9.4二项分布、超几何分布与正态分布专项训练-2026届高三数学一轮复习

9.4　二项分布、超几何分布与正态分布 考点1　二项分布和超几何分布 1. 袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为,一红一黄的概率为,则m-n=　 　,E(ξ)=  　.  2.一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g). (1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望. (2)试验结果如下: 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8 26.5　27.5　30.1　32.6　34.3　34.8　35.6 35.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8　9.2　11.4　12.4　13.2　15.5　16.5 18.0　18.8　19.2　19.8　20.2　21.6　22.8 23.6　23.9　25.1　28.2　32.3　36.5 (i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表: <m ≥m 对照组 试验组 (ii)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异? 附:K2=, P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 . 考点2　正态分布 1.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不正确的是 (　　) A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大 B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5 C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等 D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等 2.(多选)随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3) (　　) A.P(X>2)>0.2　　B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5　　D.P(Y>2)<0.8 3.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=　 　.  练速度 1.已知随机变量X服从二项分布B,则P(X>E(X))= (　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.已知随机变量ξ~N(2,σ2),P(ξ≤-1)=3p-1,P(ξ<5)=5p2,则P(2≤ξ<5)= (　　) A.0.4　　B.0.3　　C.0.2　　D.0.1 3.若随机变量X~N(1,σ2),且P(X≤0.9)=0.3, 则P(|X-1|<0.1)= (　　) A.0.3　　B.0.4　　C.0.5　　D.0.6 4.已知随机变量X~B,若E(X)=2,则P(X=2)= (　　) A.　　B.　　C.　　D. 5.已知随机变量ξ~N(3,4),则“a=3”是“P(ξ<a)=”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.某林业科学院培育新品种草莓,新培育的草莓单果质量ξ(单位:g)近似服从正态分布N(50,4),现有该新品种草莓10 000个,估计其中单果质量超过52 g的草莓有 (　　) 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 5. A.228个　　B.456个　　C.1 587个　　D.3 174个 7.已知随机变量X服从正态分布N(1,σ2),若P(X<a)=0.3,且P(a≤X≤a+2)=0.4,则a= (　　) A.-1　　B.-　　C.0　　D. 8.已知随机变量X~N(1,σ2),P(X≤a)+P(X≤b)=1(a>0,b>0),则的最大值为 (　　) A.9　　B.　　C.　　D. 9.已知连续型随机变量ξ服从正态分布N,记函数f(x)=P(ξ≤x),则f(x)的图象 (　　) A.关于直线x=对称 B.关于直线x=对称 C.关于点成中心对称 D.关于点成中心对称 10.(多选)随机变量X,Y分别服从正态分布和二项分布,且X~N(3,1),Y~B,则 (　　) A.E(X)=E(Y)　　 B.D(X)=D(Y) C.P(X≤1)=P(X≥5)　　 D.P(Y≤1)=P(Y≥5) 11.(多选)若小明坐公交上班的用时X(单位:分钟)和骑自行车上班的用时Y(单位:分钟)分别满足X~N(30,62),Y~N(34,22),且同一坐标系中X的密度曲线与Y的密度曲线在t=38分钟时相交,则下列说法正确的是 (　　) A.P(X>38)<P(Y>38) B.P(24≤X≤36)=P(32≤Y≤36) C.若X的密度曲线与Y的密度曲线相交所对应的另一个时间为t1,则t1<30 D.若要在34分钟内上班不迟到,则小明最好选择坐公交 12.设随机变量ξ~N(2,5),若P(ξ<m)=P(ξ>m-1),则m=  　.  13.某次调研测试中,考生成绩X服从正态分布N(75,σ2).若P(60≤X≤90)=,则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生,至少有2名考生的成绩高于90的概率为  　.  练思维 1.在一个不透明的盒子中装有除颜色外其余完全相同的若干个小球,其中有m个白球,m个黑球,2个黑白相间的球,且从盒子中随机摸出1个球,摸到黑白相间的球的概率为. (1)从盒子中随机摸出1个球,求在摸出的球上带有黑色的条件下,摸出黑白相间的球的概率; (2)从盒子中1次随机取出1个球,取出后不放回,共取2次,设取出的黑球数量为X,求X的分布列与期望. 2.某企业举办企业年会,并在年会中设计了抽奖环节和游戏环节. (1)抽奖环节:该企业每位员工在年会上都会得到相应的奖金X(单位:千元),其奖金的平均值为=30,标准差为s=5.经分析,X近似服从正态分布N(μ,σ2),用奖金的平均值作为μ的近似值,用奖金的标准差s作为σ的近似值,现任意抽取一位员工,求他所获得奖金在[35,40)的概率. (2)游戏环节:从员工中随机抽取40名参加投掷游戏,每位员工只能参加一次,并制订游戏规则如下:参与者掷一枚骰子,初始分数为0,每次所得点数大于4,得2分,否则,得1分.连续投掷累计得分达到9或10时,游戏结束. ①设员工在游戏过程中累计得n分的概率为Pn,求Pn; ②得9分的员工,获得二等奖,奖金1 000元,得10分的员工,获得一等奖,奖金2 000元,估计该企业作为游戏奖励的预算资金(精确到1元). 参考数据:P(μ-σ≤X<μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ≤X<μ+2σ)=0.954 5,P(μ-3σ≤X<μ+3σ)= 0.997 3,≈1.524×10-4,≈5.081×10-5,≈1.694×10-5 答案 考点1　二项分布和超几何分布 1. 1； 2.解析　(1)依题意得,X的所有可能取值为0,1,2, 则P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴E(X)=0×+1×+2×=1. (2)(i)依题意可得m==23.4. 则对照组样本中小于m的数据的个数为6, 试验组样本中小于m的数据的个数为14, 则列联表为 <m ≥m 对照组 6 14 试验组 14 6 (ii)由(i)中列联表可得 K2==6.4>3.841, ∴有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异. 考点2　正态分布 1. D 2. BC 3. 0.14 练速度 1. B 2. B 3. B 4. B 5. C 6. C 7. C 8. D 9. C 10. ACD 11. BD 12. 13. 练思维 1.解析　(1)由题意可知=,解得m=4, 则盒子中带有黑色的球有6个,其中黑白相间的球有2个, 所以在摸出的球上带有黑色的条件下,摸出黑白相间的球的概率为=. (2)依题意,X的可能值为0,1,2, 则P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==, 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)=0×+1×+2×=. 2.解析　(1)由题意知X~N(30,52), 则P(35≤X<40)=P(μ+σ≤X<μ+2σ)==0.135 9. (2)①由题知,累计获得n分时有可能是获得n-1分时掷骰子点数小于或等于4,或获得n-2分时掷骰子点数大于4,而掷骰子点数小于或等于4的概率为,掷骰子点数大于4的概率为,则Pn=Pn-1+Pn-2(n≥3),则Pn-Pn-1=Pn-1+Pn-2-Pn-1=-(Pn-1-Pn-2),n≥3,故{Pn-Pn-1}(n≥2)为等比数列. 由P1=,P2=+×=,得P2-P1=-=. 因此Pn-Pn-1=,Pn-1-Pn-2=,……,P2-P1=, 将所有等式相加得Pn-P1=×=, 所以Pn=+=+×(1≤n≤9), 当n=10时,P10=P8=×=-×. 综上,Pn= ②S=1 000×40×P9+2 000×40×P10=40 000×+×(-5.081×10-5)+80 000×-×(-5.081× 10-5)≈50 001元. 即估计游戏奖励的预算资金为50 001元. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$