精品解析：福建省福州市台江区九校2024-2025学年高一下学期期末联考数学试卷

2024-2025学年第二学期期末考试 高一数学试卷 （满分：150 分；考试时间：120 分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知为虚数单位，若，则（ ）． A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第三象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数乘法求出，再逐项分析判断. 【详解】依题意，， 对于A，，A错误； 对于B，的虚部为，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，在复平面内对应的点在第三象限，D正确. 故选：D 2. 已知向量，，若与垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，则求解． 【详解】解：因为与垂直，所以， 则， 得， 故选：A 3. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 4. 在中，点在边上，．记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的加法法则和减法法则即可求解. 【详解】根据题意， 在中，， 故， 又在中，， 故选：A． 5. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“至多有一枚硬币正面朝上”，事件“两枚硬币正面均朝上”，事件“两枚硬币正面均朝下”，则（ ） A. A与C对立 B. B与C不互斥 C. A与B对立 D. B与C对立 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义即可判断. 【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，其中朝上的情况共有{正反，正正，反正，反反}共4种情况， 其中事件{正反，反正，反反}；事件{正正}，事件{反反}， 对A，事件A为事件C可能同时发生，即反反这种情况，即事件A，C不对立，故A错误； 对B，事件B与事件C显然不可能同时发生，则它们为互斥事件，故B错误； 对C，显然事件A和事件B不可能同时发生，即它们互斥，且两者构成了所有的发生情况，即事件A和事件B必有一个发生，则A与B对立，故C正确； 对D，事件B与C互斥，但是不对立，比如可能发生正反或反正的情况，故D错误. 故选：C. 6. 某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示），将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，已知，，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直观图的画图原则画出原图图形，则可得出直角梯形的边长，再利用圆台的体积公式计算即可. 【详解】作出其平面图形，则在平面图形中，，， 则圆台的上底面半径，下底面半径，高， 则上底面面积，下底面面积， 由圆台的体积公式. 故选：C. 7. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD，由答案不完备即可判断错误；对于C，由线面平行的性质、面面垂直的判定定理即可判断. 【详解】对于A，若，则或异面，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，则存在，且，因为，所以，而，从而，故C正确； 对于D，若，则或，故D错误. 故选：C. 8. 如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解；法二：连接，设，则，，即可求解. 【详解】方法一：如图1，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）． 设，则．因为，所以． 由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上， 所以，所以的取值范围是． 方法二：如图2，连接．易知， 设，则． 由已知可得，所以， 所以 ． 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是. 故选：C． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 福州市某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试，其中男生人，女生人现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本样本中有位女生的测试成绩，分别是，，，，，，，，样本中男生测试成绩的平均数为，则（ ） A. 样本中有位男生的测试成绩 B. 样本中女生测试成绩的第百分位数是 C. 样本中女生测试成绩的方差为 D. 样本中所有学生测试成绩的平均数为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义可知样本容量为，进而求出样本中男生人数即可判断A，再结合百分位数、标准差和平均数的定义求解，进而判断BCD. 【详解】对于A，由题意得，该学校高一年级共有人，则样本容量为， 所以样本中男生有人，故A正确； 对于B，由于，所以样本中女生成绩的百分位数是第项9，故B正确； 对于C，样本中女生成绩的平均数为， 所以样本中女生成绩的方差为 ， 所以样本中女生成绩的方差为，故C正确； 对于D，样本中所有学生测试成绩的平均数为，故D错误． 故选：ABC． 10. 已知的三个内角，，所对应的边分别为，，，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 恒成立 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则是等腰三角形 【答案】AB 【解析】 【分析】利用正余弦定理对各个选项分析判断即可. 【详解】对于，在中，设外接圆的半径为， 若，则，可得，所以，可知项正确； 对于B，由内角和定理得，故B项正确； 对于C，由得为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故C项错误； 对于D，若，则由正弦定理得，即， 可得或，所以是等腰或直角三角形，故D项错误． 故选：AB． 11. 