海南省部分学校2024-2025学年高二下学期学业水平诊断（三）数学试题

绝密★启用前 2024一2025学年高二年级学业水平诊断（三） 数 学 考生注意： L答思前，者生齐必骑白己的姓名，考生等排写在试春和答周中上，并特背生学条形马粘 贴在答题卡上的指定位置 自 2回答选释道时，选出每小道多常后，用指笔把琴疑卡时应题日的参案林号徐黑如需我 动，川惊发擦于净后，再法涂其他客案始考，园若非选择期时，将答常写在答道卡上，可 在系试卷上无进。 3考认结来后，将本认春和签则卡一并变国 一，单喷选择题：本宽共8小题.每小题5分，共0分在每小题给出的四个选喷中，只有一项 梨 是符合题目要零的 1.已@集合A={x-5<x<5,B=1-5.-43.6).期AnB= a.1-5,-4 B.1-5.6 C13.6 B.1-4.3 2,已知g.是等比数列.，=1,1=1，期。= A.82 H.162 C.16 0.32 损 3.已运函监=h(+2).若矿)=2期实数a A.-2 R.0 C.1 D.2 4.从一聊不含大小王的扑克南中曲牌，每次抽出1张碑.记录花色后放列，一共抽5次，记拍 到圆桃伸X次期E(X)= 号 n 5.设X-N(12.a),且PNN15)-P9<xc12)=01,期PNX59)= A.0.3 B.0.35 C.0.4 D.0.45 6,某餐能机荐人需执行甲，乙，西，丁戊5个不月的指令，若每个报李只执行一次，指令甲，乙 必须连续执行（顺序可以互换），指令丙不能出现在最后一步，则霜令执行方式的种数为 A.18 H.36 C.48 0.144 数学拭题第1页（共4页） 工主刚是校足球队的餐补球员，已知每场比赛王残上场的复率为}，校是球头获鞋的复率为 ,若王刚上场的情没下粒足球队我脂的餐率为？，则胶足球队货鞋的比赛中王嘴上场的 概军为 a号 n芳 盆己知函数月￥〉=(=(xm)的极小值点为10，则Rx)的极大值点为 素=-2 民发三-I G.1=1 D.1-2 二，多项选择恩：本通共3小题，每小题6分，共8分，在每小题给出的选项中有多项裤合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9已刘一一广“为常数)的展开式中各项的系数之和为0，测关于其形开式，下列说法中 正确的是 人0=1 B.二项式系数的和为16 G每一项中x的指数都是侧数 D.展开式中不存在常数项 10设等差数到1￥，的简n项和为5，已知4=-10，%<0,5，>0，用 A.5,=-50 0,>0 6.8as D.lalclol 11.段A为抛物线：=2w(n>0)的焦点，B为F的谁线与：轴的交点，点C在，铂的正半 箱上，过点A的直线交F于材，N两点，D在线段AM上，且四边形CD为菱形，则 A.p=2 B.180I =3p C.D为线段A的中友 D,B·N<0 三、填空驱：本图共3小驱，每小题5分，共15分 2在△c中，4C=,万BC,B=期 13.已知儿子的身高与父亲的身高有关，某兴厘小组统计了5组父子的身高数据.如下表： 父亲身高/用1的 16.172 16 儿子身高m1的 11738 若y关于：的经验风归方程为争=心.5+9，用w= 数学试题第2真（共4页） 14.如图.石断子是中国传统建筑中意用的装饰物，石狮子口含石球将石球看作一个标准球 体，石脚子张开的嘴内部形状看作下框边长为24，上成边长为14，高为2的正四棱台，若 石球整体都在棱台的内部，且始终与棱台的上下底面相切，则石球球心能运动的区规的而 积为 四、解答爱：本题共5小匿，共行分.解答应写出文字说明、证明过理或演算步骤， 15.《13分) 已知等差数判川a.满是41=8,4口=3w, 《【)求1a,的通项公式： 《Ⅱ)投人-，求数列的前e项和7 16(15分) 如图在直国棱柱ACD-AL,C,D,中，A仙BC,∠AC.行.D=D=2C=4.AB=Cm 4 (I)让明：AB⊥平面D0,G: 《Ⅱ)求直线A,D,与平面A,G所成角的正紫值 数学试题第3重（共4项》 7.(15分) 巴知米圆C·号-a>0的离心*为对点0.在C上 (1》求C的方程： (Ⅱ)设C的左点为F,左顶点为，过原点且木与x拍重合的直线与C交于P,Q两点， 直线QF与C交于另一点R设直线即和级的斜常分别为志和(，证明：之为 定值 18(I7分》 有50杯无色透明的液体，其中有48杯请水与2杯盐水，某学习小组相夏使违找出这2杯 盐水，仙门设计了如下方案：将这0杯液体随机分成10组，每组3杯，将同组内的所有浪 体收样器合.第一轮对每组的混合样本依次进行校测.箱二轮对检测出盐水的组内每杯液 体紫次进行检测 (1)若第一轮10册混合样木中有2卧含盐水，求检测0次才把含盐水的混合样本都检 测到的餐率： (■)若每轮检测即使提前确定盐水的位置也将凌轮物测进行完，设棱测的总次数为X,术 X的分布列和数学期望)： (Ⅱ)在(1》的条件下，若将这5知杯液体改为图机分成5组，每组D杯，采用相同的检测 方法，设榜测的总次数为V,试判断E()与X)的大木 19.(17分》 已知函数x)=e (1》若x)的图象在点（度）)和(--)处的切线互相垂直，求实数的值 (Ⅱ》若函数g(x)=八x)-心有两个不同的正零点 (i)求实数6的取值范丽： (i)已知当>0时.关于x的不等式(-e+dgx)20每减立，证明d<心 数学试题第4页（共4到）2024一2025学年高二年级学业水平诊断（三） 数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案D 命题透析本题考查集合的表示与运算 解析因为-4和3在A中，所以A∩B={-4,3}. 2.答案C 命题透析本题考查等比数列的基本运算 解析设a,的公比为g因为a1=1,a,=2,故g=2=2,所以a,=a1g=1×2=16 a 3.答案D 命题透析本题考查导数的计算 解析由题意可得f代()=x+2所以r)=2=分解得a=2 4.答案B 命题透析本题考查二项分布的性质。 解析由题意知X~B5,）所以B)=5x子=子 5.答案A 命题透析本题考查正态分布的性质， 解析由正态分布的对称性可设P(9<X<12)=P(12<X<15)=x,则0.5-x-x=0.1,解得x=0.2,故 P(X≤9)=0.5-x=0.3 6.答案B 命题透析本题考查计数原理的应用。 解析把甲、乙捆绑，相当于共有4个指令，甲、乙内部排列有A种排法，丙不排在最后一个位置，先排丙有C 种排法，再排另外3个指令，总的排法种数为CAA号=36. 7.答案B 命题透析本题考查条件概率的计算 解析设事件~王刚上场”为A,事件“校足球队获胜”为B,由题意得P(A)=号P(B)=子P(B1A)=子，所 以P(AB)=P(A)P(B1A)=了，则校足球队获胜的比赛中王刚上场的概率为P(AB)-PAB=2 P(B=5 8.答案A 命题透析本题考查利用导数研究函数的极值， 解析'(x）=(x-m)2+2(x-m)(x-1),由题意得f'(0)=m2+2m=0,则m=0或m=-2.若m=0,则 了(x)=3-2x=x(3x-2),可得f(x)的极大值点为x=0,极小值点为x=子，不符合题意.若m=-2,则 f'(x）=3x(x+2),可得f八x)的极大值点为x=-2,极小值点为x=0,符合题意 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案AC 命题透析本题考查二项式定理的综合应用， 解析将x=1代入二项式，得(a-1)"=0,解得a=1,故A正确：二项式系数的和为2=256，枚B错误：展开 式的通项为T,1=（-1)Cx2,因为8和2r均为偶数，所以每一项中x的指数都是偶数，故C正确；令8- 2r=0,解得r=4,所以展开式中存在常数项，故D错误 10.答案ABD 命题透析本题考查等差数列的通项及前n项和. 解析对于A,S=5a=-50,故A正确； 对于B,S2=6(a6+a,）>0,则a6+a,>0,因为a6<0,所以一定有a,>0,故B正确； 对于C,根据题意|an}的公差大于0，且a1,a2,…,a6<0,当n>6时，an>0,所以S的最小值是S。,故C错误； 对于D,因为a1<0,ao>0,所以1a1oI-1a3l=a1o+a=a6+a,>0,所以1a31<1a1ol,故D正确. I1.答案BC 命题透析本题考查抛物线与直线的位置关系， 解析题干未给出足以算出p的定量关系，对于任意P的取值，均可以进行如题的构造，故A错误：由题知 A(兮.0)，(-号0)所以菱形ABCD的边长为n,因为C在y轴的正半轴上，所以Co,受），又D/4B, 1D1=AB=p,所以，所以B01=√（多+=.放B正确：直线0：y=5(:-号）与 抛物线方程联立得3(2-匹+)-2p,整理得32-5r+莩=0，解得一头6=长，所以M(号，B） .32 卡，，因为p-专之，受0+2，所以D为线段仙的中点放c正确：威瓜=(2D) 2 2 2 (学-）=号>0，放D错误 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12答案君 命题透析本题考查正弦定理的应用 解析因为AC=5BC,由正弦定理得血B=厅血A,所以血A-的片=宁，又B为饨角，所以4一定是锐 角，所以A= 6 2- 13.答案180 命题透析本题考查线性回归分析的应用。 解析由已知得=170+(-4-2+2+8+16)=174，代人经验回归方程，可得了=0.5×174+89=176，所 以了=170+5(-1+5+5+11+m-170)=176,解得m=180, 14.答案36 命题透析本题考查棱台与球的结构特征 解析当球与正四棱台的上、下底面以及右侧面相切时，设切点分别为E,F,P,球心为O,过这三个切点作截 面，如图所示，则AE=AP,BP=BF,四棱台的斜高AB=√(12-7)2+12=13，即AP+BP=13,又BP-AP= BF-AE=5,所以AP=AE=4.当球与四棱台的左边侧面相切时，球心为O,由对称性，可知OO'=AD-2AE= 14-2×4=6,所以石球球心能运动的区域是边长为6的正方形，故其面积为62=36. D 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.命题透析本题考查等差数列的基本运算，裂项求和法的应用. 解析(I)设{an}的公差为d, a1+2d=8. 则 (2分) La1+16d=3(a1+4d), 解得a1=4,d=2. (4分) 所以a.=a1+(n-1)d=2n+2. (6分) 6=动回片 (9分) 所以工=-）+分)+…+分+) 号+分分*+片) =1-n)2n+2 (13分) 16.命题透析本题考查空间位置关系的证明、利用空间向量计算线面角 解析(I)如图，延长AB,DC交于点E. 因为LABC=平，AD∥BC,所以LAD=平 41 …(1分）》 又AB=CD,AD≠BC,所以四边形ABCD是等腰梯形， 所以LADC=平，所以LABD=受，即AB1GD.…(3分） 在直四棱柱中，DD1⊥平面ABCD,所以DD,⊥AB. …(4分) 3 又因为DD∩CD=D,所以AB⊥平面CDDC1…(5分)） B B (Ⅱ)在平面ABCD内，作BH⊥AD,垂足为H, 则AH=ADBC=1,因为∠BAD=年，所以BH=1 …(6分) 2 以B为坐标原点，Bi,B元，BB的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 4**444“…………*44……“…“*“44*0440…小44“+…44小”…+4小44” (7分) 则B(0,0,0),A1(1,-1,4),D(1,3,0),C1(0,2,4),D1(1,3,4),… (8分) 所以A1C=(-1,3,0),A1D=(0,4,-4),A1D=(0,4,0).… (9分) 设平面ADC:的法向量为m=(x,y,z), rAC·m=0,「-x+3y=0,E 则 取m=(3,1,1）,…(12分) Ai.m=04y-4z=0, 所以1cos(4可，m1=dE·ml。4 IA D l Iml 4 IT 11 所以直线A,D,与平面A,DC所成角的正弦值为 11■ …（15分） 17.命题透析本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题 Va2-b2 解析(I)由题意得 (2分) b=5, fa2=4 可得 …44…4……4………… (4分) 62=3, 2 所以C的方程为好+兮=1 …(5分）》 (Ⅱ)依题意得M(-2,0),F(-1,0).设P(1y1),Q(-x1,-1),R(2y2) 设直线Q:x=m刚y-1,则-名1=一my1一1，为2=my2-1.…(6分) rx=my-1, 由 4* 2.消去x,整理得(3m2+4)72-6my-9=0, 3>1 6m 9 则-1方为此方程的两个根，所以方13m+4-%5=3m+4 …(8分) 一4 3 则my1h=之(h-为）.… (9分) 因为1=当。三方 +2m+36= 5 =2+2m+ (10分) 所以哈+之。-+ (13分) 3 (5-)+ 9 3 2-2 31 -=3, 22-21 (15分) 18.命题透析本题考查概率的计算，离散型随机变量的分布列与数学期望 解析(I)所求概率为P= 1 ，……(4分) (Ⅱ)若2杯盐水在同一组，则第一轮检测10次，第二轮检测5次，此时X=15.…(5分) 假设第一杯盐水已经被放在了某一个组里，那么还剩下49个位置可以放第二杯盐水，其中与第一杯盐水同组 的有4个位置，所以P(X=15)=49 …(8分)》 若2杯盐水在不同的组，则第一轮检测10次，第二轮检测10次，X=20,…(9分) PrX=20)=1-0-8 (10分) 故X的分布列为 X 15 20 4 45 49 49 ………………40……44… (11分) 0=15×0+20×g-智 (13分) (Ⅲ)如果随机分成5组，每组10杯，则Y的所有可能取值为15,25. …(14分) 与()同理，可得P(y=15)-号，P(Y=25)-9。 所以(n=5×号+25×9=1 49 (16分) 因此E(Y)>E(X),……（17分) 19.命题透析本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数性质及证明不等式 解析(I)f(x)=(x+1)e,… (1分) 因为曲线y=f代x)在点(a,f代a)和(-a,f代-a))处的切线互相垂直， 所以f(a)f(-a)=-1,即(a+1)e·(1-a)e“=1-a2=-1,……(2分) 所以0=士2.…(3分） -5 (Ⅱ)(i)当x>0时，g(x)=xe-bx2=0等价于g=b. 根据题意，此方程有两个正根。… (4分) 设h()=兰>0，则h()=任-c (5分) 当0<x<1时，h'(x)<0,h(x)单调递减，当x>1时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 所以h(x)=h(1)=心…(7分） 又易知当x0时，h(x)→+o,当x一→+0时，h(x)→+o, 故当b>e时，h(x)的图象与直线y=b在y轴右侧有两个交点，即方程°=b有两个正根， 放b的取值范用是(，+).……(9分) (iⅱ)设g(x)的两个正零点分别为m,n(0<m<n) 因为不等式(e2-ce+d)g(x)≥0恒成立，所以e2-ce+d与g(x)同号， 所以m,n为e2-ce+d=0的两个实根，则e"+e"=c,e""=d, 又由(i)知6=品：号=片所以特证不等式等价于e学<二片<兰 n-m 2 …(11分)》 先证明左边：e学<二ce学<-ln-m<心学-e学 n-m n-m 令1=”20，则1>0，构造函数(x)=2x-(e-e),只需证u(0)<0, 因为u'(x)=2-(e'+e*)≤2-2e·e=0, 所以u(x)在R上单调递减，因为t>0,所以u(t)<u(0)=0,得证.…（14分) 再证明右边合<-m>2X0:巴2 n-m e"+e" e0-m+1 设s=n-m,则s>0,构造函数(x)=x-2。-卫，只需证()>0 e+1 因为'(x)=e-1)足 (e2+1)≥0， 所以(x)在R上单调递增，因为s>0,所以v(s)>v(0)=0,得证 综上可得a<b< 。…(17分） 一6