2025年江苏省常州市东青实验学校中考数学模拟试卷

2025年江苏省常州市东青实验学校中考数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.的值为（ ） A. B. C. D.2 2.若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4.大量事实证明，治理垃圾污染刻不容缓．据统计，全球每分钟约有8500000吨污水排入江河湖海，这个排污量用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5.如图，在中，点分别是的中点，若的面积为4，则的面积为（ ） A.16 B.12 C.10 D.8 6.下列命题中，正确的命题是（ ） A.度数相等的弧是等弧 B.正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 C.垂直于弦的直径平分弦 D.三角形的外心到三边的距离相等 7.如图，在等腰Rt△ABC中，直角边AB＝AC＝1，D为BC的中点，E为AB边上的动点，DF⊥DE交AC于点F，M为EF的中点，当点E从点B运动到点A时，点M所经过的路线长为（ ） A. B. C. D. 8.如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（ ） A.1 B.2－1 C. D.－1 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9.计算：＝______． 10.的平方根是______． 11.分解因式：______． 12.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin A＝______． 13.已知关于x的一元二次方程的一个根是3，则另一个根是______． 14.若一个圆锥的底面半径为3，侧面展开图面积为15，则该圆锥的母线长是______． 15.已知a＋2b＝，3a＋4b＝，则a＋b的值为______． 16.一个样本为1，3，2，2，a，b，c，已知这个样本的众数为3，平均数为2，则这组数据的中位数为______． 17.如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是______． 18.如图，中，，，，是线段上的一个动点，以为直径画分别交，于，，连接，则线段长度的最小值为______． 三、解答题：本题共10小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19.（本小题6分）先化简，再求值：，其中． 20.（本小题8分）（1）解方程：； （2）解不等式组：． 21.（本小题8分）为了取得扶贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为、、、四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题： （1）求样本容量； （2）补全条形图，并填空：； （3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？ 22.（本小题8分）某商场举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋子中有2个黑球和2个红球，这些球除颜色外都相同．顾客每次摸出一个球，若摸到黑球，则获得1份奖品；若摸到红球，则没有奖品． （1）如果小芳只有一次摸球机会，那么小芳获得奖品的概率为______； （2）如果小芳有两次摸球机会（摸出后不放回），求小芳获得2份奖品的概率． 23.（本小题8分）平行四边形中，过点作于点，点在上，，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，，求矩形的面积． 24.（本小题8分）今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10件，问每件涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？ 25.（本小题8分）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆的高度，沿旗杆正前方米处的点出发，沿斜面坡度的斜坡前进4米到达点，在点处安置测角仪，测得旗杆顶部的仰角为，量得仪器的高为1.5米．已知、、、、在同一平面内，，．求旗杆的高度．（参 考数据：，，．计算结果保留根号） 26.（本小题10分）已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，与x轴负半轴交于点D，， （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，求点C的坐标． 27.（本小题10分）如图，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标； （2）求△BCM面积与△ABC面积的比； （3）若P是x轴上一个动点，过P作射线交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 28.（本小题10分）[初步尝试] （1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为______； [思考说理] （2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值； [拓展延伸] （3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B'处，折痕为CM． ①求线段AC的长； ②若点O是边AC的中点，点P为线段OB'上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A'PM，点A的对应点为点A'，A'M与CP交于点F，求的取值范围． 答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：． 故选：B． 根据实数的绝对值的意义解答即可． 此题主要考查绝对值，掌握实数的绝对值的意义是解题的关键． 2.【答案】B 【解析】解：依题意得：， 解得． 故选：B． 分式有意义时，分母，由此求得的取值范围． 本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零． 3.【答案】A 【解析】解：从几何体的上面看可得， 故选：A． 找到从几何体的上面所看到的图形即可． 此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置． 4.【答案】B 【解析】解：， 故选：B． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 5.【答案】A 【解析】解：∵点、分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为16， 故选：A． 根据相似三角形的性质即可求出答案． 本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． 6.【答案】C 【解析】解：、完全重合的两条弧是等弧，错误； 、正五边形不是中心对称图形，错误； 、垂直于弦的直径平分弦，正确； 、三角形的外心到三个顶点的距离相等，错误； 故选：． 根据等弧或垂径定理，正多边形的性质一一判断即可； 本题考查命题和等弧，正多边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7.【答案】B 【解析】解：如图，过点作，， ∵是边中点， ∴， 同理：， ∵， ∴． ∴四边形为正方形， ∴． ， ， ． ． 在和中， ， ． ． 为等腰直角三角形， 当点从点运动到点时，的中点所经过的路径为，中点的连线， 即所经过的路径为， ，， ， 的中点所经过的路径长为． 故选：． 过点作，，如图，证明四边形为正方形，再证明推出．为等腰直角三角形，可得结论． 本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 8.【答案】D 【解析】解：当点运动到的延长线上时，即如图中点，是的中点， 当点在线段上时，是中点，取的中点为， 点的运动路径是以为圆心，以为半径的圆（，则点轨迹和点轨迹相似，所以点的轨迹就是圆），当、、共线时，的长最小， 设线段交于， 中，，， ， 的半径为2， ，， 是的中点， ，， 是的中点， ， ，即的半径为1， ， ， ， 方法二：如图，取，连接． 根据三角形中位线定理可知：，求出的最小值即可解决问题． 故选：． 确定点的运动路径是：以为圆心，以为半径的圆，当、、共线时，的长最小，先求的半径为1，说明是的中点，根据直角三角形斜边中线是斜边一半可得，所以的最小值是． 本题考查了图形与坐标的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、圆的性质、两点之间线段最短，确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点． 9.【答案】8 【解析】解：原式， 故答案为：8. 利用有理数的乘方法则，零指数幂计算后再算减法即可． 本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 10【答案】 【解析】解：因为， 所以的平方根是， 故答案为： 根据平方根的意义即可得出答案． 本题考查平方根的意义，理解平方根的意义是得出正确答案的前提． 11【答案】 【解析】解：原式， 故答案为：． 根据提公因式，可得完全平方公式，根据完全平方公式，可得答案． 本题考查了因式分解，先提取公因式2，再利用和的平方公式． 12【答案】 【解析】【分析】 此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦定义．根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A，可代入数计算出答案． 【解答】 解：∵，，， ∴， 故答案为：． 13【答案】 【解析】解：把方程的一个根3代入方程有： ， 解得； 设方程的另一个根是，则： 3＋＝2， 解得＝－1. 即另一个根是－1. 故答案为：－1. 把方程的一个根3代入方程得到关于k的方程，解方程求出k的值．根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根． 本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系；把方程的解代入方程求出字母系数k的值是解决问题的关键． 14.【答案】5 【解析】解：设该圆锥的母线长为l， 根据题意得，解得l＝5. 即该圆锥的母线长为5. 故答案为5. 设该圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式得到，然后解关于l的方程即可． 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 15.【答案】1 【解析】解：a＋2b＝①，3a＋4b＝②， ②－①得2a＋2b＝2， 解得a＋b＝1. 故答案为：1. 用方程3a＋4b＝减去a＋2b＝，即可得出2a＋2b＝2，进而得出a＋b＝1. 此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键． 16.【答案】2 【解析】【分析】 本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 因为众数为3，表示3的个数最多，因为2出现的次数为二，所以3的个数最少为三个，则可设a，b，c中有两个数值为3.另一个未知数利用平均数定义求得，从而根据中位数的定义求解． 【解答】 解：因为众数为3，可设a＝3，b＝3，c未知， 平均数， 解得c＝0， 将这组数据按从小到大的顺序排列：0、1、2、2、3、3、3， 位于最中间的一个数是2，所以中位数是2， 故答案为2. 17.【答案】或． 【解析】解：∵抛物线与直线交于，两点， ∴，， 如图，设抛物线与直线交于P、Q两点， ∴抛物线与直线交于，两点， 观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的下方， ∴即的解集为或． 故答案为：或． 观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论． 本题考查了二次函数与不等式，根据观察两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 18.【答案】 【解析】【分析】 本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形． 由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短，此时线段，因此当半径最短时，最短，连接，，过点作，垂足为，在中，解直角三角形求直径，由圆周角定理可知，在中，解直角三角形求，由垂径定理可知． 【解答】 解：由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短， 如图，连接，，过点作，垂足为， ∵在中，，， ∴，即此时圆的直径为2， 由圆周角定理可知， ∴在中，， 由垂径定理可知． 19【答案】解：原式 ， ∵， ∴原式． 【解析】根据整式的运算法则进行化简，然后将的值代入即可求出答案． 本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 20.【答案】；． 【解析】（1）， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是； （2）， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是． （1）方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可； （2）分别解不等式①、②，然后找出它们的公共部分即可． 本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． 21.【答案】（1）样本容量为； （2）补全图形如下： 10； （3）估计本次测试成绩为A级的人数为（人 ）， 答：估计本次测试成绩为A级的人数为2000人． 【解析】解：（1）见答案； （2）C等级人数为60－（24＋18＋6）＝12人，， 补全图形如下： 故答案为：10； （3）见答案． 【分析】 （1）用B等级人数除以其所占百分比可得； （2）总人数减去A、B、D人数求得C的人数即可补全条形图，用D等级人数除以总人数可得n的值； （3）总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可得． 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22.【答案】 【解析】解：（1）∵袋子中有2个黑球和2个红球， ∴只摸1次，摸到黑球的概率是：， ∴小芳获得奖品的概率为； 故答案为：； （2）根据题意画图如下： 共有12种等情况数，其中小芳获得2份奖品的有2种， 则小芳获得2份奖品的概率是． （1）直接根据概率公式即可得出答案； （2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，再找出小芳获得2份奖品的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 23【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴， ∴矩形的面积＝． 【解析】（1）根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定． （2）首先证明，求出即可解决问题． 本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 24【答案】解：设应将每件涨价x元，则每天可售出个， 依题意，得：， 化简，得：， 解得：，． 又∵要让顾客得到实惠， ∴． 答：应将每件涨价2元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元． 【解析】设应将每件涨价x元，则每天可售出个，根据总利润＝每个的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 25.【答案】解：如图，延长ED交BC延长线于点F，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 过点E作EG⊥AB于点G， 则，， 又∵， ∴， 则， 故旗杆AB的高度为米． 【解析】延长ED交BC延长线于点F，则，Rt△CDF中求得、，作EG⊥AB，可得、，再求出可得答案． 本题主要考查解直角三角形的应用－仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握仰角俯角和坡度坡比的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键． 26.【答案】解：过点B、A作BM⊥x轴，AN⊥x轴，垂足为点M，N， （1）在Rt△BOM中，OB＝，． ∵BM＝1，OM＝2， ∴点B（－2，－1）， ∴k＝（－2）×（－1）＝2， ∴反比例函数的关系式为y＝； （2）∵， ∴OD＝2AN， 又∵△ANC∽△DOC， ∴， 设AN＝a，CN＝b，则OD＝2a，OC＝2b， ∵， ∴ab＝①， 由△BMD∽△CNA得， ∴，即，也就是a＝②， 由①②可求得b＝1，b＝（舍去）， ∴OC＝2b＝2， ∴点C（0，2）． 【解析】本题考查一次函数与反比例函数综合题，涉及到反比例函数系数k的几何意义，相似三角形判定和性质以及三角形面积等知识点，理解反比例函数k的几何意义是列方程的关键． （1）根据OB＝，，可求出点B的坐标，进而确定反比例函数的关系式； （2）利用，可得OD＝2AN，再根据相似三角形的性质，设AN＝a、CN＝b，表示出OD、OC，最后根据三角形OAN的面积为，列方程求出b的值即可． 27.【答案】方法一： 解：（1）设抛物线解析式为， ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴． （2）如图1，连接、、，作轴于， ∵ ＝ ＝ ， ∴． （3）存在，理由如下： ①如图2，当在轴下方时，作轴于， ∵四边形为平行四边形， ∴与平行且相等， ∴， ∴， ∴， 解得或（与点重合，舍去）， ∴． ②如图3，当在轴上方时，作轴于， ∵四边形为平行四边形， ∴与平行且相等， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴或． 综上所述，点为或或 方法二： （1）同方法一． （2）连接、、，作轴于，交于， ，， ， 当时，， ， ， ， （3） ， 当时，、、、为顶点的四边形为平行四边形，即， 设， ， ①，解得：，， ②，解得：，， 综上所述，点为或或． 【解析】方法一： （1）由抛物线与轴交于点，两点，则可设抛物线解析式为．由与轴交于点，则代入易得解析式，顶点易知． （2）求面积与面积的比，由两三角形不为同高或同底，所以考虑求出两三角形面积再作比即可．因为，，则结论易得． （3）由四边形为平行四边形，则对边、平行且相等，过点作轴的垂线易得到轴的距离，又由（1）得抛物线解析式，代入即得点横坐标，则点可求． 方法二： （1）略． （2）由于、、三点坐标已知，易求面积，利用水平底与铅垂高乘积的一半可求出的面积，从而得到面积比． （3）因为，所以只需即可，求出的参数长度便可列式求解． 本题考查了二次函数图象与性质、平行四边形及坐标系中求不规则图形面积等基础考点，难度适中，适合学生练习． 28.【答案】解：（1）； （2）如图②中， ， ， 由题意垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）①如图③中， 由折叠的性质可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②如图③－1中， ，，， ， ， ， ， 点在线段上运动，，， ， ． 【解析】解：（1）如图①中， 折叠，使点与点重合，折痕为， 垂直平分线段， ， ， ， ， ． 故答案为． （2）见答案； （3）见答案． （1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． （2）利用相似三角形的性质求出，即可． （3）①证明，推出，由此即可解决问题． ②证明，推出，因为，推出即可解决问题． 本题属于几何变换综合题，考查了翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 学科网（北京）股份有限公司 $$