精品解析：福建省泉州市科技中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

泉州科技中学2024—2025学年度第二学期高一年期中考试 数学试卷 命题教师：高二备课组 时间：120分钟 满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 3. 用斜二测画法画梯形的直观图，如图所示．已知，，则梯形绕轴旋转一周形成的空间几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知球是正三棱柱的内切球，，是球表面上一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 第七届数字中国建设峰会在福建举行，其中主题为“显示+创意”的裸眼3D展台引人关注．峰会上显示屏的示意图如图所示，底面为等腰梯形，侧面，，均为矩形且垂直于底面，已知，，，．若有一只虚拟的蝴蝶沿线段飞行，则蝴蝶（视为质点）到点的最短距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为复数，则下列说法中正确的有（ ） A. 为实数 B. 若复数满足，则 C. D. 若，则的最小值为 10. 已知函数的图象如下图所示，下列正确的是（  ） A. 的解折式为 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的新函数为偶函数 D. 函数图象的对称轴方程是 11. 一圆锥的侧面展开图如图所示，，弧长为，为线段的中点，为弧中点，则（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 在扇形中， C. 该圆锥内半径最大的球的表面积为 D. 该圆锥内接正四棱柱表面积的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则与夹角的余弦值是______． 13. 已知正四棱柱的底面边长为2，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为______. 14. 中，，则角的取值范围是_________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3 （1）求△CBD的面积； （2）求边AC的长. 16. 如图，是圆柱下底面的直径且长度为，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. （1）求圆柱的侧面积和体积； （2）若，点在线段上，点在线段上，求的最小值，并求此时的长. 17. 在中，角所对的边分别为，且，边上有一动点. （1）当为边中点时，若，求的长度； （2）当为的平分线时，若，求的最大值. 18. 已知函数. （1）把化成的形式； （2）若，且，求的值. （3）在中，若，求的取值范围. 19. 如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点. （1）若，当k为何值时，与垂直？ （2）若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求 最小值. （3）若的最小值为1，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州科技中学2024—2025学年度第二学期高一年期中考试 数学试卷 命题教师：高二备课组 时间：120分钟 满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用代数形式的复数乘法计算得解. 【详解】. 故选：B 2. 已知向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据列等式，整理即可得到. 【详解】因为，所以，整理得. 故选：B. 3. 用斜二测画法画梯形的直观图，如图所示．已知，，则梯形绕轴旋转一周形成的空间几何体的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，在直观图中，由梯形的性质可得的长，将直观图还原为原图，利用圆台的侧面积公式计算即可得答案. 【详解】画出梯形的原图，如图所示． 在直观图中，，，得， 则在原图中，，，四边形是直角梯形， 则四边形OABC绕轴旋转一周所形成的空间几何体是一个圆台， 该圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，高为， 故该圆台的母线长为，侧面积为． 故选：A 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式及二倍角余弦公式求解. 【详解】由，知， 则， 故选：D 5. 在中，角的对边分别为，若，则的形状是（    ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件即结合余弦定理和即可得解. 【详解】因为， 所以，且， 所以由余弦定理得，整理得，又， 所以，故是等边三角形. 故选：B. 6. 已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用辅助角公式可得，根据自变量取值范围以及正弦函数图象性质可得，解不等式可得. 【详解】易知， 当时，， 又因为在区间内有最大值，但无最小值，所以， 解得. 故选：B 7. 已知球是正三棱柱的内切球，，是球表面上一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得等边三角形内切圆的半径，也即求得正三棱柱内切球的半径，根据向量运算求得正确答案. 【详解】设等边三角形内切圆的半径为， 则， 则正三棱柱的内切球半径，则正三棱柱的高为. 设等边三角形外接圆半径为，则， 所以，设是等边三角形的中心，是的中点， 连接，则，， 是球表面上一点，则 ， ，（同向是为，反向时为）， 所以，所以的取值范围是. 故选：B 【点睛】思路点睛:通过内切圆求内切球：首先通过等边三角形的内切圆半径，求得正三棱柱的内切球半径，这是确定球的大小的关键步骤. 利用向量运算确定数量积的取值范围：通过设定球心和球面上一点之间的关系，转化后利用向量运算确定数量积的取值范围，确保所有可能情况都得到考虑. 8. 第七届数字中国建设峰会在福建举行，其中主题为“显示+创意”的裸眼3D展台引人关注．峰会上显示屏的示意图如图所示，底面为等腰梯形，侧面，，均为矩形且垂直于底面，已知，，，．若有一只虚拟的蝴蝶沿线段飞行，则蝴蝶（视为质点）到点的最短距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】问题转化为求边上的高即可，利用三角形的面积求解. 【详解】因为底面为等腰梯形，且，，， 所以，. 在中，，，， 所以. 所以. 所以， 又设边上的高为，则. 由. 即蝴蝶（视为质点）到点的最短距离为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：明确蝴蝶到点的最短距离即为边上的高，这是解决问题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为复数，则下列说法中正确的有（ ） A. 为实数 B. 若复数满足，则 C. D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据复数的分类即可；对于B，根据复数相等进行计算即可； 对于C，根据复数的模长和乘法公式即可；对于D，根据复数的几何意义，转化为两点之间的距离即可. 【详解】设，则. 对于A，为实数，A正确； 对于B，，于是B正确； 对于C，取，则， 此时C不正确； 对于D，在复平面内表示复数对应的点到与距离相等， 则复数对应的点到的距离最小值为D正确. 故选：ABD. 10. 已知函数的图象如下图所示，下列正确的是（  ） A. 的解折式为 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的新函数为偶函数 D. 函数图象的对称轴方程是 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意求出函数的解析式，即可判断A；结合图象可得是的一条对称轴，可判断B；求出平移后的函数的解析式，再根据函数的奇偶性可判断C；求出正弦函数的对称轴方程，即可判断D. 【详解】解：对于A，由图象知：， 所以，解得：； 因为， 所以， 解得：， 又，所以， 所以，故A正确； 对于B，由图象可知：是的一条对称轴，B错误； 对于C，向右平移个单位长度得：， 因为， 所以所得函数为奇函数，C错误； 对于D，令，解得：， 所以的对称轴为，D正确. 故选：AD. 11. 一圆锥的侧面展开图如图所示，，弧长为，为线段的中点，为弧中点，则（ ） A. 该圆锥的体积为 B. 在扇形中， C. 该圆锥内半径最大的球的表面积为 D. 该圆锥内接正四棱柱表面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件及弧长公式，利用圆锥的体积公式及向量的线性运算，再利用数量积的定义，等体积法锥体内切球半径表面积和球的表面积公式，结合正四棱柱的表面积公式和二次函数的性质即可求解. 【详解】因为圆锥的侧面展开图中，，弧长为， 所以，解得， 设圆锥底面圆的半径为，则，解得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为，故A正确； 因为，为线段的中点，为弧中点， 所以 ，故B错误； 圆锥内半径最大的球就是圆锥的内切球，设内切球半径为， 由等体积可得，解得， 所以该圆锥内半径最大的球的表面积为，故C正确； 设圆锥内接正四棱柱的高为，底面正方形边长为，则 ， 所以正四棱柱的表面积为 ， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值为，故D正确； 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则与夹角的余弦值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】求出向量的坐标，利用平面向量夹角的坐标表示可求得结果. 【详解】由已知可得，所以，. 故答案为：. 13. 已知正四棱柱的底面边长为2，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据正四棱柱的边长和高求外接球的半径，再代入球的表面积公式，即可求解. 【详解】设外接球的半径为，则, 所以正四棱柱的外接球的表面积. 故答案为： 14. 中，，则角的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意可知，由余弦定理可知，根据对号函数的图象，确定的取值范围，即可. 【详解】在中，设，则，即. 由余弦定理可知 令，画函数图象如下： 由图象可知， 即 又为的内角 【点睛】本题考查余弦定理，以及对勾函数的图象与性质，属于较难的一道题. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 15. 如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3 （1）求△CBD的面积； （2）求边AC的长. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求得，即可得出，再由面积公式即可求解； （2）由正弦定理即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得， 则， ； （2）在中，由正弦定理得， 即，解得. 16. 如图，是圆柱下底面的直径且长度为，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点. （1）求圆柱的侧面积和体积； （2）若，点在线段上，点在线段上，求的最小值，并求此时的长. 【答案】（1）侧面积为；体积为 （2）； 【解析】 【分析】（1）代入圆柱侧面积公式和体积公式计算即可； （2）延长线段至，使得，则，作，故为的最小值，在中，求出即可． 【小问1详解】 由已知，圆柱底面圆的半径， ∵母线长，∴圆柱的高， ∴圆柱的侧面积， 圆柱的体积. 【小问2详解】 如图，延长线段至，使得， 作，垂足为，交与， 因为是圆柱下底面的直径，是圆柱的母线， 所以， 则，∴， 所以， 此时，取得最小值， 因为，，所以， 所以在中，， 所以， 所以的最小值为. 又在中，， 所以， 则在中， . 17. 在中，角所对的边分别为，且，边上有一动点. （1）当为边中点时，若，求的长度； （2）当为的平分线时，若，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出，再由向量的运算得出的长度； （2）由余弦定理结合基本不等式得出，再由得出，最后由对勾函数的单调性得出的最大值. 【小问1详解】 解：因为， 所以，即. 由正弦定理，得. 因为，所以. 因为，所以. 又因为，所以，所以. 因为为边中点，所以，则. 又， 所以，即，即， 所以. 【小问2详解】 在中，由余弦定理，得. 又，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，所以. 因为平分， 所以， 所以， 所以. 令，则. 因为在上单调递增， 所以当即时，取得最大值为， 所以的最大值为. 18. 已知函数. （1）把化成的形式； （2）若，且，求的值. （3）在中，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式，二倍角公式和辅助角公式将函数化成正弦型函数. （2）由条件推得，根据角的范围求出，利用拆角变换即可求出的值. （3）由及角的范围求得，利用三角形内角和，将所求式用的三角函数表示，通过三角恒等变换将其化成正弦型函数，结合角的范围与正弦函数的图象性质即可求出其范围. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由（1）知，则， 由，得，则， 则 . 【小问3详解】 在中，，由，得， 则，解得，则， 于是， 由，得，则，即， 所以的取值范围为. 19. 如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点. （1）若，当k为何值时，与垂直？ （2）若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求 最小值. （3）若的最小值为1，求的值. 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得，再由向量垂直和数量积的关系即可求出结果； （2）由向量的线性运算和共线的条件得到，即可得到，再用基本不等式计算； （3）由向量的数量积的定义得到，再由模长的计算得到，结合二次函数的性质解出即可. 【小问1详解】 因为， 所以由余弦定理得，即，所以. 若与垂直，则， 所以，所以， 解得，即时，与垂直； 【小问2详解】 因为为的重心，所以， 又因为，所以， 由于三点共线，所以存在实数使得，所以 化简为，所以，所以. 显然，则， 当且仅当时，即时，取最值. 则的最小值为2. 【小问3详解】 设与的夹角为，在中，， 所以， 又 ， 所以当时，有最小值，所以，解得， 即取最小值1时，． 【点睛】知识点点睛：本题考查了余弦定理解三角形,向量垂直和数量积的关系,向量的线性运算和共线的条件，基本不等式计算最值，二次函数的性质.综合性特别强，转化能力要求高，属于难题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $