精品解析：湖南省衡阳市2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，，，则A的大小可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用大边对大角即可判断. 【详解】在中，由，得，即，所以A的大小可能为. 故选：A 2. 设集合，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】转化为无解，利用根的判别式进行求解. 【详解】依题意可得无解，所以，解得． 故选：A 3. 若为定义在R上的奇函数，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为2 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇偶性化简即可得解. 【详解】由为定义在R上的奇函数，得， 则，解得， 则的最小值为． 故选：B 4. 关于复数，下列判断正确是（ ） A. z的实部为8 B. z为纯虚数 C. z的虚部为6 D. z为实数 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数乘方运算计算出，得到答案. 【详解】因为， 所以z为实数，ABC均错误，D正确． 故选：D 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用两角和差公式可得，再结合倍角公式运算求解即可. 【详解】因为，即． 所以． 故选：D. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中间值2，结合对数函数单调性可比较，将化为，结合对数函数单调性可比较. 【详解】． 故选：D 7. 已知，，以A，B为焦点的椭圆经过点P，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不妨设，，由，求得，进而得解. 【详解】不妨设，， 该椭圆的离心率为，解得或， 因为，所以，所以. 所以的取值范围为. 故选：C. 8. 某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有1，2，3，4四个区域，现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉.若从所有种植方案中任意选一种，则这种方案中花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出区域1与区域3种同种花卉和不同花卉的方案种数，根据古典概率的公式求解. 【详解】当区域1与区域3种植同一种花卉时，该花坛种植方案共有种； 当区域1与区域3不种植同一种花卉时，该花坛种植方案共有种． 故该花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将曲线向左平移个单位长度后，再将所得曲线每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的最小正周期为2 C. 曲线关于直线对称 D. 曲线关于点对称 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数图象变形逐项求出对应的解析式即可判断得解. 【详解】由图象变换可得，则的最小正周期，A错误，B正确．，，C错误，D正确． 故选：BD 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A和B，通过赋值法，即可求解；对于C，利用二项展开式的通项公式，即可求解；对于D，对展开式两边求导，再赋值，即可求解. 【详解】对于A，令，得，所以A正确； 对于B，令，得，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以C正确， 对于D，对两边同时求导， 得， 令，得，所以D正确． 故选：ACD. 11. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，位于第二象限的点M在C上，且的周长为12，线段与y轴交于点H.若，则（ ） A. C的焦距为4 B. C的实轴长为 C. C的离心率为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据方程可得，即可得焦距；对于D：根据题意结合双曲线的定义可得，，结合余弦定理运算求解；对于BC：根据题意结合几何知识分析可得，即可得实轴长和离心率. 【详解】对于选项A：由题意可知：，即， 所以C的焦距为，故A正确； 对于选项D：因为的周长为12， 则，可得， 又因为，可得，， 设， 又因为，可得， 所以，故D正确； 对于选项BC：设，则， 由等面积法可得，即，解得， 由，整理可得， 因为，所以解得， 所以C的实轴长为， C的离心率，故B错误，C正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据5，6，6，7，8，9，5的中位数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据中位数的定义求解. 【详解】样本数据5，6，6，7，8，9，5按照从小到大的顺序排列为5，5，6，6，7，8，9， 则所求样本数据的中位数为6. 故答案为：6. 13. 已知圆C：与曲线的公切线为直线（），则圆C的半径为______，______． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】根据圆的一般方程的二次项系数的特点求出，设出直线和的切点，根据导数的几何意义和点到直线的距离列方程求解 【详解】由圆C的方程，得，即，所以圆C：的半径为， 则点到直线的距离，得． 和相切，设切点为， ．由，得，得， 因为，所以． 设，则，当时，，当时，， 则在上递减，在上递增， 所以，所以． 故答案为： 14. 在一个棱长为10dm的正四面体容器（容器壁的厚度忽略不计）内放置四个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______dm． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知当四个铁球的球心的连线，构成正四面体时半径最大，根据相切计算半径即可. 【详解】记该正四面体为四面体，铁球的最大半径为， 当铁球的半径最大时，把四个铁球的球心两两相连， 此时构成一个棱长为的正四面体， 设I为正三角形的中心，连接， 则dm， ， 即，解得. 所以正四面体的中心O到底面ABC的距离为dm， 又O也是正四面体的中心，同理可得，O到底面ABC的距离为dm， 即，解得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个一球），若某次发球成功，则该次发球者得2分，对方得分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次发球者得分，对方得2分，对方发下一次球．已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的概率为，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立． （1）在前两个球发完后，求甲共得1分的概率； （2）设甲这次发球练习的总得分为X，求X的分布列与期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）找出所有符合题意的情况，分别求出其概率，再根据互斥事件的概率公式相加求解即可. （2）列出X的所有可能取值，分别计算对应概率,做出分布列，求出期望即可. 【小问1详解】 设“第i（，2，3）个球甲发球成功”，“‘第i（，2，3）个球乙发球成功”，“在前两个球发完后，甲共得1分”， 则，且与相互独立，与相互独立，与互斥， 所以． 【小问2详解】 X的可能取值为，0，3，6． ， ， ， ． X的分布列为 X 0 3 6 P 故． 16. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为矩形，E为棱的中点． （1）若，证明：． （2）设，，，，且点F到平面的距离为，求λ的值． 【答案】（1）证明见详解 （2）或 【解析】 【分析】（1）连接BD，，先根据正方形的性质、直四棱柱的性质及线面垂直的判定可证明平面，再根据线面垂直的性质即可证明； （2）根据题意建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量为，再根据向量的加法求出，进而根据点F到平面的距离为即可求出λ的值． 【小问1详解】 连接BD，， 因为，底面ABCD为矩形， 所以底面ABCD为正方形，所以， 在直四棱柱中，底面ABCD，则， 因为，平面，所以平面． 又平面，所以． 【小问2详解】 以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 则，，，，， 则，，, 设平面的法向量为， 则 令，得, 由，， 所以， 所以点F到平面的距离， 解得或． 17. 在数列中，，且． （1）求的通项公式． （2）证明：． （3）若数列中存在两项，，使得，则称为数列的等项数对．证明：的等项数对唯一． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先证明为等差数列，然后可得通项； （2）利用错位相减法求出，然后可证； （3）判断数列单调性可得，然后验证前几项即可得证. 小问1详解】 因为，，所以， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，得． 【小问2详解】 设， 则， 则， 因为，所以． 【小问3详解】 由（1）知，， 当时，，当时，， 所以，注意到， ，，，，， 所以等项数对唯一，且唯一等项数对为． 18. 已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动． （1）求C的方程． （2）若直线AB的方程为，求内切圆的半径r． （3）设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是， 【解析】 【分析】（1）将代入，结合，则，得到C的方程为； （2）联立与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出，，求出的面积，进而利用求出半径； （3）由角平分线得到，设，，结合，得到方程，联立与得两根之和，两根之积，代入上式，求出，从而求出直线AB过定点． 【小问1详解】 因为抛物线C：经过点，所以， 解得或， 又C的焦点F在x轴的正半轴上，所以，则，则C的方程为． 【小问2详解】 设，． 由得，，则 ， ． 因为点到直线AB的距离， 所以的面积， 所以． 【小问3详解】 是，定点坐标为， 因为EF平分，所以， 设，， 则， 因为，，所以， 整理得， 则， 即．① 将代入，得， 则 代入①可得， 因为，所以，即， 所以直线方程， 所以直线AB过定点． 19. 已知函数导数为，的导数为的二阶导数，记作．若函数在包含的某个开区间上具有二阶导数，那么，，我们把称为函数在处的二阶拟合函数． （1）写出函数在处的二阶拟合函数，并证明对恒成立； （2）若对恒成立，求a的取值范围； （3）设函数的两个零点为，，在处的二阶拟合函数为，证明：有两个零点，，且． 【答案】（1），证明见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据二阶拟合函数定义即可得，构造函数，利用二阶导数讨论单调性即可得证； （2）构造函数证明，结合（1）可得，当时，通过放缩可得成立，当时，通过放缩可知，然后构造函数，利用导数证明不满足题意即可得解； （3）求出，根据二次函数性质可证其有两个零点，将目标不等式转化为，构造，利用导数即可得证. 【小问1详解】 因为，， 所以在处的二阶拟合函数． 设，则，， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，即， 所以对恒成立． 【小问2详解】 记，则，则， 所以在上单调递增，， 所以在上单调递增，即， 所以对恒成立， 由（1）可知，则， 所以当时，对恒成立， 则对恒成立． 设， 当时，， 设，则， 所以在上单调递减，则， 所以，这与题意矛盾，所以． 【小问3详解】 因为， 所以，则， 则， 因为，且的图象开口向上， 所以有两个零点，且． 因为当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 要证，只需证， 因为，且， 所以只需证， 构造函数， 则， 所以在上单调递增，所以，即， 因为，所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，，，则A的大小可能为（ ） A B. C. D. 2. 设集合，则a的取值范围是（ ） A B. C. D. 3. 若为定义在R上的奇函数，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为2 4. 关于复数，下列判断正确的是（ ） A. z的实部为8 B. z为纯虚数 C. z的虚部为6 D. z为实数 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，以A，B为焦点椭圆经过点P，且该椭圆的离心率大于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有1，2，3，4四个区域，现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉.若从所有种植方案中任意选一种，则这种方案中花坛区域1和区域3种植的是同一种花卉的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将曲线向左平移个单位长度后，再将所得曲线每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的最小正周期为2 C. 曲线关于直线对称 D. 曲线关于点对称 10. 已知，则（ ） A. B C. D. 11. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，位于第二象限的点M在C上，且的周长为12，线段与y轴交于点H.若，则（ ） A. C的焦距为4 B. C的实轴长为 C. C的离心率为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据5，6，6，7，8，9，5的中位数为______． 13. 已知圆C：与曲线的公切线为直线（），则圆C的半径为______，______． 14. 在一个棱长为10dm正四面体容器（容器壁的厚度忽略不计）内放置四个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为______dm． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两人进行排球发球练习，总共发3个球（分3次发，每次发1个一球），若某次发球成功，则该次发球者得2分，对方得分，发球者继续发下一次球；若某次发球不成功，则该次发球者得分，对方得2分，对方发下一次球．已知甲每次发球成功的概率为，乙每次发球成功的概率为，且第一次发球者为乙，每次发球是否成功相互独立． （1）在前两个球发完后，求甲共得1分的概率； （2）设甲这次发球练习的总得分为X，求X的分布列与期望． 16. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为矩形，E为棱的中点． （1）若，证明：． （2）设，，，，且点F到平面的距离为，求λ的值． 17. 在数列中，，且． （1）求的通项公式． （2）证明：． （3）若数列中存在两项，，使得，则称为数列的等项数对．证明：的等项数对唯一． 18. 已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动． （1）求C的方程． （2）若直线AB的方程为，求内切圆的半径r． （3）设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 19. 已知函数的导数为，的导数为的二阶导数，记作．若函数在包含的某个开区间上具有二阶导数，那么，，我们把称为函数在处的二阶拟合函数． （1）写出函数在处的二阶拟合函数，并证明对恒成立； （2）若对恒成立，求a的取值范围； （3）设函数的两个零点为，，在处的二阶拟合函数为，证明：有两个零点，，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $