精品解析：黑龙江省鸡西市虎林市2024-2025学年八年级下学期数学期末试题

2024-2025年八年级下学期综合练习（二） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的为（ ） A. B. C. D. 2. 在直角三角形中，如果有一个角是，这个直角三角形的三边之比是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第四象限 D. 第三象限 5. 一组数据 ， ， ， 的平均数与中位数相同，则 的值是（ ） A. 1或3或7 B. 1或3或5 C. 或3或7 D. 或3或5 6. 如图，在边长为3的正方形 中，点E在边 上，以点D为圆心， 长为半径画弧，交线段 于点F．若，则 的长为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度 随时间的变化规律如图所示（图中 为一折线）．这个容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等边三角形 中， ， ， ，垂足分别为点 、 ． 为 中点， 为 中点．连接，则的值为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 10. 如图，矩形 中， 为 中点，过点 的直线分别与 ， 交于点 ， ，连接 交 于点 ，连接 ， ．若，，则下列结论：①；②四边形是菱形；③；④．其中正确结论的序号是（ ） A. ③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 要使二次根式有意义，则x需满足的条件是______． 12. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：______________，使四边形ABCD成为菱形． 13. 若，则xy= _______ 14. 已知正比例函数的图象经过点，则k的值为_______． 15. 学校举办了以“不负青春，强国有我”为主题的演讲比赛．已知某位选手的演讲内容、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分、85分、82分，若依次按照，，的比例确定成绩，则该选手的成绩是______分． 16. 如图，菱形 中，对角线 与 相交于点 ，若，则菱形的面积是______． 17. 如图，直线：与直线：相交于点 ，则方程组的解是________． 18. 如图，正方形 中， ，点 在边 上，且， 为 上一动点， 为对角线 上一动点，则周长的最小值为_____． 19. 在矩形 中， ，，点 在 上，， 是 上的一个动点，连接 ，若将四边形 沿 折叠，点 ， 分别落在点，处，则当点 恰好落在矩形 的一边上时， 的长为_____． 20. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边，分别落在 轴正半轴和 轴正半轴上，．若将正方形 绕点 按顺时针方向依次旋转后得到正方形、正方形、正方形、正方形……则点的坐标是_____． 三、解答题（满分60分） 21. 计算： （1）； （2） 22. 先化简，再求值，其中． 23. 如图，已知直线与 轴交于点A，直线与 轴交于点 ，直线 与直线 交于点 ． （1）点A的坐标为_____，点 的坐标为_____，直线 与直线 的交点 的坐标为_____； （2）根据图象可得不等式的解集为_____； （3）求的面积． 24. 为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图①和图②所示. （1）本次共抽查了________人；并补全上面条形统计图； （2）本次抽查学生捐款的中位数为________；众数为________； （3）全校有八年级学生1100人，估计捐款金额超过15元（不含15元）的有多少人？ 25. 货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速继续行驶．货车、轿车离甲地的路程y（单位：km）与货车出发的时间x（单位：h）的函数图象如图所示，请结合图象信息解决下列问题： （1）轿车行驶的速度为_______，货车行驶的速度为_______； （2）求线段 所在直线的函数解析式； （3）当两车相距时，直接写出货车出发的时间． 26. 点E、F分别在正方形 的边 、AB所在直线上，点M在直线 上，且， ，直线 ，垂足分别是E、N． （1）当点E在边 上时，如图①，求证：； （2）当点E在 的延长线上时，如图②；当点E在的延长线上时，如图③，请直接写出线段 ，， 之间的数量关系，不需要证明． 27. 近几年电动汽车更多地走进千家万户，李大叔家有某款电动汽车和某款燃油汽车各一辆，经对比发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少0.5元，若充电费和加油费均为200元时，电动汽车行驶的总路程是燃油汽车行驶总路程的3倍． （1）求李大叔家电动汽车平均每公里的充电费和燃油汽车平均每公里的加油费各是多少元； （2）李大叔家计划给这两款车充电和加油，要求这两款车行驶的公里数的和为1000公里，设燃油汽车行驶 公里，两车加油和充电总费用为W元； ①求W与 的函数解析式； ②若电动汽车至少行驶720公里，求总费用W的最大值． 28. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 与坐标原点重合，顶点 、 在坐标轴上，，将沿 折叠，使点 落在对角线上的点 处． （1）求点 的坐标； （2）动点 从点 出发，沿折线方向以5个单位/秒的速度匀速移动，到终点 停止，设 运动时间为，的面积为 ，求出 与的关系式，并写出的取值范围； （3）在（2）的条件下，当时，在平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在；请直接写出点坐标，若不存在请说明原因． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年八年级下学期综合练习（二） 数学试卷 考生注意： 1．考试时间90分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，满分30分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式，掌握最简二次根式满足的要求是解题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可得出答案． 【详解】解：A、，不满足题意； B、，不满足题意；        C、是最简二次根式，满足题意；       D、，不满足题意； 故选：C． 2. 在直角三角形中，如果有一个角是，这个直角三角形的三边之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰直角三角形的性质，根据等腰直角三角形的性质求出另一条直角边，根据勾股定理求出斜边长，计算即可． 【详解】解：设这个直角三角形的一条直角边为x， ∵有一个内角为 ， ∴另一个内角为 ， ∴另一条直角边为x， 由勾股定理得：斜边长为：， ∴这个三角形的三边长的比为：， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分析得出答案． 【详解】解：A.，故此选项错误； B.，故此选项错误； C.，故此选项错误； D.，正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平方根和算术平方根的性质以及立方根的性质，正确掌握相关性质是解题关键． 4. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第四象限 D. 第三象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，根据一次函数解析式确定直线经过的象限是解题的关键． 利用一次函数解析式中的和的正负，即可判断直线经过的象限． 【详解】解：∵一次函数的， ∴随的增大而减小， 又∵ ∴直线与轴的交点位于轴的正半轴， ∴直线经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限， 故选：D． 5. 一组数据 ，， ，的平均数与中位数相同，则的值是（ ） A. 1或3或7 B. 1或3或5 C. 或3或7 D. 或3或5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平均数和中位数，将数据从小到大排列，分类计算出在不同位置时这组数据的平均数和中位数，再根据这组数据的平均数和中位数相同列出方程求解即得．解题关键是熟知平均数和中位数的公式，根据的位置分类讨论． 【详解】解：由题意可得：平均数为， 分四种情况如下： ①将这组数据从小到大的顺序排列为 ，， ，， ∵这组数据处于中间位置的数是3，5， ∴中位数是， ∵平均数与中位数相同， ∴， 解得：，符合排列顺序； ②将这组数据从小到大的顺序排列为 ，，， ， ∵这组数据处于中间位置的数是3，， ∴中位数是， ∵平均数与中位数相同， ∴， 解得：，符合排列顺序； ③将这组数据从小到大的顺序排列为 ，，， ， ∵这组数据处于中间位置的数是，3， ∴中位数是， ∵平均数与中位数相同， ∴， 解得：，符合排列顺序； ④将这组数据从小到大的顺序排列为，1，， ， ∵这组数据处于中间位置的数是1，3， ∴中位数是， ∵平均数与中位数相同， ∴， 解得： ，符合排列顺序； 故的值是 或3或7， 故选：C． 6. 如图，在边长为3的正方形 中，点E在边 上，以点D为圆心， 长为半径画弧，交线段 于点F．若，则 的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，设，则，，由勾股定理列方程，可求解． 【详解】解：∵ 设， 则，． 在中，， ， 解得． 则 故选：D 7. 已知点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数值大小的比较，一次函数的性质；利用一次函数的增减性即可求解． 【详解】解：，且， ， 故选：C． 8. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度 随时间的变化规律如图所示（图中 为一折线）．这个容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的走势：较缓，较陡，陡，注水速度是一定的，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，从而得到答案． 【详解】解：从函数图象可以看出：OA段上升最慢，AB段上升较快，BC段上升最快，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢， ∴题中图象所表示的容器应是下面最粗，中间其次，上面最细； 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 9. 如图，在等边三角形 中， ， ， ，垂足分别为点 、 ．为 中点， 为 中点．连接，则的值为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的性质，解题的关键在于掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．取 的中点 ，连接 、 ，根据三角形中位线定理证明为等边三角形，再根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：取 的中点 ，连接 、 ， 为等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 同理： ， 、 分别为 、 的中点， 是 的中位线， ，， ， 同理可得：，， ，， 为等边三角形， ， 故选：B． 10. 如图，矩形 中，为 中点，过点的直线分别与 ， 交于点 ， ，连接 交 于点，连接 ， ．若，，则下列结论：①；②四边形是菱形；③；④．其中正确结论的序号是（ ） A. ③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，再证明是等边三角形，即可判断①选项；由和是等边三角形，可得，即可判断②选项；由含 角的直角三角形的性质即可判断③选项；先证明，再由，，得到，据此可判断④． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ∵O为 的中点， ∴， ∵， ∴ 是等边三角形， ∴， 在和中， ， ， ，， 在等边 中，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 平分， ，， 垂直平分 ， 如图，连接 ， 在矩形 中，为 的中点， ，，三点在同一直线上， 在线段 的垂直平分线上， ， ， 是等边三角形， ， 故①符合题意； 由①得和是等边三角形， ， 四边形是菱形； 故②符合题意； 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 同理可得， ∴故③符合题意； 在和中， ， ， ， ，， ∴ ，故④不符合题意， 综上所述，正确的结论有①②③， 故选：C． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，含 角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 二、填空题（每题3分，满分30分） 11. 要使二次根式有意义，则x需满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义需被开方式大于等于0是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：______________，使四边形ABCD成为菱形． 【答案】AB=AD. 【解析】 【分析】由条件OA=OC，AB=CD根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，再加上条件AB=AD可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定． 【详解】添加AB=AD， ∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形， 故答案为AB=AD． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 13. 若，则xy= _______ 【答案】40 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式组求x，代入已知等式求y． 【详解】解：根据二次根式的性质，得 ，解得x=8， 此时y=5， 所以xy=40． 故答案为40. 【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 14. 已知正比例函数的图象经过点，则k的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】把代入，即可求解． 【详解】解：把代入，得： ， 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了求正比例函数解析式，熟练掌握正比例函数解析式的求法是解题的关键． 15. 学校举办了以“不负青春，强国有我”为主题的演讲比赛．已知某位选手的演讲内容、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分、85分、82分，若依次按照，，的比例确定成绩，则该选手的成绩是______分． 【答案】86 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的运用，熟练掌握加权平均数的计算方法．是解题的关键．若n个数的权分别为，则叫做这n个数的加权平均数． 根据加权平均数的计算公式列出算式，进行计算即可得出答案． 【详解】解：（分）， 故答案为：86． 16. 如图，菱形 中，对角线 与 相交于点，若，则菱形的面积是______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，熟记菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解题的关键．根据菱形的性质可知 ，再根据菱形面积公式计算即可． 【详解】解： 四边形 是菱形， 则菱形 的面积为： 故答案为：9． 17. 如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，由两个一次函数解析式所组成的方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 方程组的解为P点的横纵坐标． 【详解】解：∵直线：与直线：相交于点 将 代入得， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：． 18. 如图，正方形 中， ，点 在边 上，且，为 上一动点， 为对角线 上一动点，则周长的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理和对称的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先作点 关于 的对称点，关于 的对称点，连接，交 、 于点 、，连接 ， ，然后求得，，然后通过勾股定理的知识即可求解； 【详解】解：∵四边形 为正方形， ， ∴，， 作点 关于 的对称点，关于 的对称点，连接，交 、 于点 、，连接 ， ，如图： ， 由题可得：， ∴，，， ∴， ∴， 当点于点 重合，点 于点重合时，周长取最小值，即为的长， 在中，， 即， ∴周长的最小值为， 故答案为：； 19. 在矩形 中， ，，点 在 上，， 是 上的一个动点，连接 ，若将四边形 沿 折叠，点，分别落在点，处，则当点恰好落在矩形 的一边上时， 的长为_____． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 分点落在 和 边上两种情况，分别运用矩形的折叠问题、全等三角形的判定与性质、勾股定理求解即可． 