9.5统计与成对数据的统计分析专项训练-2026届高三数学一轮复习

9.5　统计与成对数据的统计分析 考点1　抽样方法与总体分布的估计 1.样本数据2,8,14,16,20的平均数为 (　　) A.8　　B.9　　C.12　　D.18 2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图: 则 (　　) A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 3.为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如图所示的频率分布直方图: 根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是 (　　) A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 4.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得下表: 亩产量 [900, 950) [950, 1 000) [1 000, 1 050) [1 050, 1 100) [1 100, 1 150) [1 150, 1 200) 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据,下列结论中正确的是 (　　) A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 5.(多选)有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则 (　　) A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同 C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同 6.(多选)下列统计量中可用于度量样本x1,x2,…,xn离散程度的有 (　　) A.x1,x2,…,xn的标准差　　 B.x1,x2,…,xn的中位数 C.x1,x2,…,xn的极差　　 D.x1,x2,…,xn的平均数 7.(多选)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则 (　　) A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数 B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数 C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差 D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差 8.某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如表: 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和,样本方差分别记为和. (1)求,,,; (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高如果-≥2,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著 提高. 9.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图: 利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c); (2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值. 考点2　变量间的相关关系 1.鸢是鹰科的一种鸟,《诗经·大雅·旱麓》曰“鸢飞戾天,鱼跃于渊”.鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名(图1),寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样,收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度(单位:cm),绘制对应散点图(图2). 计算得样本相关系数为0.864 2,利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为= 0.750 1x+0.610 5.根据以上信息,如下判断正确的为 (　　) A.花萼长度与花瓣长度不存在相关关系 B.花萼长度与花瓣长度负相关 C.花萼长度为7 cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为5.861 2 cm D.若选取其他品种鸢尾花进行抽样,所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为0.864 2 2.某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得xi=60,yi=1 200,(xi-)2=80,(yi-)2= 9 000,(xi-)·(yi-)=800. (1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘地块数); (2)求样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01); (3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由. 附:相关系数r=,≈1.414. 考点3　独立性检验 1.为研究某疾病与超声波检查结果的关系,从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人,得到如下列联表: 　　　 超声波检查结果 组别　　　　　　　 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p,求p的估计值; (2)根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附: χ2=, P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . 2.为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位:μg/m3),得下表: 　　　SO2 PM2.5　 [0,50] (50,150] (150,475] [0,35] 32 18 4 (35,75] 6 8 12 (75,115] 3 7 10 (1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率; (2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表: 　　SO2 PM2.5　　 [0,150] (150,475] [0,75] (75,115] (3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关. 附:K2=, P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . 练速度 1.已知4个不全相等的正整数的平均数与中位数都是2,则这组数据的极差为 (　　) A.4　　B.3　　C.2　　D.1 2.某普通高中高二年级学生参加体育学业水平考试立定跳远项目模拟测试,甲、乙两位同学连续5次的测试数据如下表(单位:cm): 甲 210 220 216 220 230 乙 215 212 216 223 249 下列说法错误的是 (　C　) A.甲同学测试数据的众数为220 B.乙同学测试数据的极差为37 C.甲同学测试数据的80%分位数为220 D.乙同学测试数据的平均数为223 3.已知数据x1,x2,…,xn的方差s2=0,则 (　　) A.=n　　B.=n　　 C.xi=0　　D.=0 4.某完全中学有初中生600名,高中生200名,为保障学生的身心健康,特举办了“校园安全知识”竞赛.现按分层随机抽样的方法,分别抽取初中生m名,高中生n名,经统计,这(m+n)名学生的平均成绩为74分,其中m名初中生的平均成绩为72分,n名高中生的平均成绩为x分,则x=　 (　　) A.74　　B.76　　C.78　　D.80 5.某批产品检验后的评分,由统计结果制成如图所示的频率分布直方图,下列说法中正确的是 (　　) A.a=0.05 B.评分的众数估值为70 C.评分的第25百分位数估值为67.5 D.评分的平均数估值为76 6.某班级有30名男生和20名女生,现调查学生周末在家学习时长(单位:小时),得到男生样本数据的平均值为8,方差为2,女生样本数据的平均值为10.5,方差为0.75,则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差s2分别是 (　　) A.9.5,1.5　　B.9,1.5 C.9.5,3　　D.9,3 7.已知变量x,y线性相关,其一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,9),满足xi=33,用最小二乘法得到的经验回归方程为=2x-1.若增加一个数据(-3,3)后,得到修正后的回归直线的斜率为2.1,则数据(4,8)的残差的绝对值为　 (　　) A.0.1　　B.0.2　　C.0.3　　D.0.4 8.(多选)下列结论正确的是 (　　) A.当研究两个变量之间的关联程度时,若相关系数的绝对值|r|越接近1,则两个变量的线性相关程度越弱 B.在评估模型拟合效果时,决定系数R2越接近1,表示模型对数据的拟合效果越好 C.通过样本数据得到的经验回归直线=x+一定经过样本点的中心(,) D.设关于分类变量X与Y的独立性检验的原假设为H0:X与Y无关,根据分类变量X与Y的成对样本数据,计算得到χ2=4.172,依据α=0.05的独立性检验(x0.05=3.841),没有充分证据推断H0不成立,即认为X与Y无关 9.(多选)下列说法中,正确的是 (　　) A.数据4,1,6,2,9,5,8的第60百分位数为9 B.已知随机变量ξ~N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.2,则P(-2≤ξ≤2)=0.6 C.样本点(xi,yi)(i=1,2,3,…)的经验回归方程为=3x+,若样本点(m,3)与(2,n)的残差相等,则3m+n=9 D.x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4的方差分别为和,若xi+yi=10且xi<yi(i=1,2,3,4),则< 10.(多选)一组样本数据(xi,yi),i∈{1,2,3,…,100},其中xi>1 895,xi=2×105,yi=970,求得其经验回归方程为=-0.02x+,残差为.对样本数据进行处理:x'i=ln(xi-1 895),得到新的数据(x'i,yi),求得其经验回归方程为=-0.42x'+,其残差为.,的分布如图1,2所示,且~N(0,),~N(0,),则 (　　) 　 A.成对样本数据(xi,yi)负相关　　 B.=49.7 C.<　　 D.处理后的决定系数变大 11.为考察国产14纳米光刻机和进口14纳米光刻机的光刻效果,随机抽取了500台14纳米光刻机,对两种光刻机的良品、次品进行对比,得到如下列联表: 良品 次品 合计 国产14纳米光刻机 170 80 n 进口14纳米光刻机 150 100 250 合计 m 180 500 (1)求m,n的值; (2)以频率估计概率,估计国产14纳米光刻机的次品率; (3)根据小概率值α=0.01的独立性检验,能否判断国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量有差异. 附: χ2=,其中n=a+b+c+d. α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 练思维 1.某绿色水果生态园在某种水果收获时.随机摘下该水果100个作为样本,其质量分别在[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350),[350,400](单位:克)中,经统计,样本的频率分布直方图如图所示. (1)求图中a的值; (2)现按分层随机抽样的方法从质量在[250,300),[300,350)的水果中随机抽取6个,再从这6个中随机抽取3个,求这3个水果中恰有1个质量在[300,350)内的概率; (3)某经销商来收购水果时,该生态园有水果约10 000个要出售. 经销商提出如下两种收购方案: 方案A:所有水果以10元/千克收购; 方案B:对质量低于250克的水果以2元/个收购,不低于250克的以3元/个收购.假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替,请估算该生态园选择哪种方案获利更多. 2.近期根据中国消费者信息研究报告显示,超过40%的消费者更加频繁地使用网上购物,某网购专营店统计了2025年1月5日到9日这5天到该专营店购物的人数y和时间第x天间的数据,列表如下: x 1 2 3 4 5 y 75 84 93 98 100 (1)由表中给出的数据判断是否可以用线性回归模型拟合人数y和时间第x天之间的关系.若可用,估计1月10日到该专营店购物的人数;若不可用,请说明理由(人数用四舍五入法取整数,若|r|>0.75,则线性相关程度很高,可以用线性回归模型拟合,r精确到0.01); (2)该专营店为了吸引顾客,推出两种促销方案.方案一:购物金额每满100元可减5元;方案二:一次性购物金额超过800元可抽奖三次,每次中奖的概率均为,且每次抽奖互不影响,中奖一次打9折,中奖两次打8折,中奖三次打6折.某顾客计划在此专营店购买1 000元的商品,请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠. 参考数据:≈65.88. 附:相关系数r=,=,=-. 3.某工厂生产某款产品,根据质量指标值Q对产品进行等级划分,Q小于60的产品视为不合格品,Q不小于60的产品视为合格品,其中Q不小于90的产品视为优质品.工厂为了提升产品质量,对设备进行升级.为考察设备升级后产品的质量,质检部门对设备升级前后生产的产品进行简单随机抽样,得到样本数据,制作如下频数表. (1)根据所给数据填写下列2×2列联表,并依据小概率值α=0.1的独立性检验,分析产品合格与设备升级是否有关联. 不合格品件数 合格品件数 合计 升级前 升级后 合计 (2)以上述样本中设备升级后的优质品频率作为升级后产品的优质品率,质检部门为检查设备升级后是否正常运转,每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品并检测. (i)记X表示抽取的10件产品中的优质品件数,求P(X≤1)(精确到0.001); (ii)质检部门规定:若抽检的10件产品中,至少出现2件优质品,则认为设备正常运转,否则需对设备进行检修.请根据P(X≤1)的值解释上述规定的合理性. 附: χ2=. α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 参考数据:0.68≈0.016 8,0.69≈0.010 1,0.610≈0.006 0. 练风向 加密运算在信息传送中具有重大作用.对于一组数据a1,a2,…,an,其密钥s=ai,定义算法bi=ai􀱇s=其中i=1,2,…,n.将数据a1,a2,…,an加密为b1,b2,…,bn的过程称为I型单向加密.现将一组数据4,1,6,8,4,7进行I型单向加密,则加密后的新数据的第60百分位数为 (　　) A.2　　B.3　　C.6　　D.9 答案 考点1　抽样方法与总体分布的估计 1. C 2. B 3. C 4. C 5. CD 6. AC 7. BD 8.解析　(1)=(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0. =(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3. =[(9.8-10.0)2+(10.3-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.9-10.0)2+(9.8-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.7-10.0)2]=0.036. =[(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2]=0.04. (2)由(1)得-=0.3,+=0.076, 从而(-)2=0.09,=(+)=0.030 4. 所以(-)2>,又>, 故->2, 因此新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. 9.解析　(1)由题意知(c-95)×0.002=0.5%, 得c=97.5, q(c)=0.01×2.5+5×0.002=0.035=3.5%. (2)当c∈[95,100]时, f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0.002=-0.008c+0.82≥0.02. 当c∈(100,105]时, f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c)×0.002=0.01c-0.98>0.02. ∴f(c)= 由于f(c)在区间[95,100]单调递减,在区间(100,105]单调递增,(该理由一定要写,不写扣分) ∴f(c)min=f(100)=0.02. 考点2　变量间的相关关系 1. C 2.解析　(1)由已知得样本平均数=yi=60,从而该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12 000. (2)样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系数 =r===≈0.94. (3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分层抽样. 理由如下:由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计. 考点3　独立性检验 1.解析　(1)由题意知超声波检查结果不正常的人数为200,患该疾病的人数为180,所以超声波检查结果不正常者患该疾病的概率的估计值p==0.9. (2)零假设为H0:超声波检查结果与患该疾病无关. χ2= =765.625>10.828=x0.001, 根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即超声波检查结果与患该疾病有关. 2.解析　(1)根据抽查数据,该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的天数为32+18+6+8=64,因此,该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的概率的估计值为=0.64. (2)根据抽查数据,可得2×2列联表: 　　SO2 PM2.5　　 [0,150] (150,475] [0,75] 64 16 (75,115] 10 10 (3)根据(2)的列联表得 K2=≈7.484. 由于7.484>6.635,故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关. 练速度 1. C 2. C 3. D 4. D 5. C 6. D 7. A 8. BC 9. BC 10. ABD 11.解析　(1)由题意得m=170+150=320,n=170+80=250. (2)样品中,国产14纳米光刻机次品的频率为=, 利用样本估计总体,得国产14纳米光刻机的次品率约为. (3)零假设为H0:国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量无差异, 由2×2列联表可得,χ2==≈3.472<6.635=x0.01, 依据α=0.01的独立性检验,推断H0成立,即不能判断国产14纳米光刻机与进口14纳米光刻机质量有差异. 练思维 1.解析　(1)根据题意可得(0.002+0.002+0.003+0.004+a+0.001)×50=1,解得a=0.008. (2)因为质量在[250,300)和[300,350)内的频率之比为2∶1, 所以从质量在[250,300)和[300,350)内分别抽取4个和2个, 设质量在[250,300)内的4个水果分别为A,B,C,D, 质量在[300,350)内的2个水果分别为a,b, 样本空间为Ω={{A,B,C},{A,B,D},{A,B,a},{A,B,b},{A,C,D},{A,C,a},{A,C,b},{A,D,a},{A,D,b},{A,a,b},{B,C,D}, {B,C,a},{B,C,b},{B,D,a},{B,D,b},{B,a,b},{C,D,a},{C,D,b},{C,a,b},{D,a,b}},共包含20个样本点, 记E:其中恰有一个质量在[300,350)内, E={{A,B,a},{A,B,b},{A,C,a},{A,C,b},{A,D,a},{A,D,b},{B,C,a},{B,C,b},{B,D,a},{B,D,b},{C,D,a}, {C,D,b}},则E包含的样本点个数为12, 所以P(E)==. (3) 方案A:收益=(125×0.002+175×0.002+225×0.003+275×0.008+325×0.004+375×0.001)×50×0.001×10× 10 000=25 750元; 方案B:质量低于250克的获利(0.002+0.002+0.003)×50×10 000×2=7 000元, 质量不低于250克的获利(0.008+0.004+0.001)×50×10 000×3=19 500元, 共获利7 000+19 500=26 500元. 因为25 750<26 500,所以该生态园选择方案B获利更多. 2.解析　(1)由题意可知,==3,==90, 所以(xi-)2=10,(yi-)2=434,(xi-)(yi-)=64, 所以r==≈0.97>0.75, 所以可用线性回归模型拟合人数y与第x天之间的关系, ===6.4, 则=-=90-6.4×3=70.8, 所以=6.4x+70.8, 令x=6,可得=109.2, 所以1月10日到该专营店购物的人数约为109. (2)若选方案一,需付款1 000-50=950元, 若选方案二,设需付款X元,则X的取值可能为600,800,900,1 000, P(X=600)=×=, P(X=800)=××=, P(X=900)=××=, P(X=1 000)=×=, 所以E(X)=600×+800×+900×+1 000×=,因为<950,所以选择方案二更优惠. 3.解析　(1)依题意可得2×2列联表为 不合格 品件数 合格品 件数 合计 升级前 20 80 100 升级后 10 90 100 合计 30 170 200 零假设为H0:产品合格与设备升级没有关联. 由列联表可计算得到χ2=≈3.922>2.706=x0.1, 依据小概率值α=0.1的独立性检验,我们可以推断H0不成立,因此可以认为产品合格与设备升级有关联.该推断犯错误的概率不超过0.1. (2)(i)根据题意,知设备升级后的优质品率为0.4. 可以认为从生产线中抽出的10件产品是不是优质品相互独立,则X~B(10,0.4), P(X≤1)=×0.610+×0.4×0.69=0.610+4×0.69≈0.006+4×0.010 1≈0.046. 所以P(X≤1)≈0.046. (ii)如果设备运转正常,一天内抽取的10件产品中,优质品件数少于2个的概率只有0.046,发生的概率很小,因此一旦发生这种情况,就有理由认为设备运转异常,需对设备进行检修,可见上述规定是合理的. 练风向 C ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$