如图，正方体 的棱长为1，动点在线段 上，分别是的中点，则下列结论中正确的是（   ） A. B. 当为中点时， C. 存在点，使得平面平面 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，直接使用中位线的性质即可证明；对于B，使用等腰三角形的中线性质即可证明；对于C，使用反证法即可否定结论；对于D，直接计算出三棱锥的体积即可验证. 【详解】对于A，由于分别是的中点，故. 而，所以，故A正确； 对于B，当是的中点时，由于，故，而，所以，故B正确； 对于C，假设平面平面，则两平面没有公共点，从而两直线没有公共点，又由于两直线都在下底面内，故. 而，这意味着和重合，矛盾，故C错误； 对于D，设到平面的距离和到直线的距离分别为和，则，从而三棱锥的体积，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于C选项对线面平行和线线平行定义的运用. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，则在的投影向量的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】由投影向量的定义代入计算可得结果. 【详解】根据投影向量的定义可知， 在上可投影向量为， 故答案为： 13. 已知事件和事件相互独立，表示事件的对立事件，，，则______. 【答案】##0.125 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式求解. 【详解】由事件和事件相互独立，则事件和事件也相互独立. 所以. 故答案为： 14. 在中，是边上一点，且，，则__________；若，则的面积的最大值为__________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】设，则，画出图形，运用余弦定理得到，进而得到，再用余弦定理得到，借助基本不等式计算即可． 【详解】设，则． 在中，由余弦定理得： ， ， 在中，， 满足， 为直角三角形，且， 在中，由余弦定理， ， ，当且仅当时取等号， ， ， ， 即面积的最大值为． 故答案为：；． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1+3i，2i，2+i，z， （1）求复数z； （2）z是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的一个根，求实数p，q的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据A、B、C对应的点坐标分别为（1，3），（0，2），（2，1），设D的坐标（x，y），利用求解； （2）根据3+5i是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的一个根，然后利用根与系数的关系求解. 【详解】（1）复平面内A、B、C对应的点坐标分别为（1，3），（0，2），（2，1）， 设D的坐标（x，y），由于， ∴（x﹣1，y﹣3）＝（2，﹣1）， ∴x﹣1＝2，y﹣3＝﹣1， 解得x＝3，y＝2 ，故D（3，2）， 则点D对应的复数z＝3+2i； （2）∵3+2i是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的一个根， ∴3﹣2i是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的另一个根， 则3+2i+3﹣2i＝，（3+2i）（3﹣2i）＝， 即p＝12，q＝26. 16. 在中，角的对边分别为，且向量. （1）求角 ； （2）若 的面积为，点为边的中点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，再利用正弦定理统一成边的形式，然后利用余弦定理可求得结果； （2）解法一：由结合辅助角公式化简可求出，则可得为等腰三角形，再由三角形的面积可求出，在中利用余弦定理可求得结果；解法二：同解法一求出，然后利用余弦定理求出，再利用极化恒等式可求得结果；解法三：同解法一求出，同解法二求出，然后利用平行四边形对角线的平方和是邻边平方和的两倍求解. 【小问1详解】 因为 ，所以 ， 由正弦定理得， 由余弦定理得 因为，所以. 【小问2详解】 解法一：因为， 所以，则 即， 又，所以，则 ，所以. 故. 所以， 所以. 在 中，由余弦定理可得 ， 即. 解法二： 因为 ， 所以，则 即， 又，所以，则 ，所以 . 故. 所以， 所以. 由余弦定理得：，所以 ， 又 由极化恒等式得： 所以 ，所以 解法三： 因为 ， 所以，则 即 又，所以，则 ，所以 . 故 . 所以 ， 所以 . 由余弦定理得： ，所以 由平行四边形对角线的平方和是邻边平方和的两倍得 所以 所以 17. 随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注．某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在内的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层随机抽样调查，已知抽取了年龄在内的老年人500人．年龄在内的老年人300人．现作出年龄在内的老年人年收入的频率分布直方图（如下图所示）． （1）根据频率分布直方图，估计该地年龄在内的老年人年收入的平均数及第95百分位数； （2）已知年龄在内的老年人年收入的方差为3，年龄在内的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在内的老年人年收入的方差． 【答案】（1）5.35，第95百分位数为8.3． （2）3． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算平均数及百分位数公式计算求解； （2）应用分层抽样平均数及方差公式计算求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图，估计该地年龄在内的老年人年收入的平均数约为， 由频率分布直方图，年收入在8.5万元以下的老年人所占比例为， 年收入在7.5万元以下的老年人所占比例为， 因此，第95百分位数一定位于内， 由， 可以估计该地年龄在内的老年人年收入的第95百分位数为8.3． 【小问2详解】 设年龄在内的老年人样本的平均数为，方差记为； 年龄在内的老年人样本的平均数记为，方差记为； 年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为． 由（1）得，，由题意得，，，， 则， 由， 可得， 即估计该地年龄在内的老年人的年收入方差为3． 18. 如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求证： （1）平面； （2） （3）若平面与平面的交线为，求与平面所成的角. 【答案】（1）证明：连接 ，交于点， 可知四边形是平行四边形，可得为 中点， 又是的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2）证明：根据题意，三棱柱为直三棱柱，则， 又由，则， ，面，面 则有面，又面，所以， 又由，则四边形为正方形，则， 又由，面，面，则有面， 面，则； （3） 【解析】 【分析】（1）连接 ，交于点，即证，利用线面平行的判断定理即可得证； （2）由线面垂直的判断定理证面，再利用线面垂直的性质定理即可得证； （3）延长交于，连接，则面，面，又面，面，即证 ，得为与平面所成的角，即可求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 延长交于，连接，则面，面，又面，面， 则直线即为直线．由，且，则， 又且，所以且，则四边形为平行四边形，故，故为与平面所成的角． 因为，所以． 即与平面所成的角为． 【点睛】 19. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率； （2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率. 【详解】（1）记事件甲连胜四场，则； （2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 ， 所以，需要进行第五场比赛的概率为； （3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 记事件甲赢，记事件丙赢， 则甲赢的基本事件包括：、、、 、、、、， 所以，甲赢的概率为. 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为. 【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期末考试 高一数学试卷 （满分：150 分；考试时间：120 分钟） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知为虚数单位，若，则（ ）． A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第三象限 2. 已知向量，，若与垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，点在边上，．记，，则（ ） A. B. C. D. 5. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“至多有一枚硬币正面朝上”，事件“两枚硬币正面均朝上”，事件“两枚硬币正面均朝下”，则（ ） A. A与C对立 B. B与C不互斥 C. A与B对立 D. B与C对立 6. 某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示），将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，已知，，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 福州市某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试，其中男生人，女生人现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本样本中有位女生的测试成绩，分别是，，，，，，，，样本中男生测试成绩的平均数为，则（ ） A. 样本中有位男生的测试成绩 B. 样本中女生测试成绩的第百分位数是 C. 样本中女生测试成绩的方差为 D. 样本中所有学生测试成绩的平均数为 10. 已知的三个内角，，所对应的边分别为，，，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 恒成立 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则是等腰三角形 11. 如图，正方体 的棱长为1，动点在线段 上，分别是的中点，则下列结论中正确的是（   ） A. B. 当为中点时， C. 存在点，使得平面平面 D. 三棱锥的体积为定值 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，则在的投影向量的坐标是______． 13. 已知事件和事件相互独立，表示事件的对立事件，，，则______. 14. 在中，是边上一点，且，，则__________；若，则的面积的最大值为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1+3i，2i，2+i，z， （1）求复数z； （2）z是关于x的方程2x2﹣px+q＝0的一个根，求实数p，q的值. 16. 在中，角的对边分别为，且向量. （1）求角 ； （2）若 的面积为，点为边的中点，求的长. 17. 随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注．某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在内的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层随机抽样调查，已知抽取了年龄在内的老年人500人．年龄在内的老年人300人．现作出年龄在内的老年人年收入的频率分布直方图（如下图所示）． （1）根据频率分布直方图，估计该地年龄在内的老年人年收入的平均数及第95百分位数； （2）已知年龄在内的老年人年收入的方差为3，年龄在内的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在内的老年人年收入的方差． 18. 如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求证： （1）平面； （2） （3）若平面与平面的交线为，求与平面所成的角. 19. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $