6.2等差数列专项训练-2026届高三数学一轮复习

6.2　等差数列 考点1　等差数列及其前n项和 1.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S3=6,S5=-5,则S6= (　　) A.-20　　B.-15　　C.-10　　D.-5 2.记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5=S10,a5=1,则a1= (　　) A.　　B.　　C.-　　D.- 3.图1是中国古代建筑中的举架结构,AA',BB',CC',DD'是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为=0.5,=k1,=k2,=k3.已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3= (　　) A.0.75　　B.0.8　　 C.0.85　　D.0.9 4.已知等差数列{an}的公差为,集合S={cos an|n∈N*}.若S={a,b},则ab= (　　) A.-1　　B.-　　C.0　　D. 5.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=　 　.  6.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=　 　.  7.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=　 　.  8.将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为　 　.  9.记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 10.已知数列{an}中,a1=3,=+. (1)证明:数列{nan}是等差数列; (2)给定正整数m,设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm,求f'(-2). 11.设等差数列{an}的公差为d,且d>1,令bn=,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和. (1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式; (2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d. 考点2　等差数列的性质及应用 1.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a2+a6=10,a4a8=45,则S5= (　　) A.25　　B.22　　C.20　　D.15 2.在等差数列{an}中,a1=-9,a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1,2,…),则数列{Tn} (　　) A.有最大项,有最小项　　 B.有最大项,无最小项 C.无最大项,有最小项　　 D.无最大项,无最小项 3.记Sn为公差不为零的等差数列{an}的前n项和,若a3=S5,a2·a4=S4. (1)求{an}的通项公式; (2)求使得Sn>an的n的最小值. 练速度 1.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=0,S6=2S3-12,则a1= (　　) A.6　　B.8　　C.10　　D.12 2.已知等差数列{an}中,a2+a4=6,则a1+a3+a5= (　　) A.15　　B.9　　C.3　　D.5 3.已知等差数列{an}的前8项和为48,a2+a3=4,则{an}的公差为 (　　) A.1　　B.2　　C.4　　D.8 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S11=11(a5+2),则a11-a5= (　　) A.4　　B.8　　C.10　　D.12 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9= (　　) A.63　　B.45　　C.36　　D.27 6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S12=63+S3,a3+a12=12,则{an}的公差为 (　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 7.记Sn为等差数列{an}的前n项和,公差d>0,且a2 020·a2 021<0,则Sn取得最小值时n为 (　　) A.2 021　　B.4 039　　C.2 020　　D.4 040 8.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且{nSn}为等差数列,若S6+a4+a5+a6=1,则= (　　) A.-63　　B.63　　C.36　　D.-36 9.已知等差数列{an}的公差为,集合S={cos an|n∈N*},若S={a,b,c},则a+b+c= (　　) A.-1　　B.0　　C.1　　D. 10.(多选)等差数列{an}中,a2+a3=-12,a5+a7=2,记数列{an}的前n项和为Sn,下列选项正确的是 (　　) A.数列{an}的公差为2 B.Sn取最小值时,n=6 C.S4=S7 D.数列{|an|}的前10项和为50 11.(多选)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=9,a3是a1与a4的等比中项,则下列说法正确的是 (　　) A.a2=3 B.d=-1 C.数列是递增数列 D.当Sn>0时,n的最大值为8 12.记等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=3a1+6,a3n+1=3an+1-2,则an=　 　.  13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=3,S5=25. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=3nan,求数列{bn}的前n项和Tn. 练思维 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=4a4-1,(n∈N*)是以1为公差的等差数列,则下列结论正确的是 (　　) A.a5=10　　B.S5=15　　C.a10=20　　D.S10=30 2.已知f(x)+f(1-x)=2,an=f(0)+f+…+f+f(1),则数列{an}的通项公式为 (　　) A.an=n+1　　B.an=2n+1　　 C.an=2n+2　　D.an=4n+2 3.已知等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,若=,∀n∈N*,∃M>0,<M,则M的最小值为 (　　) A.　　B.　　C.　　D.1 4.鬼工球,又称同心球,要求制作者使用一整块完整的材料,将其雕成每层均同球心的数层空心球.若鬼工球最内层的空心球上有2个雕孔,且向外每层雕孔依次增加d个(d为常数).现制作3个层数分别为3,6,m的鬼工球,其中6层的鬼工球比3层的鬼工球共多出30个雕孔,三个鬼工球之间的雕孔数相差最多者为36,则m= (　　) A.2　　B.5　　C.7　　D.8 5.(多选)记等差数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=Pn2+Qn+M,其中P,Q,M为实数,则 (　　) A.M=0 B.若{an}递增,则P>0 C.若Q=0,则a3=4a1 D.若P+Q+M=0,则a1=0 6.已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且a1=1,是1-Sn与Sn+1的等差中项. (1)证明:数列{}是等差数列; (2)设bn=(-1)n·(Sn+an),求数列{bn}的前2n项和T2n. 7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2n=2an+1,S4=4(a3-1),n∈N*. (1)求{an}的通项公式. (2)设bn=其中k是正整数. (i)求b1,b2,b3,b4; (ii)求bi(n∈N*). 练风向 我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.已知数列{an}满足a1=0,|an+1-an|=2,n∈N*,当a2 026=4 050时,令f(x)=,若函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形,则=　 　.  答案 考点1　等差数列及其前n项和 1. B 2. B 3. D 4. B 5. 95 6. 2 7. 25 8. 3n2-2n 9.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d, 则解得 ∴an=13-2(n-1)=15-2n. (2)由an=15-2n知,当n≤7,n∈N*时,an>0,当n≥8,n∈N*时,an<0, ∴当n≤7,n∈N*时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn==-n2+14n, 当n≥8,n∈N*时,Tn=(a1+a2+…+a7)-(a8+a9+…+an) =2S7-Sn=98-(-n2+14n)=n2-14n+98. ∴Tn= 10.解析　(1)证明:因为=+, 所以(n+1)an+1=nan+1, 所以(n+1)an+1-nan=1, 所以{nan}是以1×a1=3为首项,1为公差的等差数列. (2)由(1)知,nan=3+(n-1)×1=n+2. 因为f(x)=a1x+a2x2+…+amxm, 所以f '(x)=1×a1x0+2a2x1+…+mamxm-1 =3x0+4x1+5x2+…+(m+2)xm-1, 则f '(-2)=3×(-2)0+4×(-2)1+5×(-2)2+…+(m+2)·(-2)m-1,① -2f '(-2)=3×(-2)1+4×(-2)2+5×(-2)3+…+(m+2)·(-2)m,② ①-②得,3f '(-2)=3×(-2)0+(-2)1+(-2)2+…+(-2)m-1-(m+2)·(-2)m =3+-(m+2)·(-2)m =3+-(m+2)·(-2)m =-·(-2)m, 所以f '(-2)=-·(-2)m=. 11.解析　(1)∵3a2=3a1+a3, ∴3(a1+d)=3a1+a1+2d, ∴a1=d>1,∴S3=a1+a2+a3=a1+a1+d+a1+2d=6a1, 又∵bn=,∴b1=,b2===,b3===,∴T3=b1+b2+b3=,∴S3+T3=6a1+=21,解得a1=3或a1=(舍),∴an=3n. (2)∵{bn}为等差数列, ∴2b2=b1+b3,即=+, 即=+,即-3a1d+2d2=0, ∴a1=2d或a1=d. 当a1=2d时,an=(n+1)d,bn=, ∴S99==99×51d, T99=·=, 又∵S99-T99=99,∴99×51d-99×50·=99, ∴51d-=1,解得d=1或d=-, 又∵d>1,∴a1≠2d. 当a1=d时,an=nd,bn=, ∴S99==50×99d, T99=·=, 又∵S99-T99=99,∴50×99d-=99, ∴50d-=1,解得d=或d=-1, 又∵d>1,∴d=. 综上,d=. 考点2　等差数列的性质及应用 1. C 2. B 3.解析　(1)解法一:设等差数列{an}的公差为d(d≠0),则a3=S5⇒a1+2d=5a1+10d⇒4a1+8d=0⇒a1+2d=0⇒a1=-2d,① a2·a4=S4⇒(a1+d)(a1+3d)=4a1+6d,② 将①代入②得-d2=-2d⇒d=0(舍)或d=2,∴a1=-2d=-4,∴an=-4+(n-1)×2=2n-6. 解法二:由等差数列的性质可得S5=5a3,则a3=5a3,∴a3=0, 设等差数列的公差为d, 从而有a2a4=(a3-d)(a3+d)=-d2, S4=a1+a2+a3+a4=(a3-2d)+(a3-d)+a3+(a3+d)=-2d,从而-d2=-2d,由于公差不为零,故d=2, 所以数列{an}的通项公式为an=a3+(n-3)d=2n-6. (2)由(1)知an=2n-6,a1=2×1-6=-4. Sn=na1+d=-4n+n(n-1)=n2-5n. Sn>an⇔n2-5n>2n-6⇔n2-7n+6>0⇔(n-1)(n-6)>0, 解得n<1或n>6,又n∈N*,∴n的最小值为7. 练速度 1. A 2. B 3. B 4. D 5. B 6. B 7. C 8. A 9. B 10. AD 11. ABD 12. 2n-1 13.解析　(1)设等差数列{an}的公差为d,则 解得则an=2n-1. (2)由(1)可得bn=(2n-1)·3n, 则Tn=1×31+3×32+5×33+…+(2n-3)×3n-1+(2n-1)×3n, 则3Tn=1×32+3×33+5×34+…+(2n-3)×3n+(2n-1)×3n+1, 两式相减可得-2Tn=3+2(32+33+…+3n)-(2n-1)×3n+1=3+-(2n-1)×3n+1=(2-2n)×3n+1-6, 则Tn=(n-1)·3n+1+3. 练思维 1. B 2. A 3. C 4. A 5. ABD 6.解析　(1)证明:因为是1-Sn与Sn+1的等差中项,所以2=1-Sn+Sn+1, 所以Sn=1+Sn+1-2=, 因为数列{an}的各项均为正数, 所以Sn>0,所以=-1, 所以-=1, 所以数列{}是公差为1,首项为==1的等差数列. (2)因为数列{}是公差为1,首项为=1的等差数列, 所以=1+(n-1)×1=n, 所以Sn=n2,当n=1时,a1=1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,当n=1时,a1=1也符合, 所以an=2n-1,n∈N*, 因为bn=(-1)n·(Sn+an), 所以T2n=-S1-a1+S2+a2-S3-a3+S4+a4-…+S2n+a2n =(S2-S1)+(S4-S3)+…+(S2n-S2n-1)-(a1-a2+…-a2n) =a2+a4+…+a2n-(a1-a2+…-a2n) =-(a1+a3+…+a2n-1)+2(a2+a4+…+a2n) =-+2× =-+2× =-n(2n-1)+n(4n+2)=2n2+3n. 7.解析　(1)设公差为d.由题意得解得 ∴{an}的通项公式为an=2n-1. (2)(i)∵bn=其中k是正整数, ∴b1=1,b2=b1+1=2,b3=2,b4=b3+2=4. (ii)bi=b1+b2+b3+…+=(b1+b3+b5+…+)+(b2+b4+b6+…+) =(b1+b3+b5+…+)+[(b1+1)+(b3+2)+(b5+3)+…+(+2n-1)] =2(b1+b3+b5+…+)+(1+2+3+…+2n-1)=3(1+2+3+…+2n-1) =3×=3(2n-2+22n-3). 练风向 -1 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$