精品解析：河北省秦皇岛市部分学校2024-2025学年高一下学期7月期末数学试题

高一数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 投掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为两枚骰子朝上的点数均为偶数，事件B为两枚骰子朝上的点数均为奇数，则（ ） A. A为必然事件 B. B为不可能事件 C. A与B为互斥但不对立事件 D. A与B互为对立事件 【答案】C 【解析】 【分析】由必然事件、不可能事件、互斥和对立事件的概念可判断. 【详解】显然A与B都是随机事件，且A与B不能同时发生，但可能同时不发生，故A与B为互斥但不对立事件. 故选：C. 2. 已知向量，且，则（ ） A. 10 B. 15 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据向量平行的判断条件进行求解即可 【详解】已知向量，， 因为，所以，得x＝15. 故选：B 3. 已知，复数在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，结合第二象限内点的坐标特征进行求解即可. 【详解】， 因为z在复平面内对应的点位于第二象限， 所以，解得. 故选：A 4. 已知α，β是两个互相垂直的平面，l，m是两条互相平行的直线，且，，则（ ） A. B. l⊥β C. mα D. m⊥α 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质，结合线面的位置关系逐一判断即可. 【详解】因为，且， 所以，或，因此选项AB不正确， 又因为，，， 所以，选项D正确，选项C不正确， 故选：D 5. 若复数是关于x的一元二次方程的一个根，则m＝（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】也是的一个根，由韦达定理求出，. 【详解】由题意可得也是的一个根， 由韦达定理得，解得， 所以. 故选：D 6. 如图，是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图，若是边长为3的等边三角形，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法的法则，结合正弦定理进行求解即可. 【详解】如图，过点A'作A'C'∥x'轴，并与y'轴交于点C'，则∠O'A'C'＝120°， ∠A'C'O'＝45°，O'A'＝3，则，得， 则的高为.面积为. 故选：B 7. 已知点在点的正西方向，为了测量 两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作图，利用正弦定理求得，根据两角和的正弦公式计算得，代入计算即可得解. 【详解】根据题意作图， 则，,， 在中，根据正弦定理，， 即，则， 因为， 所以，. 即两点之间的距离为米. 故选：A. 8. 已知向量满足，则的最小值为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量模长的平方等于向量自身的数量积，来推导的最小值. 【详解】因为，所以， 因为，则 代入，得： 因为所以 则，则. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 的虚部为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的运算求解，根据共轭复数，复数的模长以及虚部的概念逐项分析判断. 【详解】因为， 所以，的虚部为1，，，故ACD正确，B错误； 故选：ACD. 10. 不透明的袋子中装有两个分别标有数字1，2的红球和四个分别标有数字1，2，3，4的黄球，这些球除颜色和数字外完全相同，从袋子中随机取出两个球，则（ ） A. 这两个球颜色相同的概率小于颜色不同的概率 B. 至少有一个红球被取出的概率为 C. 这两个球上的数字相同的概率为 D. 这两个球上的数字之和为偶数的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】写出样本空间，列举法进行求解古典概型的概率. 【详解】从袋子中随机取出两个球，样本空间＝{（红1,红2），（红1,黄1），（红1,黄2）， （红1,黄3），（红1,黄4），（红2,黄1），（红2,黄2），（红2,黄3），（红2,黄4）， （黄1,黄2），（黄1,黄3），（黄1,黄4），（黄2,黄3），（黄2,黄4），（黄3,黄4）}. A选项，样本空间共15种情况数，其中两个球颜色相同的情况有7种，颜色不同的有8种， 这两个球颜色相同的概率为，颜色不同的概率为是，A正确. B选项，至少有一个红球的情况有9种，故概率为是，B不正确. C选项，这两个球上的数字相同情况有2种，故概率为，C正确. D选项，这两个球上的数字之和为偶数的情况有6种，概率为，D不正确. 故选：AC 11. 已知的内角的对边分别为，是分别线段上的两点（不包括端点），，且，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 是定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理角化边，再结合余弦定理可求得可判断A；由题意，结合三角形的面积关系可得，，代入计算可判断BC；进而计算可判断D. 【详解】由正弦定理得，得，则，故A正确． 设，则， ． 当时，， 当时，，得，故B错误，C正确． ，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一组数据25，23，26，19，17，21，20的第40百分位数为______. 【答案】20 【解析】 【分析】应用百分位数的求法求数据的第40百分位数. 【详解】将这组数据从小到大排序为17，19，20，21，23，25，26， 因为，所以这组数据的第40百分位数为20. 故答案为：20 13. 如图，在△ABC中，，若，则x＋y＝______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，结合平面向量基本定理求解即得. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 因为 所以. 故答案为： 14. 在直三棱柱中，，则该三棱柱外接球表面积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由直三棱柱的结构特征及已知确定外接球球心，结合几何关系有，应用基本不等式求最小值，进而求外接球表面积的最小值. 【详解】由题意得，设该三棱柱外接球的球心为矩形的中心O，则其半径为， 所以， 当且仅当时等号成立，所以该三棱柱外接球表面积的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了提高学生的消防安全意识，某地计划从当地4万名中学生中随机选取1000人参加消防安全知识测试，将他们的得分（满分：100分）分组为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并按上述分组方法得到如图所示的频率分布直方图. （1）求m的值； （2）在参加了消防安全知识测试，且得分在[40,50)和[80,90)内的中学生中，按比例采用分层随机抽样的方法抽取50人，求抽取的得分在[40,50)内的学生人数； （3）若规定得分不低于70分的学生的评级为优秀，以参加了消防安全知识测试的中学生为代表，估计当地中学生评级为优秀的人数. 【答案】（1）0.015； （2）20人； （3）16000人. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1列方程求参数值； （2）（3）根据直方图估计对应区间频率，进而估计人数即可； 【小问1详解】 由图得，解得. 【小问2详解】 参加了消防安全知识测试的中学生中，得分在[40,50)内的频率为， 则学生人数为， 得分在[80,90)内的频率为10m＝0.15，则学生人数为1000×0.15＝150， 故抽取的得分在[40,50)内的学生人数为人. 【小问3详解】 参加了消防安全知识测试的中学生中，得分不低于70分的频率为， 以参加了消防安全知识测试的中学生为代表，估计当地中学生评级为优秀的人数为人. 16. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角B； （2）若，△ABC的面积为1，求△ABC的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，即，由，可得； （2）由三角形面积公式得到，由余弦定理得到，求出周长. 【小问1详解】 因为，所以. 又，所以， 则，因为，所以， 即. 由，可得. 【小问2详解】 因为△ABC的面积为1，所以，得. 由余弦定理可知， 则， 所以，故△ABC的周长为. 17. 如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，. （1）证明：. （2）证明：平面. （3）证明：⊥平面CDE. 【答案】（1）证明：因为△ABC为正三角形，D为AB的中点， 所以，因为平面ABC，平面ABC， 所以.因为平面平面， ，所以平面. 因为平面，所以. （2）证明：连接，设与交于点F，则F为的中点. 连接DF.因为D为AB的中点，所以DF为的中位线，则. 又平面平面，所以平面. （3）证明：易得，则， 所以. 由（1）可知CD平面，所以. 因为平面CDE，平面CDE，，所以平面CDE. 【解析】 【分析】（1）根据正三角形的性质，结合线面垂直的性质和判定定理进行证明即可； （2）根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理 （3）根据勾股定理逆定理，结合（1）中结论、线面垂直的性质和判定定理进行证明即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略. 18. 不透明的袋子中装有红球、绿球、黄球各1个，黑球m个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黑球被取出的概率为. （1）求m的值； （2）若进行两次取球，求这两次取出的球的颜色不同的概率； （3）若进行三次取球，求取出的球至少有两种不同的颜色，且有黑球被取出的概率. 【答案】（1）2； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用频率估计概率列方程求参数值； （2）（3）应用独立乘法公式、互斥事件加法求概率； 【小问1详解】 由题可知，，解得. 【小问2详解】 若第一次取出的是红球，则这两次取出的球的颜色不同的概率， 若第一次取出的是绿球，则这两次取出的球的颜色不同的概率， 若第一次取出的是黄球，则这两次取出的球的颜色不同的概率， 若第一次取出的是黑球，则这两次取出的球的颜色不同的概率， 故这两次取出的球的颜色不同的概率为. 【小问3详解】 若黑球被取出两次，则取出的球至少有两种不同的颜色的概率， 若黑球被取出一次，取出的球至少有两种不同的颜色的概率， 故取出的球至少有两种不同的颜色，且有黑球被取出的概率为. 19. 如图1，在△ABC中，，D是线段AC上一点，且BD⊥AB.将△BCD沿着BD翻折至△BPD，得到如图2所示的三棱锥P－ABD，记二面角P－BD－A的大小为α. （1）当时，求直线AP与平面ABD所成角的正切值. （2）当时，在翻折的过程中： （i）求点P的运动轨迹的长度； （ii）求AP的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）过点P作PEBD，并与BD交于点E，得到∠PAE即所求角，解三角形得到答案 （2）（i）点P的运动轨迹是以E为圆心，PE为半径的圆上的弧，弧长公式求解即可； （ii）点P在平面ABD内的投影为F，过点F作FG⊥AB，并与AB交于点G，用依次表示出，，最后表示出,得到AP的取值范围. 【小问1详解】 由，可得平面ABD⊥平面PBD， 过点P作PEBD，并与BD交于点E.因为平面ABD平面PBD＝BD， 所以PE平面ABD.连接AE，则∠PAE即为直线AP与平面ABD所成的角. 在题图1中，由，BD⊥AB，可得∠BDC＝120°， ，则，则， 从而， 即直线AP与平面ABD所成角的正切值为. 【小问2详解】 （i）在翻折的过程中，由题可知，点P的运动轨迹是以E为圆心， PE为半径的圆上的弧.因为. 所以点P的运动轨迹的长度为. （ii）如图，当时，记点P在平面ABD内的投影为F， 则， 过点F作FG⊥AB，并与AB交于点G，则， ， ， 因为，所以， 则，从而AP的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 投掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为两枚骰子朝上的点数均为偶数，事件B为两枚骰子朝上的点数均为奇数，则（ ） A. A为必然事件 B. B为不可能事件 C. A与B为互斥但不对立事件 D. A与B互为对立事件 2. 已知向量，且，则（ ） A. 10 B. 15 C. D. 3. 已知，复数在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知α，β是两个互相垂直的平面，l，m是两条互相平行的直线，且，，则（ ） A. B. l⊥β C. mα D. m⊥α 5. 若复数是关于x的一元二次方程的一个根，则m＝（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图，若是边长为3的等边三角形，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在点的正西方向，为了测量 两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为20米，则两点之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 已知向量满足，则的最小值为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 的虚部为1 10. 不透明的袋子中装有两个分别标有数字1，2的红球和四个分别标有数字1，2，3，4的黄球，这些球除颜色和数字外完全相同，从袋子中随机取出两个球，则（ ） A. 这两个球颜色相同的概率小于颜色不同的概率 B. 至少有一个红球被取出的概率为 C. 这两个球上的数字相同的概率为 D. 这两个球上的数字之和为偶数的概率为 11. 已知的内角的对边分别为，是分别线段上的两点（不包括端点），，且，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 是定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一组数据25，23，26，19，17，21，20的第40百分位数为______. 13. 如图，在△ABC中，，若，则x＋y＝______. 14. 在直三棱柱中，，则该三棱柱外接球表面积的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了提高学生的消防安全意识，某地计划从当地4万名中学生中随机选取1000人参加消防安全知识测试，将他们的得分（满分：100分）分组为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并按上述分组方法得到如图所示的频率分布直方图. （1）求m的值； （2）在参加了消防安全知识测试，且得分在[40,50)和[80,90)内的中学生中，按比例采用分层随机抽样的方法抽取50人，求抽取的得分在[40,50)内的学生人数； （3）若规定得分不低于70分的学生的评级为优秀，以参加了消防安全知识测试的中学生为代表，估计当地中学生评级为优秀的人数. 16. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角B； （2）若，△ABC的面积为1，求△ABC的周长. 17. 如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，. （1）证明：. （2）证明：平面. （3）证明：⊥平面CDE. 18. 不透明的袋子中装有红球、绿球、黄球各1个，黑球m个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黑球被取出的概率为. （1）求m的值； （2）若进行两次取球，求这两次取出的球的颜色不同的概率； （3）若进行三次取球，求取出的球至少有两种不同的颜色，且有黑球被取出的概率. 19. 如图1，在△ABC中，，D是线段AC上一点，且BD⊥AB.将△BCD沿着BD翻折至△BPD，得到如图2所示的三棱锥P－ABD，记二面角P－BD－A的大小为α. （1）当时，求直线AP与平面ABD所成角的正切值. （2）当时，在翻折的过程中： （i）求点P的运动轨迹的长度； （ii）求AP的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $