角坐标系内，已知A(-1,0),B(1,0),C是平面内一动点，则下列条件中使 得点C的轨迹为圆的有() 第4页共8页 4.AC=BC B.AC=2BC C.AC.BC=0 D.AC.BC=2 考点三与圆有关的对称问题 【例3若直线y=kx与圆(x+2)2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则k,b的值分别是() 1 A.2’-4 B. 2,4 C.2,4 D.2’-4 【变式3】圆x2+y2-2x+4y-4=0关于直线x+y-1=0对称的圆的方程是() A.(x-3)2+y2=16 B.x2+(y-3)2=9 C.x2+(y-3)2=16 D.(x-3)2+y2=9 考点四直线与圆的相交关系（含弦长、面积问题） 【例4】（多选题）已知圆C:(x-1)2+(y-2=25,直线1：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.则以下几个命 题正确的有() A.直线1恒过定点(3,1) B.圆C被y轴截得的弦长为4√6 C.直线1与圆C恒相交 D.直线1被圆C截得最长弦长时，直线1的方程为2x-y-5=0 【变式4】己知动点P到点A1,0)的距离是到点B1,3)的距离的2倍，记P点的轨迹为C,直线y=x+1交 第5页共8页 C于M,N两点，Q(1,4),若△QMN的面积为2，则实数k的值为 考点五直线与圆的相切关系与切点弦问题 【例5】已知圆0：x2+y2=3,1为过M1,√2的圆的切线，A为1上任一点，过A作圆N: (x+22+y2=4的切线，则切线长的最小值是 【变式5】己知圆O:则x2+y2=4,过点(2,4)作圆的切线，则切线的方程为 考点六圆与圆的位置关系与弦长问题 【例6】圆0：(x-1)2+(y-1)2=28与02：x2+(y-4)2=18的公共弦长为() A.25 B.2√6 C.3V2 D.62 【变式6】已知圆C:x2+y2-2x-3=0与圆C2:x2+y2-4x+2y+3=0相交于A、B两点. (1)求公共弦AB所在直线方程： (2)求过两圆交点A、B,且过原点的圆的方程 第6页共8页 课后巩固 1.已知P是半圆C:V2y-y2=-x上的点，Q是直线x-y-1=0上的一点，则P的最小值为() A.3v2 B.√2-1 c.2-1 D.② 2 2 2 2.已知圆C:x2+y2+2ay=0(a>0)截直线V3x-y=0所得的弦长为2√5，则圆C与圆 C':(x-1)+(y+1)2=1的位置关系是() A.相离 B.外切 C.相交 D.内切 3.(多选题)已知圆C:x2+y2-4x=0和直线1：kc-y+1-2k=0,则() A.直线1与圆C的位置关系无法判定 B.当k=1时，圆C上的点到直线I的最远距离为2+ 2 C.当圆C上有且仅有3个点到直线1的距离等于1时，k=0 D.如果直线I与圆C相交于M,N两点，则弦MN的中点的轨迹是一个圆 第7页共8页 4.圆心为C(-1,2),且截直线x+3y+5=0所得弦长为26的圆的方程为 5.已知圆C经过点A(2,-1),和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上. (1)求圆C的方程； (2)已知直线1经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线1的方程 6.已知在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3),直线1：y=2x-4.设圆C的半径为1，圆心在直线1上. (I)若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； 第8页共8页 2026年高考数学一轮复习 专题26：圆的方程 知识点1： 圆的方程 1、圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 2、点与圆的位置关系 点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系 三种情况 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2r2⇔点在圆内 知识点2：直线与圆、圆与圆的位置关系 1.直线和圆的位置关系 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 图形 交点个数 2 1 0 判断方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由消元得到一元二次方程的判别式△ △＞0 △＝0 △＜0 判断直线与圆的位置关系，一般常用几何法 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| 公切线条数 4 3 2 1 0 (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2 1 0 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 关于圆的切线的几个重要结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为 （3）过圆上一点的圆的切线方程为 （4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意． 考点一 求圆的方程 【例1】若圆C与直线：和：都相切，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（          ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】因为直线：和：的距离，由圆C与直线：和：都相切，所以圆的半径为，又圆心在轴上，设圆心坐标为，，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以或（舍去），所以圆心坐标为，故圆的方程为；故选：B 【变式1-1】过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为过点与，所以线段AB的中点坐标为，， 所以线段AB的中垂线的斜率为，所以线段AB的中垂线的方程为，又因为圆心在直线上，所以，解得，所以圆心为，所以圆的方程为．故选：A 【变式1-2】过点作圆两条切线，切点分别为A、B，O为坐标原点，则的外接圆方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】由题意知O、A、B、P四点共圆，从而的中点坐标为所求圆的圆心，为所求圆的半径，所以所求圆的方程为．故选：A． 考点二 与圆有关的轨迹问题 【例2】已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】圆即，半径因为，所以又是的中点，所以所以点的轨迹方程为故选：B 【变式2】（多选题）在平面直角坐标系内，已知，，是平面内一动点，则下列条件中使得点的轨迹为圆的有（       ） A． B． C． D． 【答案】BCD【解析】设点C的坐标为 则 ，对于A：由得，即，故A错误；对于B：由得，整理得，即，故B正确；对于C：由得，即，故C正确；对于D：由得，即，故D正确； 故选：BCD 考点三 与圆有关的对称问题 【例3】若直线与圆的两个交点关于直线对称，则，的值分别是（       ） A．， B．，4 C．，4 D．， 【答案】C【解析】由题意得与垂直，且直线过圆心， 所以，解得．故选：C． 【变式3】圆关于直线对称的圆的方程是（       ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】圆的圆心坐标为，半径为3设点关于直线的对称点为，则 ，解之得则圆关于直线对称的圆的圆心坐标为则该圆的方程为， 故选：D． 考点四 直线与圆的相交关系（含弦长、面积问题） 【例4】（多选题）已知圆，直线.则以下几个命题正确的有（       ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得最长弦长时，直线的方程为 【答案】ABC【解析】直线方程整理得，由，解得，∴直线过定点，A正确；在圆方程中令，得，，∴轴上的弦长为，B正确；，∴在圆内，直线与圆一定相交，C正确；直线被圆截得弦最长时，直线过圆心，则，，直线方程为，即．D错．故选：ABC． 【变式4】已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，记点的轨迹为，直线交于，两点，，若的面积为2，则实数的值为___________. 【答案】或1【解析】设，则有整理得，即点的轨迹为以为圆心以2为半径的圆点到直线的距离 直线交于，两点，则则的面积解之得或故答案为：或1 考点五 直线与圆的相切关系与切点弦问题 【例5】已知圆：，为过的圆的切线，为上任一点，过作圆：的切线，则切线长的最小值是__________. 【答案】【解析】由题，直线的斜率为，故直线的斜率为，故的方程为，即.又到的距离，故切线长的最小值是故答案为： 【变式5】已知圆O：则，过点作圆的切线，则切线的方程为___________. 【答案】或.【解析】由题意：当切线斜率不存在时，方程为：，满足与圆相切， 当斜率存在时，设切线方程为：，则：，解得，此时切线方程为：，即，故答案为：或 考点六 圆与圆的位置关系与弦长问题 【例6】圆与的公共弦长为（       ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】已知圆，圆，两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：：，而圆心到直线的距离为，圆的半径为，所以，所以.故选：D. 【变式6】已知圆与圆相交于A、B两点． （1）求公共弦AB所在直线方程； （2）求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程． 【解析】（1），① ，② ①-②得 即公共弦AB所在直线方程为．（2）设圆的方程为 即 因为圆过原点，所以， 所以圆的方程为 1．已知P是半圆C：上的点，Q是直线上的一点，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】由，如图所示，显然当P运动到坐标原点时，有最小值，最小值为原点到直线的距离，即，故选：D 2．已知圆截直线所得的弦长为，则圆C与圆的位置关系是（       ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C【解析】圆C的圆心为，半径为a，其圆心到直线的距离为， 所截得的弦长为，解得．所以，C的圆心为，半径为2；又的圆心为，半径为1，，故可得，则两圆的位置关系是相交．故选：． 3．（多选题）已知圆和直线，则（       ） A．直线与圆的位置关系无法判定 B．当时，圆上的点到直线的最远距离为 C．当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时， D．如果直线与圆相交于两点，则弦的中点的轨迹是一个圆 【答案】BCD【解析】由题知，圆的圆心为，半径为，直线，故直线过定点，对于A选项，由于点在圆内，故直线与圆相交，A错误；对于B选项，当时，直线，圆心到直线的距离为，故圆上的点到直线的最远距离为，B正确；对于C选项，当圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1时，圆心到直线的距离为，解得，C正确；对于D选项，由于直线过定点，设弦的中点为，则，即点的轨迹为以为直径的圆，故D正确.故选：BCD 4．圆心为，且截直线所得弦长为的圆的方程为___________． 【答案】【解析】由题知，圆心为，到直线的距离为，因为圆心为，且截直线所得弦长为，所以，圆的半径为，所以，所求圆的方程为．故答案为： 5．已知圆C经过点A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上． （1）求圆C的方程； （2）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程 【解析】（1）设圆心的坐标为C（a，－2a），则＝． 化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．所以C点坐标为（1，－2），半径r＝|AC|＝＝． 故圆C的方程为．（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y=kx，由题意得，解得，∴直线l的方程为，即3x+4y=0．综上所述，直线l的方程为 x=0 或 3x+4y = 0． 6．已知在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在直线上． (1)若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； 【解析】(1)联立，解得，即圆心，所以，圆的方程为. 若切线的斜率不存在，则切线的方程为，此时直线与圆相离，不合乎题意； 所以，切线的斜率存在，设所求切线的方程为，即， 由题意可得，整理可得，解得或. 故所求切线方程为或，即或. 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $