2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 32999 情景导入：《九章算术》第九章“勾股”问题二十： 今有邑方不知大小，各中开门.出北门二十步有木，出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木. 问邑方几何. B A C D E 如图，代表北门，处是木，代表南门，而且，，. 如果设正方形的边长为 步，根据，你能整理出关于的方程吗？ 这个方程能用因式分解的方法解吗？ 那应该怎么解呢？ 这节课我们就一起来学习一下吧. 32999 1.理解判别式的作用，掌握一元二次方程的解法.（重点） 2.掌握一元二次方程根与系数的关系.（难点） 学习目标 问题导学 牛刀小试 课堂总结 32999 探究点 1：一元二次方程的解集 思考 1：下列方程的解集是什么？ （1）；（2）；（3）. 你能归纳出方程 的解集吗？ 形如 的方程为一元二次方程，其中是常数，且. （1） （2） （3） 一般地，方程 （1）当时，解集为 ； （2）当时，解集为 ； （3）当时，解集为 . 直接开平方 学习目标 问题导学 牛刀小试 课堂总结 32999 一般地，方程 （1）当时，解集为 ； （2）当时，解集为 ； （3）当时，解集为 . 思考2：下列方程的解集是什么？ （1）；（2）；（3）. （1） （2） （3） 追问：你能归纳出方程 的解集吗？ 学习目标 问题导学 牛刀小试 课堂总结 32999 思考3：怎样将化为的形式？解集是什么？ . 因此，可转化为，解集为. 加上 一次项系数一半的平方 配方法 【练习1】用配方法求下列方程的解集. （1）；（2）. 【解析】（1）方程可化为，则， 所以，解集为. （2）方程可化为，解集为. 学习目标 问题导学 牛刀小试 课堂总结 32999 思考4：是否任何一个一元二次方程 都能化为 的形式呢？ . 因此，可以化为 因此，（1）当时，方程的解集为； （2）当时，方程的解集为； （3）当时，方程的解集为 判别式 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 无实数根 求根公式： 学习目标 问题导学 牛刀小试 课堂总结 32999 归纳总结：一元二次方程的解法 方法 方程类型 注意事项 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 时有解，时无解 先移项再配方 时有解，时无解 提公因式、十字相乘法 学习目标 问题导学 牛刀小试 课堂总结 32999 【解析】（1）设，则 原方程可变为，解得或（舍），=， 从而，解集为. （2）设，则. 原方程可变为，解得或（舍），即， 从而，解集为 （3）设=y，则 原方程可变为，解得或，即= 从而或，解集为 看成一个整体 看成一个整体 看成一个整体 例1. 求下列方程的解集： （1）；（2）；（3）. 整体思想 学习目标 问题导学 牛刀小试 课堂总结 32999 【解析】 设，则原方程可变为， 解得 或 ，即 或 . 从而或，解集为 【练习2】求方程的解集：. 学习目标 问题导学 牛刀小试 课堂总结 32999 探究点2：一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的解集不是空集时，这个方程的解为，. 思考：与的值为多少？ 韦达定理：（一元二次方程根与系数的关系） ； = . 学习目标 问题导学 牛刀小试 课堂总结 32999 【练习3】 （1）若 ， 是方程 的两根，则 ； . （2）若 2 和 3 是方程 的两根，则 ， . （3）若方程 有一个根为3，则另一个根为 . 2 6 学习目标 问题导学 牛刀小试 课堂总结 32999 【解析】由一元二次方程根与系数的关系，得，； （1）. （2） . 例2. 已知一元二次方程 的两根为与，求下列各式的值： （1）； （2）. 学习目标 问题导学 牛刀小试 课堂总结 32999 【练习4】已知方程的的两根为，，求下列各式的值： （1）； （2）. 【解析】由一元二次方程根与系数的关系，得，；（1） ； （2） 学习目标 问题导学 牛刀小试 课堂总结 32999 【解析】根据韦达定理 ，解得； 因此，或； 即实数的取值范围是(，)∪(，]. 例3. 方程 有两个正根，求实数的取值范围. 学习目标 问题导学 牛刀小试 课堂总结 32999 【归纳总结】 一元二次方程 两根同号 ； 两根异号 ； 两根同正 两根同负 学习目标 问题导学 牛刀小试 课堂总结 32999 【练习5】已知关于的方程 的的两根同号，求实数 的取值范围. 【解析】 根据韦达定理，解得； 因此，，所以，实数的取值范围是(1，2] . 学习目标 问题导学 牛刀小试 课堂总结 32999 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 判别式 ，两不等实根； 两相等实根； ，无实根. ； . 一元二次方程 解集 根与系数的关系 求根方法 根的个数 韦达定理 基本关系式 学习目标 问题导学 牛刀小试 课堂总结 32999 $$