精品解析：山东省烟台市2024-2025学年高二下学期期末学业水平诊断数学试题

2024~2025学年度第二学期期末学业水平诊断 高二数学 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上． 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 4. 函数的零点所在的一个区间为（ ） A. B. C. D. 5. 函数在上的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的图象关于点对称，则实数a的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 7. 若函数存在两个不同的零点，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为定义在上的偶函数，且当时，，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等关系成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 若函数在处取得极大值，则（ ） A. B. C. 为的一个增区间 D. 的极小值为 11. 定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 的图象在处的切线方程为 C. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10 D. 的图象与直线恰有一个公共点，则实数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，分别为定义在上的偶函数、奇函数，且满足，则的值为______． 13. 若实数满足，则称为函数的一个“二阶不动点”．给定函数，则其所有“二阶不动点”的和为______． 14. 已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若对任意的，都有，求实数m的取值范围． 16. 定义在上的函数满足，，且时，． （1）判断并证明的奇偶性； （2）求关于t的不等式的解集． 17. 如图，某地计划在海中建设一风力发电站A，其离岸距离，与AC垂直的海岸线BC上有一升压站B，且．现要铺设一条电缆将A站的电力传输到B站，点P为海岸线BC上一点，线段AP，PB分别表示在海中、海岸线上铺设电缆的路线．假设海中铺设电缆的费用为m万元/千米（m为给定正数），海岸线上铺设电缆的费用为万元/千米，CP的长度为x千米． （1）求铺设电缆总费用y关于x的函数关系式； （2）当CP的长度为何值时，铺设电缆总费用最小？求出最小费用． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线切线斜率的最小值； （2）若有两个不同的极值点，． （i）求a的取值范围； （ii）求证：． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，且与有相同的最小值． （i）求a的值； （ii）已知，，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期末学业水平诊断 高二数学 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上． 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰，超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定判断即得. 【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求的否定是，. 故选：C 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求得集合，然后利用补集和交集的概念计算即可. 【详解】由题可知：， 所以. 故选：B 3. 设集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的值为（ ） A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由逻辑用语可得集合的包含关系，再分情况建立方程，根据集合元素的特征验根，可得答案. 【详解】由题意可得，令，解得，则，不符合题意； 令，则，解得或， 当时，，不符合题意，当时，. 综上可得：. 故选：D. 4. 函数的零点所在的一个区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理判断. 【详解】函数定义域为，函数在单调递减， 由，；； ，又，所以； ，又，所以； . 所以，所以函数的零点所在的一个区间为. 故选：B 5. 函数在上的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出函数的奇函数，再利用导数判断出函数在上的单调性，求出的值，即可得答案. 【详解】解：因为，， 所以， 所以函数为上的奇函数； 当时， ， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又因为， 故只有A选项才满足. 故选：A. 6. 若函数的图象关于点对称，则实数a的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由列方程，化简求得的值. 【详解】依题意，函数的图象关于点对称， 所以，即， 即， 即恒成立， 所以，解得. 故选：C 7. 若函数存在两个不同的零点，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究的单调性，由此列不等式组求得的取值范围. 【详解】函数的定义域是， ， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因为，且， 所以要使函数存在两个不同的零点， 则需，解得. 故选：B 8. 已知为定义在上的偶函数，且当时，，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用函数的单调性与奇偶性来解不等式的解集. 【详解】设，对求导得：， 已知当时，，则时，， 所以在上单调递增. 因为是偶函数，即， 则 所以是奇函数，在也单调递增， 已知，则，由奇函数性质得， 分情况解不等式 当时，即， 因为在上递增，所以， 当时，即， 因为在上递增，所以， 综上，不等式得解集为 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列不等关系成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据幂函数、指数函数和对数函数性质逐一分析判断即可 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，又， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以，故D错误. 故选：AC 10. 若函数在处取得极大值，则（ ） A. B. C. 为的一个增区间 D. 的极小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据极值点处导数值为0求解，可判断AB，利用导数研究函数的单调性和极值即可判断CD. 【详解】因为， 所以， 因为函数在处取得极大值， 所以，解得或， 当时，， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以当时，取极小值，不是极大值，不符合题意． 当时，， 当或时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以当时，取极大值，符合题意． 综上，，故A正确，B错误； 由上可知，，为的一个增区间， 的极小值为，故CD正确， 故选：ACD. 11. 定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 的图象在处的切线方程为 C. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10 D. 的图象与直线恰有一个公共点，则实数 【答案】BCD 【解析】 【分析】先判断函数的对称性，周期性，对A，利用周期可得；对B，求出表达式，然后求导计算；对C，作出两个函数图象判断即可；对D，作出图形，然后分情况讨论，利用导数计算判断. 【详解】由函数为上的奇函数，所以， 由，所以函数关于对称，且，则，所以4为函数的一个周期. 对A，，则，，所以， 由当时，，所以，错误； 对B，由A可知：当时，，所以当时，， 所以当时，，则， ，， 所以函数的图象在处的切线方程为，即，正确； 对C，作出函数与图象， 函数图象关于对称，当时，图象共有5个交点，由为奇函数，所以当时，图象也有5个交点，所以图象所有交点的横坐标之和为10，正确； 对D，如图： 当时，；当时，， 当为图中情况，，，令，， 所以切点为，所以； 当为图中情况，，，令，， 所以切点为，所以； 所以函数的图象与直线恰有一个公共点，则实数，正确。 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，分别为定义在上的偶函数、奇函数，且满足，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据函数奇偶性得，再结合题设求出函数解析式结合指数、对数运算性质即可求解. 【详解】因为， 所以，即， 所以，即， 所以. 故答案为： 13. 若实数满足，则称为函数的一个“二阶不动点”．给定函数，则其所有“二阶不动点”的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义解方程可得“二阶不动点”，然后求和即可. 【详解】时，，，则，满足题意； 时，，，则，满足题意； 时，，，则，满足题意； 时，，，则，满足题意， 所以的“二阶不动点”有：，和为， 故答案为：. 14. 已知正实数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】整理等式构造函数，利用导数求得函数的单调性，从而化简等式，根据所得等量关系，整理代数式的函数解析式，利用导数求得最值. 【详解】由，则， 令，求导可得，令， 求导可得，由得，由得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故函数在上单调递增， 由，则，即， 令， 求导可得， 由得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若对任意的，都有，求实数m的取值范围． 【答案】（1）单减区间为，的单增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出定义域，方法一：利用导数求解函数的单调性即可；方法二：利用复合函数的单调性法则：同增异减来进行求解； （2）将恒成立问题，转化为最值问题来求解即可． 【小问1详解】 令，解得或． （法一）， 令，得，结合的定义域，得． 令，得，结合的定义域，得． 综上，单减区间为，的单增区间为． （法二）令，， 在其定义域内为增函数， 的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线， 所以，当时，单调递减，当时，单调递增． 由复合函数单调性性质，当时，单调递减，当时，单调递增， 综上，单减区间为，的单增区间为． 【小问2详解】 由题意． 由（1）知，当时，单增，所以． 于是，即，解得，故m的取值范围为． 16. 定义在上的函数满足，，且时，． （1）判断并证明的奇偶性； （2）求关于t的不等式的解集． 【答案】（1）奇函数，证明：令，可得，所以． 令，可得，所以． 又的定义域为，图象关于原点对称，故为奇函数． （2） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法整理化简等式，根据奇偶函数的定义，可得答案； （2）利用函数单调性的定义证明函数的单调性，根据单调性以及题意化简不等式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 任取，，且，则， 于是， 因为，所以，由题意， 又为奇函数，所以， 所以，即，在上单调递减． 因为为奇函数，所以在单调递减，所以在上单调递减． 由，可知． 所以不等式， 等价于， 所以，解得．所以，原不等式的解集为． 17. 如图，某地计划在海中建设一风力发电站A，其离岸距离，与AC垂直的海岸线BC上有一升压站B，且．现要铺设一条电缆将A站的电力传输到B站，点P为海岸线BC上一点，线段AP，PB分别表示在海中、海岸线上铺设电缆的路线．假设海中铺设电缆的费用为m万元/千米（m为给定正数），海岸线上铺设电缆的费用为万元/千米，CP的长度为x千米． （1）求铺设电缆总费用y关于x的函数关系式； （2）当CP的长度为何值时，铺设电缆总费用最小？求出最小费用． 【答案】（1），其中 （2）当CP的长度为9公里时，铺设电缆的费用最低，最低费用为万元 【解析】 【分析】（1）分别用表示出，的长度，结合电缆价格可得关于的函数关系式. （2）利用导数分析函数的单调性，可求函数的最小值及函数取最小值时所对应的值. 【小问1详解】 由已知，， 所以，其中． 【小问2详解】 ， 令，得， 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，y取最小值．此时． 答：当CP的长度为9公里时，铺设电缆的费用最低，最低费用为万元． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线切线斜率的最小值； （2）若有两个不同的极值点，． （i）求a的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）代入，求导，然后继续求导判断； （2）（i）对求二阶导，分，，讨论判断；（ii）依据题意得到，代入，对证明的式子两边取自然对化简为，然后换元，求导即可. 【小问1详解】 当时，，． 令，则， 令，解得． 当时，，单减；当时，，单增． 所以，当时，取得极小值也是最小值， 所以，曲线切线斜率的最小值为． 【小问2详解】 （i），则， 若有两个不同的极值点，则在上存在两个变号零点． 令． 当时，，单增，此时至多存在一个零点，舍去． 当时，．当时，，单增，当时，，单减．所以，当时，取极大值． 令，则，所以时，，单减， 当时，单增，所以存在极小值也是最小值． 所以，对，恒有的极大值． 当时，，的图象在连续不断， 由零点存在定理，存在，使得．当时，， 同理，存在，使得． 所以，对，在上存在两个不同的变号零点． 综上，a的取值范围为． （ii）不妨设，是的两个零点，且， 则，， 两式相减得：，两式相加得：， 于是要证，只需证，只需证， 即证，即证（*）． 事实上，令，，， 所以，所以不等式（*）成立，所以原不等式成立． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，且与有相同的最小值． （i）求a的值； （ii）已知，，且，求证：． 【答案】（1）答案见解析 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由函数解析式求导，利用导数与函数单调性的关系，根据分类讨论思想，可得答案； （2）（i）利用导数求得函数的最值，整理方程并构造函数，利用导数求得新函数的单调性，根据方程与函数的关系，可得答案；（ii）由题意整理方程并构造函数，利用导数分别求得两个新函数的单调性与最值，再根据不等式性质，可得答案. 【小问1详解】 依题意， 当时，，在上单调递增． 当时，令得，，即． 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 （i）由（1）知，当时，时取得最小值． ，当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 所以，当时取得极小值即最小值． 由题意可知，，即， 令，则， 令，， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以取得最小值， 所以在上恒成立，所以在上单增， 又，所以； （ii）因为，所以， 即． 令，则， 可知在时取得最大值0，所以，即， 所以，当且仅当时，“＝”成立． 令，则，当时，，单调递减． 所以，当时，，， 由，得． 当时，显然， 综上，，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $