精品解析：陕西省榆林市2024-2025学年高二下学期过程性评价质量检测数学试卷

榆林市普通高中过程性评价质量检测 高二年级数学 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，若集合满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 4. 记为等差数列的前项和．若，则（ ） A. 43 B. 44 C. 87 D. 88 5. 若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 24 6. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 6 7. 已知，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项2分，有两个正确选项的，每个选项3分，有选错的得0分． 9. 函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数图象的对称轴是直线 C. 函数在上的最大值为 D. 函数的图象向右平移个单位长度后为奇函数的图象 10. 函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 是的极大值点 D. 有5个零点 11. 已知，，动点满足，记的轨迹为，若过点的直线与交于，两点，直线与的另外一个交点为，则（ ） A. 的面积的最大值为12 B. ，关于轴对称 C. 当时， D. 直线的斜率的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正数a，b满足，则的最大值为______. 13. 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为__________． 14. 设是双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点、，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，，，分别为，的中点． （1）求证：直线∥平面； （2）若，求侧面与底面所成角的余弦值． 17. 已知． （1）证明：； （2）若在上恒成立，求实数的最小值． 18. 甲、乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点，两点处进行套圈，已知甲在，两点的命中率均为，乙在点的命中率为，在点的命中率为，且他们每次套圈互不影响． （1）若甲在处套圈3次，求甲至多命中1次的概率； （2）若甲和乙每人在，两点各套圈一次，且在点命中计2分，在点命中计3分，未命中则计0分，设甲的得分为，乙的得分为，写出和的分布列和期望； （3）在（2）的条件下，若，求的取值范围． 19. 已知椭圆的离心率. （1）若椭圆过点，求椭圆的标准方程. （2）若直线均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设. ①求； ②记，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆林市普通高中过程性评价质量检测 高二年级数学 注意事项： 1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，若集合满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据补集的定义求出，再根据元素与集合的关系逐一观察选项即可. 【详解】全集，， ， 故A正确，BCD错误， 故选：A. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数，再根据模长公式求解即可得的值. 【详解】因为， 所以． 故选：B． 3. 已知向量，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】解法1：根据向量的基本运算（减法和数量积），先计算，再计算； 解法2：根据向量的基本运算（减法和数量积），先计算，再计算. 【详解】解法1：由题意得：， 所以． 解法2：因为，， 故． 故选：D. 4. 记为等差数列的前项和．若，则（ ） A. 43 B. 44 C. 87 D. 88 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等差数列的性质得出；再根据等差数列前项和公式可求解. 【详解】由等差数列的性质可得： 则由等差数列前项和公式得：， 故选：B． 5. 若正四棱锥的高为，且其各侧面的面积之和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】根据侧面积之和为底面积的2倍得到斜高和底面边长的关系，由勾股定理得到方程，求出斜高，进而求出底面积和侧面积，相加得到表面积. 【详解】如图，是正四棱锥的高，所以，是斜高， 由各侧面的面积之和是底面积的2倍可得，所以， 在中，，，所以， 所以， 底面积，侧面积为， 表面积． 故选：D． 6. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】通过正态分布的对称性来求解的值. 【详解】由题干知，随机变量服从正态分布， 正态分布的图像关于对称， 又， 即，解得． 故选：D． 7. 已知，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系切化弦之后，结合正弦两角和公式、三角函数取值关系即可得结论；或者根据三角恒等变换利用半角公式化简，结合正切函数的性质得结论. 【详解】解法1：由得，， 又因为，所以，则或， 整理得或（舍去）. 故选：C． 解法2：因为，所以， 又因为，所以，则， 整理得. 故选：C． 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断为奇函数，由导数判断为上的增函数，则所求不等式等价于，分离参数可得，构造函数，利用导数求的最大值即可求解. 【详解】因为，所以为上的奇函数． 又因为， 所以在上单调递增. 又恒成立， 所以，则， 因此恒成立． 设，则，令，解得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，因此． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项2分，有两个正确选项的，每个选项3分，有选错的得0分． 9. 函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的图象关于点中心对称 B. 函数图象的对称轴是直线 C. 函数在上的最大值为 D. 函数的图象向右平移个单位长度后为奇函数的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正弦型三角函数的对称性分别令，得函数的对称中心与对称轴，即可判断选项A，B；利用整体法令，求解的取值范围，结合正弦型函数的性质求解最值即可判断选项C；根据函数图象平移性质结合正弦型函数的奇偶性即可判断选项D. 【详解】对于A，令，解得， 所以函数图象的对称中心为， 取，函数的图象关于点中心对称，故选项A正确； 对于B，令，可得， 所以函数图象的对称轴方程为，故选项B错误； 对于C，设，因为，所以， 因为在上单调递增，当时，在上的最大值为，故选项C正确； 对于D，函数向右平移个单位后得到函数， 所以函数为偶函数，故选项D错误． 故选：AC． 10. 函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 是的极大值点 D. 有5个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求解析式，结合导数探究函数的极值与零点问题， 【详解】A选项：因为是定义在上的奇函数，所以，A选项正确； B选项：当时，，选项错误； C选项：解法1：当时，， 在上，，单调递增； 在上，，单调递减． 因此是的极大值点，C选项正确； 解法2：当时，， 在上，，单调递减； 在上，，单调递增， 因此是的极小值点，图象如图所示． 又是定义在上的奇函数，故是的极大值点，C选项正确； D选项：，由图可知，有5个零点，D选项正确． 故选：ACD． 11. 已知，，动点满足，记的轨迹为，若过点的直线与交于，两点，直线与的另外一个交点为，则（ ） A. 的面积的最大值为12 B. ，关于轴对称 C. 当时， D. 直线的斜率的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用给定定义得到的轨迹并结合三角形面积公式判断A，利用角平分线定理逆定理结合对称性判断B，利用圆周角和圆心角以及垂径定理判断C，先求出直线和圆相切时的斜率情况，再求解取值范围判断D即可. 【详解】设，由可得， ，即， 所以的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，记圆的圆心为，半径为． 对于A选项，，选项A正确； 对于B选项，如图，圆关于轴对称，，在轴上， 直线与圆交于，两点，直线与圆交于，两点， 由题可知，， 由角分线定理逆定理得，故， 又根据圆的对称性可知，，关于轴对称，选项B正确； 对于C选项，当时，， 而，则为等腰三角形， 过作于，则， 则，由垂径定理可得，选项C错误； 对于D选项，当直线与圆相切时，连接， 得到，此时，，由勾股定理得， 由锐角三角函数的定义得， 由斜率的几何意义得此时直线的斜率为，根据圆的对称性可知， 得到直线斜率的取值范围为，选项D正确． 故选：ABD． 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正数a，b满足，则的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为正数a，b满足，所以，平方化简得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. 故答案为： 13. 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，，，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由全概率公式即可处理. 【详解】设=“任取一个X光片为次品”，=“X光片为某厂生产”（甲、乙、丙厂依次对应 ）则,且两两互斥. 由题意可得：, 14. 设是双曲线：（，）的右焦点，为坐标原点，过的直线交双曲线的右支于点、，直线交双曲线于另一点，若，且，则双曲线的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设为双曲线的左焦点，由题意画出图形，由已知结合双曲线的定义求解，，再由余弦定理列式求解双曲线的离心率即可． 【详解】设为双曲线的左焦点，如图所示， 由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， ∴，， 而，所以， 由双曲线的定义可知，， ∴，， ∵，∴， 在中，由余弦定理知， 即，化简得， ∴（负值舍去）． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简题中所给条件，得，再根据，得； （2）由正弦定理得，因此求出，再根据三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 在中，，由正弦定理及得， ．所以，， 在中，，所以． 【小问2详解】 由正弦定理得，，所以．所以， ． 16. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为矩形，，，分别为，的中点． （1）求证：直线∥平面； （2）若，求侧面与底面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：解法1：取的中点，连接，， 因为为的中点，所以且， 因为底面为矩形，为的中点， 所以且， 故且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； 解法2：取的中点，连接，， 因为为的中点，所以， 又为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面，同理平面， 因为平面，平面，直线直线， 所以平面平面，又平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，根据几何性质证得，结合线面平行判定定理得结论；或取的中点，连接，，由面面平行判定定理证得平面平面，再结合面面平行的性质得结论； （2）取的中点，的中点，连接，，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，分别求解平面与底面得法向量，结合空间向量的坐标运算求解面面夹角即可；或取的中点，的中点，连接，，，确定二面角的平面角，利用几何性质结合余弦定理即可得结果. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解法1：取的中点，的中点，连接，， 因为为正三角形，所以， 因为侧面底面，交线为，平面， 所以底面， 又，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 又，故，，， 故，，，，， 设平面的法向量为， 则即 解得，令，则，所以， 又底面的法向量为， 设侧面与底面所成角大小为， 所以， 所以侧面与底面所成角余弦值为． 解法2：取的中点，的中点，连接，，， 由题意易得，， 因为是的中点，所以， 又，所以是二面角的平面角， 因为为正三角形，所以， 又因为侧面底面，交线为，平面， 所以底面，， 又，所以，，， 所以由余弦定理得， 所以侧面与底面所成角余弦值为． 17. 已知． （1）证明：； （2）若在上恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1）证明：证法1：设，则， 令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此，即，故原不等式成立. 证法2：要证，即证. 设，则，令，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 因此，故原不等式成立. （2） 【解析】 【分析】（1）法1，设，求导，判断单调性求出最值得证；法2，由题，问题转化为证明，设，利用导数判断单调性求出最值得证. （2）法1，分离参数，问题转化为在上恒成立，设，利用导数判断单调性求出最值得解；法2，设，即在上恒成立，求导，分和讨论求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法1：因为在上恒成立，所以在上恒成立． 设，则，令，解得． 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 因此的最小值为. 解法2：设，则在上恒成立，． 若，与已知矛盾，舍去． 若，令，解得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，解得， 所以的最小值为． 18. 甲、乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点，两点处进行套圈，已知甲在，两点的命中率均为，乙在点的命中率为，在点的命中率为，且他们每次套圈互不影响． （1）若甲在处套圈3次，求甲至多命中1次的概率； （2）若甲和乙每人在，两点各套圈一次，且在点命中计2分，在点命中计3分，未命中则计0分，设甲的得分为，乙的得分为，写出和的分布列和期望； （3）在（2）的条件下，若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 的分布列为： 0 2 3 5 的分布列为： 0 2 3 5 ，． （3） 【解析】 【分析】（1）根据独立重复试验求解概率即可； （2）由题意知，；，分别求解概率可得分布列，从而可求数学期望； （3）根据列不等式即可得的取值范围． 【小问1详解】 设“甲至多命中1次”为事件，则． 故甲至多命中1次的概率为． 【小问2详解】 由题意知，；． ，， ，， ，， ， 所以的分布列为： 0 2 3 5 的分布列为： 0 2 3 5 所以， ． 【小问3详解】 因为， 所以，即， 所以的取值范围是． 19. 已知椭圆的离心率. （1）若椭圆过点，求椭圆的标准方程. （2）若直线均过点且互相垂直，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设. ①求； ②记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率得到之间的关系，再结合椭圆过点，求出的值，从而得到椭圆的方程. （2） ①利用根与系数的关系及中点坐标公式求得点的坐标，再根据三点共线得之间的关系；②求得，并利用等比数列的前项和公式求得. 【小问1详解】 因，可得： ①， 又椭圆过点，可得 ②， 联立①，②，解得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 ①当直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时， 直线与轴重合，不符合题意，故直线的斜率均存在且不为0. 设直线的方程为， 联立，消去，整理得：， 因直线交椭圆于两点，则，且，则， 因直线的方程为，同理可得：， 因三点共线，则，即， 易知，则， 因，则； ②结合①可知，则 ， 因，则数列是首项为9，公比为3的等比数列， 所以数列的前项和为. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆相交以及等比数列求和的问题，属于难题.解题的关键点是联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理和三点共线，求出点的坐标，从而得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $