陕西省西安市铁一中学2025届高三上学期模考（四）数学试卷

【高2025届】2024-2025学年度第一学期高三模考（四） 满分：150分 时长：110分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题所给的选项中，只有一个正确） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是平面内四个不同的点，则“”是“四边形为平行四边形”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量满足，且，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，对于任意，都满足，且对于任意的，当时，都有，若，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 5. 已知，则=（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数．若存在，，使得，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为（ ） （参考公式：） A. 1450 B. 1490 C. 1540 D. 1580 8. 已知平面向量满足，与的夹角为且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 在中，下列说法正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若G是的重心，则 C. 若，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为 D. 已知，，则的最大值为10 10. 如图，的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且.若点在外，，，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 四边形面积的最大值为 D. 四边形面积无最大值 11. 已知各项均为正数的数列的前项和为，，. ， 数列的前项和为. 则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列为单调递减数列 D. 使得的的最大值为 674 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列的前项和，若第项满足，则等于__________． 13. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________． 14. 已知函数的导函数满足在R上恒成立，则不等式的解集是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 15. 的内角的对边分别为,已知. (1)求; (2)若,,求的周长. 16. 如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC＝∠ACD＝90°，AE∥CD，DC＝AC＝2AE＝2． （I）求证：AF∥平面BDE； （Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的余弦值． 17. 已知两个定点.动点满足直线和直线的斜率之积是 （1）求动点的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线； （2）记（1）中点的轨迹为曲线，不经过点的直线与曲线相交于两点，且直线与直线的斜率之积是，求证：直线恒过定点. 18. 已知函数. （1）若的极小值为-4，求的值； （2）若有两个不同的极值点，证明：. 19. 记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为函数的“牛顿数列”.已知数列为函数的牛顿数列，且数列满足. （1）证明数列是等比数列并求； （2）设数列的前 项和为，若不等式对任意的恒成立，求t的取值范围. 【高2025届】2024-2025学年度第一学期高三模考（四） 满分：150分 时长：110分钟 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题所给的选项中，只有一个正确） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】AB 【11题答案】 【答案】AB 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】8 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 【15题答案】 【答案】(1)；(2). 【16题答案】 【答案】16. 证明如下： 取BD的中点P，连接EP，FP，则PF， ∵，∴EAPF， ∴四边形AFPE是平行四边形，∴AF∥EP， 又∵EP⊂面BDE，AF⊄平面BDE， ∴AF∥面BDE． 17. 【17题答案】 【答案】（1）的轨迹方程为，即点的轨迹是除去两点的椭圆 （2） 设 如图： ①当直线斜率不存在时，可知， 且有， 解得或，当时，则直线经过点，与题意不符，舍去，故，此时直线为， ②当直线斜率存在时，设直线，则 . 联立直线方程与椭圆方程， 消去可得：， 根据韦达定理可得：， 所以， 即 整理得：， 所以，则或， 当时，则直线恒过点，与题意不符，舍去， 故，直线恒过原点， 结合①②可知，直线恒过原点，原命题得证. 【18题答案】 【答案】（1） （2）证明：由题意可知，方程有两个不同的正实数根，即有两个不同的实数根. 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 验证可知，， 由得，所以. 当时，方程，即方程，则有两个不同的正实数根. 设，则， 所以在上单调递增，在上单调递减. 不妨设，则. 令， 则， 所以在上单调递增，则当时，， 所以 又，函数在上单调递减， 所以，则， 因为，故. 【19题答案】 【答案】（1）由，得， 所以 则， 所以， 故（非零常数），且， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以； （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $