山东省烟台市2023-2024学年高二下学期期末学业水平诊断数学试题

高二数学试题（第1页，共4页） 2023～2024 学年度第二学期期末学业水平诊断 高二数学 注意事项： 1.本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟。 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3.使用答题纸时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答 题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求。 1.从6 名大学毕业生中任选3名去某中学支教，不同选派方法的总数为 A.12 B.18 C.20 D.120 2.已知等差数列{ }na 的前n项和为 nS ，若 1 2a = ， 3 12S = ，则 8S = A.36 B.45 C.72 D.90 3.已知曲线 2( ) lnf x ax x= + 在点 (1, (1))f 处的切线与 x 轴相交于点 1( ,0) 3 ，则实数a = A. 2− B. 1− C.1 D.2 4.已知等比数列{ }na 的前n项和 12nnS λ += − ，则λ = A. 1− B.1 C. 2− D.2 5.中心极限定理在概率论中应用广泛.根据该定理，若随机变量 ( , )B n pξ : ，当 n 充分大时， ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似替代，且η的均值、方差分别与随机变量ξ的均值、 方差近似相等.某射手对目标进行400 次射击，且每次射击命中目标的概率为 4 5 ，则估计射击 命中次数小于336的概率为 附：若 2( , )Nη µ σ: ，则 ( ) 0.6827P µ σ η µ σ− ≤ ≤ + = ， ( 2 2 ) 0.9545P µ σ η µ σ− ≤ ≤ + = ， ( 3 3 ) 0.9973P µ σ η µ σ− ≤ ≤ + = . A.0.9987 B.0.9773 C.0.8414 D.0.5 6.已知函数 3 2 1( ) 3 f x x ax x= + + 在 (0, )+∞ 上单调递增，则实数a的取值范围为 A. ( , 1]−∞ − B.[ 1,1]− C.[1, )+∞ D.[ 1, )− +∞ 高二数学试题（第2页，共4页） 7.某产品只有一等品、二等品，现随机装箱销售，每箱15件.假定任意一箱含二等品件数为 0,1,2 的概率分别为0.7,0.2,0.1.一顾客欲购一箱该产品，开箱随机查看其中1件，若该件 产品为一等品，则买下这箱产品，否则退回，则该顾客买下这箱产品的概率为 A. 13 15 B. 33 35 C. 73 75 D. 154 175 8.已知 1a > − ，b∈R ，且 1e 1 a b b a − + > + ，则下列结论一定成立的是 A. 1a b− > − B. 1a b− < − C. 1a b+ > − D. 1a b+ < − 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9.某弹簧振子在振动过程中的位移 y （单位：mm）与时间 t（单位：s）之间的函数关系为 12sin( ) 3 2 y tπ π= − ，则 A. 3st = 时，弹簧振子的位移为12 mm B. 3st = 时，弹簧振子的瞬时速度为0 mm / s C. 3st = 时，弹簧振子的瞬时加速度为 2 24 mm / s 3 π D. 1.5st = 时，弹簧振子的瞬时速度为4π mm / s 10.已知某两个变量 ,x y 具有线性相关关系，由样本数据 ( , )( 1,2, ,10)i ix y i = L 确定的样本经 验回归方程为 2 3.7y x= − + ，且 5x = .若剔除一个明显偏离直线的异常点 (14, 9)− 后，利 用剩余9组数据得到修正后的经验回归方程为 0.4y bx= + ，由修正后的方程可推断出 A.变量 ,x y 的样本相关系数为正数 B.经验回归直线恒过 (4, 6)− C. x 每增加1个单位， y 平均减少1.6个单位 D.样本数据 (2, 3)− 对应的残差的绝对值为0.2 11.设数列{ }na 满足下列条件： {0,1}( 1,2, , )ia i n∈ = L ，且当 2i ≥ 时， 1 0i ia a − = .记项数 为m 的数列{ }na 的个数为 mt ，则下列说法正确的有 A. 2 3t = B. 3 6t = C. 1 1 ( 2)n n nt t t n+ −= + ≥ D. 2024 2 2 1 1 ( ) 1i i i i t t t+ + = − =∑ 高二数学试题（第3页，共4页） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12. 5(1 2 )x− 展开式中含 3x 项的系数为 . 13.若曲线 1( ) lnf x x x = 与 2( )g x ax= 总存在关于原点对称的点，则 a 的取值范围为 . 14.南京大学 2023 年的本科生录取通知书用科赫曲线的数学规律鼓励新生成为独一无二的自 己，还附赠“科赫雪花”徽章，意在有限的生命中，创造无限可能.科赫曲线的作法是：从 一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三 角形，再去掉底边，反复进行这一过程.下图展示的分别是1阶、2阶、3阶、4阶科赫曲 线，设1阶科赫曲线的周长为 L，则n阶科赫曲线的周长为 ；若n阶科赫曲线围成 的平面图形的面积为 nS ，且满足 *( )nS T n< ∈N ，则T 的最小值为 .（本小题第一 空 2分，第二空 3分） 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）某高中在高二年级举办创新作文比赛活动，满分100分,得分80及以上者获奖. 为了解学生获奖情况与选修阅读课程之间的关系，在参赛选手中随机选取了50名学生作为 样本，各分数段学生人数及其选修阅读课程情况统计如下： 成绩 [0,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 学生人数 6 10 24 7 3 选修阅读课程人数 0 3 9 5 3 （1）根据以上统计数据完成下面的2 2× 列联表，依据 0.005α = 的独立性检验，能否 认为学生获奖与选修阅读课程有关联； （2）在上述样本的获奖学生中随机抽取3名学生，设3人中选修阅读课程人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望. 参考公式： 2 2 ( )= ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d χ − + + + + ，其中n a b c d= + + + . α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 获奖 没有获奖 合计 选修阅读课程 不选阅读课程 合计 高二数学试题（第4页，共4页） 16.（15 分）已知函数 2( ) ( 1)e ( )xf x x ax a= + + ∈R . （1）当 2a = − 时，求过点 (1,0) 且与 ( )f x 图象相切的直线的方程； （2）讨论函数 ( )f x 的单调性. 17.（15 分）已知数列{ }na 是等差数列，且 2 1a = − ，数列{ }nb 满足 1n n nb b a−− = ( 2n ≥ ， )n ∗∈N ，且 1 3 1b b= = . （1）求数列{ }nb 的通项公式； （2）将数列{ }na ，{ }nb 的所有公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列{ }nc ，求数列 { }nc 的通项公式； （3）设数列 1{ } nc 的前n项和为 nT ，证明： 5 4n T < . 18.（17 分）一个不透明的袋子中装有大小形状完全相同的6 个小球，其中3个黑球、3个白 球.现从袋中随机逐个抽取小球，若每次取出的是黑球，则放回袋子中，否则不放回，直至 3个白球全部取出. （1）求在第2次取出的小球为黑球的条件下，第1次取出的小球为白球的概率； （2）记抽取3次取出白球的数量为 X ，求随机变量 X 的分布列； （3）记恰好在第n次取出第二个白球的概率为 nP ，求 nP . 19.（17分）已知函数 ( ) ( 1) ln 1( )f x a x x x a= + + − ∈R 存在两个不同的极值点. （1）求a的取值范围； （2）设函数 ( )f x 的极值点之和为m ，零点之和为n，求证： 5m n+ > . 2023~2024学年度第二学期期末学业水平诊断 高二数学参考答案及评分标准 一、选择题 CCAD BDCA 二、选择题 9.ABD 10.BCD 11.AC 三、填空题 12.-80 13.(-0, 2 4 四、解答题 15.解：(1)根据已知条件，可得： 获奖 没有获奖 合计 选修阅读课程 8 12 20 不选阅读课程 2 28 30 合计 10 40 50 小…3分 零假设为H。：创新作文比赛获奖与选修阅读课程无关联， 根据列联表中数据计算得到， x2-50x8×28-2x12y25 8.333>7.879 …6分 20×30×10×40 3 根据小概率值α=0.005的独立性检验，推断H,不成立，即认为创新作文比赛获奖与 选修阅读课程有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. …7分 (2)由题意可知X的可能取值为1,2,3，则 …8分 P(X=1)= C05'PX=2)= CC 7 15 P(X=3)= C7 C%15 小…1分 所以，随机变量X的分布列为： X 1 2 3 1 7 7 15 1 7 、712 所以E(X)=1×,+2×,+3 4…13分 15 15 155 16.解：(1)当a=-2时，f(x)=(x2-2x+10e,所以f(x)=(x2-1)e.…1分 设切点为(x,y),则=(x2-2x+1)e,k=(x-1)e, 高二数学答案（第1页，共4页） 所以，切线方程为y-(x-2x+1)e=(x-1)e(x-x). …3分 将(1,0)代入得(x。-1)x。=0,解得x=0或x。=1. …5分 故过(1,0)的切线方程为y=0或x+y-1=0.… …7分 (2)f'(x)=(2x+a)e+(x2+ar+1)e=(x+a+1)(x+1)e. …8分 当a=0时，∫'()=(+1)2e,恒有f'(x)≥0，函数f(x)单调递增.…10分 当a>0时，-a-1<-1,当x∈(-o,-a-1),或x∈(-1，+o)时，f'(x)>0,函 数f(x)单调递增，当x∈(-a-1,-1)时，f'(x)<0,函数f(x)单调递减.…12分 当a<0时，-a-1>-1,当x∈(-o,-l),或x∈(-a-1,+o)时，f'(x)>0,函数 f(x)单调递增，当x∈(-L,-a-1)时，f"(x)<0,函数f(x)单调递减. …14分 综上，当a=0时，f(x)在R上单调递增，当a>0时，f(x)在(-o,-a-1),(-1,+o) 上单调递增，在(-a-1,-1)上单调递减，当a<0时，f(x)在(-0，-l),(-a-1,+o) 上单调递增，在(-1，-a-1)上单调递减. …15分 17解：(1)由题意可知，b2-b=a2,即b2-1=-1,故b2=0.…1分 由b-b=a3,可得a3=1. ……2分 所以数列{an}的公差d=2,所以an=-1+2(n-2)=2n-5. …3分 b-b=an ba-1-b-2=a,62-b=az 叠加可得b。-b=a2+a3+…+an= (n-1)(-1+2n-5) 2 整理可得b。=n2-4n+4(n≥2)：当n=1时，满足上式， 所以bn=n2-4n+4… …5分 (2)不妨设a.=b(m,n∈N),即2m-5=(m-2},可得m=-2+5 …6分 2 当n=2k时，m=2k2一4k+号，不合题意， 当n=2k-1时，m=2k2-6k+7=2k(k-3)+7∈N,…7分 所以b2-1在数列{an}中均存在公共项， 又因为h=b<b<b<…,所以Cn=b1=(2n-1)2.…9分 (3)当n=1时，T=1<二，结论成立， …10分 当n≥2时， 1 1L-马 …12分 c.(2n-1)2(2n-2)×2n4n-1n 高二数学答案（第2页，共4页） 1 所以T<1+一(1- 一十 5+…+_11 1,11 4335n-1n 1、515 =1+(0-5)= 4 44n4 5 综上，T,<4 …15分 18.解：(1)记事件A=“第2次取出的小球为黑球”：事件B=“第1次取出的小球为白球”， 则0=22号 …2分 P(AB)= 3、3-3 所以PB1)=PAB_6 小…4分 6510 P(A)11 (2)由题意，X的可能取值为0,1,2,3，则 …5分 3331 PX=0)=3x2x 6668 333,33333391 PX==6**+6*6*56*6*6200 323,332,33237 P(X=2)=2× 654655665100 P(X=3)=二× 3.2.11 65420 所以，随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 1 91 37 1 P P 200 100 20 …10分 (3)由题意可知，前n一1次取了一个白球，第n次取了第二个白球，则： =2x白+2x2x++xx3 3 3 2 12分 6 661 65 32 3 3 )-3x2+(2-21 65 6 1 5 白)”2+ 02+()-21 6 1 =2×2-]n≥2，neN) …16分 所以p=2×[G②-（分门n22,n∈N). …17分 19.解：(1)函数f(x)定义域为(0，+o), f(x)=alnx+a(x+D).+1-a(x+*+)+I. …1分 高二数学答案（第3页，共4页） 显然a≠0，令f")=0,可得nx+x+l-1 令1()=nx+x+1,由)有两个不同极值点得()=-1有两个不同的正根.3分 因为=1↓-x-1 当x∈(0，I)时，t'(x)<0,t(x)单减，x∈(L,+oo)时， f'(x)>0,t(x)单增. …5分 所以t(x)的极小值即最小值t①)=2，又当x→0时，t(x)→+0，且x→+0时， )→，所以-启2，即-a<0 …6分 (2)设x,x2为函数f(x)的极值点，由(1)，不妨设x<1<x2,下证x+x2>2. 要证：x2>2-x>1,只要证t(x2)>t(2-x). 令g(x)=t(x)-1(2-x)0<x<l) …8分 因为gx)=1)+12-)=+1-x=4r- x2(2-x)2x2(2-x7 <0 …10分 所以g(x)在(0,1)上单调递减，所以g(x)>g()=0, 故(x)>(2-),即x+x2>2。 …11分 由(1)可知，在(0，x)上，f()=a()+马<0，f)单调递减，在(：，x) 上，f'(x)>0,f(x)单调递增，在(2，+o)上，f'(x)<0,f(x)单调递减， 又因为f)=0,所以f(x)<fI)=0 因为-}<a<0,所以日-2，所以e<e2<1 f(e)=a(e +1)Inea +ea-1=2ea >0, 所以f(x)在(e“,x)上存在点x,使得f(x)=0, …13分 同理f)>f0=0,又-1>2，e>e>1, a f(e a)=a(e 4+1)Ine a+e-1=-2<0 所以f(x)在(2，c)上存在点4，使得f(x)=0, …14分 故f(x)存在3个零点x,1,x4, 注意到/白=a(+h上+-1=-ax+Dnx+x-少=-上f, ·15分 所以。=所以x+无=无+>2。 …16分 所以x+x3+x+x4+1>5,即m+n>5. …17分 高二数学答案（第4页，共4页）