【详解】解：如图1，当点落在 边上时， 由折叠知，， ∴， ∵四边形 是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 在中，； 如图2，当点落在 边上时， 由折叠知，， ∴， ∵四边形 是矩形， ∴， 在中， ∴， 设， 在中，2， 在中，， ∴，解得：． ∴． 综上， 的长为3或． 故答案为：3或． 20. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边，分别落在轴正半轴和轴正半轴上，．若将正方形 绕点按顺时针方向依次旋转后得到正方形、正方形、正方形、正方形……则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转规律探究，坐标与图形，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；根据题意得出规律为每旋转 次后点回到初始位置，点的坐标与的坐标相等，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵将正方形 绕点按顺时针方向依次旋转， ∴每旋转 次后点回到初始位置， ∵ ∴点的坐标与的坐标相等， 如图，过点作轴的垂线，垂足为点 ， ∵ ∴ ∴，即点的坐标是 故答案为：． 三、解答题（满分60分） 21. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先根据完全平方公式及平方差公式进行计算，再化为最简二次根式，最后计算加减，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 先化简，再求值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算的运算顺序是解本题的关键，先计算括号内的分式的减法，再把除法化为乘法，约分即可，再把代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 23. 如图，已知直线与轴交于点A，直线与轴交于点，直线 与直线 交于点 ． （1）点A的坐标为_____，点的坐标为_____，直线 与直线 的交点 的坐标为_____； （2）根据图象可得不等式的解集为_____； （3）求的面积． 【答案】（1）、、 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积等知识点，求得交点坐标是解题的关键． （1）由一次函数解析式求得其与坐标轴的交点坐标即可确定点A、B的坐标；再联立直线 与直线 的函数解析式即可求得点C的坐标； （2）根据函数图象即可确定不等式的解集； （3）由A、B的坐标可确定 的长度，然后根据坐标与图形以及三角形面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点A， ∴当 时，，即点A的坐标为； ∵直线与轴交于点B， ∴当 时，，即点B的坐标为； 联立，解得：， ∴点C的坐标为； 故答案为：、、． 【小问2详解】 解：观察图象可知：当时，函数的图象在函数的上方，即关x于不等式的解集为． 【小问3详解】 解：∵、， ∴， ∴的面积为． 24. 为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，我校组织“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动.随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图①和图②所示. （1）本次共抽查了________人；并补全上面条形统计图； （2）本次抽查学生捐款的中位数为________；众数为________； （3）全校有八年级学生1100人，估计捐款金额超过15元（不含15元）的有多少人？ 【答案】（1）50， 补全条形统计图如下： （2）15，15 （3）220人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，条形统计图，中位数、众数以及样本估计总体， （1）从两个统计图中可知，样本中“捐款为5元”的学生有8人，占调查人数的，根据频率可求出答案； （2）根据众数、中位数的定义进行计算即可； （3）求出样本捐款金额超过15元（不含15元）的所占百分比，估计总体中捐款金额超过15元（不含15元）人数． 【小问1详解】 解： （人 ， “捐款为15元”的学生有（人 ， 【小问2详解】 学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元， 将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元， 故答案为：15，15； 【小问3详解】 捐款金额超过15元（不含15元）的人数（人）， 所以全校八年级学生为1100名，捐款金额超过15元（不含15元）的人数为220人， 25. 货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速继续行驶．货车、轿车离甲地的路程y（单位：km）与货车出发的时间x（单位：h）的函数图象如图所示，请结合图象信息解决下列问题： （1）轿车行驶的速度为_______，货车行驶的速度为_______； （2）求线段 所在直线的函数解析式； （3）当两车相距时，直接写出货车出发的时间． 【答案】（1）120，60 （2）线段 所在直线的函数解析式为 （3）当两车相距时，货车出发的时间为或 【解析】 【分析】（1）由函数图象点的坐标含义结合速度等于路程除以时间可得答案； （2）先求解点 的坐标为，点 的坐标为，设线段DE所在直线的函数解析式为 ，将点，代入，再利用方程组求解一次函数的解析式即可； （3）分两种情况列方程求解即可：①当轿车休息前与货车相距200km时；②当轿车休息后与货车相距200km时． 【小问1详解】 解：轿车行驶的速度为（），货车行驶的速度为（）， 故答案为：120，60； 【小问2详解】 ∵， ∴点 的坐标为． ∵， ∴点 的坐标为． 设线段DE所在直线的函数解析式为 ． 将点，代入，得 解得 ∴线段DE所在直线的函数解析式为． 【小问3详解】 由货车行驶的速度可知，线段的函数解析式为； ①当轿车休息前与货车相距200km时， ， 解得； ②当轿车休息后与货车相距200km时， ， 解得， 答：当两车相距时，货车出发的时间为或． 【点睛】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，数形结合、分类讨论并明确行程问题的基本数量关系，是解题的关键． 26. 点E、F分别在正方形 的边 、AB所在直线上，点M在直线 上，且， ，直线 ，垂足分别是E、N． （1）当点E在边 上时，如图①，求证：； （2）当点E在 的延长线上时，如图②；当点E在的延长线上时，如图③，请直接写出线段 ，， 之间的数量关系，不需要证明． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）当点 在边 上时, 如图①, 过点作于点，先根据证明, 则可得, 再证明四边形是矩形，则可得, 由此可得； （2）当点 在 的延长线上时，如图②，延长 , 过点作的延长线于点,则四边形是矩形，由此可得，再根据证明, 则可得, 由此可得； 当点 在的延长线上时，如图③，过 点作于点, 则四边形是矩形, 则，再根据证明, 则可得, 由此可得． 【小问1详解】 证明: 当点 在边 上时, 如图①, 过点作于点, ∵四边形 是正方形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ∵， ∴, ∴四边形是矩形, ∴, ∴； 【小问2详解】 当点 在 的延长线上时，如图②， 延长 , 过点作的延长线于点, 则四边形是矩形， ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ， ， ， ， ； 当点 在的延长线上时，如图③， 过 点作于点, 则四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 27. 近几年电动汽车更多地走进千家万户，李大叔家有某款电动汽车和某款燃油汽车各一辆，经对比发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油汽车平均每公里的加油费少0.5元，若充电费和加油费均为200元时，电动汽车行驶的总路程是燃油汽车行驶总路程的3倍． （1）求李大叔家电动汽车平均每公里的充电费和燃油汽车平均每公里的加油费各是多少元； （2）李大叔家计划给这两款车充电和加油，要求这两款车行驶的公里数的和为1000公里，设燃油汽车行驶 公里，两车加油和充电总费用为W元； ①求W与 的函数解析式； ②若电动汽车至少行驶720公里，求总费用W的最大值． 【答案】（1）电动汽车平均每公里的充电费为0.25元，燃油汽车平均每公里的加油费为0.75元 （2）①；②390元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程、不等式和一次函数的应用， （1）根据题意设电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油汽车平均每公里的加油费为元，结合“充电费和加油费均为200元时，电动汽车行驶的总路程是燃油汽车行驶总路程的3倍”，列出分式方程求解即可． （2）根据题意得，电动汽车行驶公里，则，②结合“电动汽车至少行驶720公里”列出不等式求得m的范围，依据一次函数的性质即可求得最大值． 【小问1详解】 解：设电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油汽车平均每公里的加油费为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解． ∴ 答：电动汽车平均每公里的充电费为0.25元，燃油汽车平均每公里的加油费为0.75元． 【小问2详解】 ①根据题意得，电动汽车行驶公里， ∴ ， 即， ②∵电动汽车至少行驶720公里， ∴， ∴， ， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，W的值最大， ， 答：总费用W的最大值为390元． 28. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点与坐标原点重合，顶点、 在坐标轴上，，将沿 折叠，使点 落在对角线 上的点 处． （1）求点 的坐标； （2）动点从点出发，沿折线方向以5个单位/秒的速度匀速移动，到终点停止，设运动时间为，的面积为 ，求出 与的关系式，并写出的取值范围； （3）在（2）的条件下，当时，在平面内是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，若存在；请直接写出点坐标，若不存在请说明原因． 【答案】（1） （2） （3）存在，，， 【解析】 【分析】本题考查了一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，勾股定理、平行四边形的性质，面积的计算等： （1）由翻折可知，，,设, 在 ，根据，构建方程求出x即可解决问题； （2）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可解决问题； （3）点有二种情况：当 为边时，当 为对角线时，分别求解即可； 其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏． 【小问1详解】 解：的坐标， 则：，， 在中，根据勾股定理得：， 将沿 折叠，使点 落在对角线 上的点 处， ，， ， 设,则, 在 中，由勾股定理得：, 即, 解得, ． 【小问2详解】 过点 作于点 ， 根据三角形面积可得，， ∴， 故点 的横坐标为， 即：， 正比例函数经过， ， ， ， ， ①当点在 段时，即：， 如图：过点 作 于点， ， ， ， ②当点在 段时，如下图，过点 作于点 ， ， ，， ， 综上所述：． 【小问3详解】 由（2）知，点， 当时，则点， 而点,设点， ①当 为边时， 点向右平移个单位得到点 ，同样点向右平移个单位得到点， 即且， 解得或， 故点的坐标为或； ②当 为对角线时， 由中点公式得且， 解得， 综上点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $