9.3 离散型随机变量及其分布列、均值与方差 专项训练-2026届高三数学一轮复习

9.3　离散型随机变量及其分布列、均值与方差 考点　离散型随机变量及其分布列、均值与方差 1.有5个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,从中有放回地随机取3次,每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数,则X的数学期望E(X)=  　.  2.某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分. 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列; (2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由. 3.某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中1次,则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立. (1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. (2)假设0<p<q. (i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛? (ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛? 4.甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率; (2)求第i次投篮的人是甲的概率; (3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E=记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y). 5.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=pi(i=0,1,2,3). (1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X); (2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p=1,当E(X)>1时,p<1; (3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义. 练速度 1.已知随机变量X的分布列如表: X 2 3 5 P a b 2b-a 若E(X)=4,则a= (　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.已知随机变量X,Y均服从两点分布,若P(X=1)=,P(Y=0)=,且P(X=Y)=,则P(XY=0)= (　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.(多选)已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 则下列结论正确的是 (　　) A.m=　　B.E(X)= C.E(2X-1)=　　D.D(X)= 4.已知随机变量X的分布列为 X -4 -3 0 3 P a b c 其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=3)=  　.  5.如图,某停车区域共有6个停车位,现有3辆白色汽车和2辆黑色汽车将停在车位上.记黑色汽车之间的白色汽车数为X,则X的数学期望为　 　.  6.甲同学计划去参观某景点,但门票需在网上预约.该同学从第一天开始,每天在规定的预约时间段开始预约,若预约成功,便停止预约;若连续预约三天都没成功,则放弃预约.假设该同学每天预约门票成功的概率均为0.7. (1)求甲同学到第三天才预约成功的概率; (2)记X为甲同学预约门票的天数,求X的分布列和期望E(X). 练思维 1.某地五一假期举办大型促销活动,汇聚了各大品牌新产品的展销.现随机抽取7个品牌产品,得到其促销活动经费x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)的数据如表: 品牌代号 1 2 3 4 5 6 7 促销活动经费x 1 2 4 6 10 13 20 销售额y 12 20 44 40 56 60 82 若将销售额y与促销活动经费x的比值称为促销效率值μ,当μ≥10时,称为“有效促销”,当μ≤5时,称为“过度促销”. (1)从这7个品牌中随机抽取4个品牌,求取出的4个品牌中“有效促销”的个数比“过度促销”的个数多的概率; (2)从这7个品牌中随机抽取3个,记这3个品牌中“有效促销”的个数为X,求X的分布列与期望. 2.为宣扬中国文化,某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段,第一阶段为基础知识问答,每位选手都需要回答3个问题,答对其中至少2个问题,进入第二阶段,否则被淘汰;第二阶段分高分组和低分组,第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组,共回答4个问题,每答对一个得20分,答错不得分;第一阶段答对2个问题的选手进入低分组,共回答4个问题,每答对一个得10分,答错不得分.第一阶段,每个问题选手甲答对的概率都是;第二阶段,若选手甲进入高分组,每个问题答对的概率都是,若选手甲进入低分组,每个问题答对的概率都是. (1)求选手甲第一阶段不被淘汰的概率; (2)求选手甲在该次比赛得分为40分的概率; (3)已知该次比赛选手甲进入了高分组,记选手甲在该次比赛中得分为X(单位:分),求随机变量X的分布列和期望值. 3.甲参加围棋比赛,采用三局两胜制,若每局比赛甲获胜的概率为p(0<p<1),输的概率为1-p,每局比赛的结果是独立的. (1)当p=时,求甲最终获胜的概率; (2)为了增加比赛的趣味性,设置两种积分奖励方案.方案一:最终获胜者得3分,失败者得 -2分;方案二:最终获胜者得1分,失败者得0分,请讨论选择哪种方案,使得甲获得积分的数学期望更大. 练风向 有2n朵花围绕在一个圆形花圃周围,现要将其两两配对绑上缎带作为装饰,缎带之间互不交叉,例如:n=2时,共有4朵花,以1、2、3、4表示,绑上缎带的两朵用一条线连接,共有2种方式,如图1、2所示. (1)当n=3时,求满足要求的绑缎带方法总数. (2)已知满足要求的每一种绑法出现的概率都相等,如n=2时,出现图1和图2所示方法的概率均为.记一次绑法中,共有Y对相邻的两朵花绑在一起. (i)当n=4时,求Y的分布列和期望; (ii)已知:对任意随机变量Xi(i=1,2,…,m,m∈N*),有E(Xi)=E(Xi).记满足条件的绑缎带方法总数为a2n,Y的期望为E2n.求E2·E4·…·E2n(用n和a2n表示). 　 答案 考点　离散型随机变量及其分布列、均值与方差 1. 2.解析　(1)由题易知X的所有可能取值为0,20,100, P(X=0)=1-0.8=0.2, P(X=20)=0.8×(1-0.6)=0.32, P(X=100)=0.8×0.6=0.48, 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 (2)由(1)可知E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4. 假设小明先回答B类问题,其累计得分为Y,则Y的所有可能取值为0,80,100,P(Y=0)=1-0.6=0.4, P(Y=80)=0.6×(1-0.8)=0.12, P(Y=100)=0.6×0.8=0.48, 所以Y的分布列为 Y 0 80 100 P 0.4 0.12 0.48 所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6, 所以E(Y)>E(X), 所以小明应选择先回答B类问题. 3.解析　(1)由题意知甲参加第一阶段比赛与乙参加第二阶段比赛是相互独立事件. 因此甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率为 [1-(1-p)3][1-(1-q)3]=[1-(1-0.4)3][1-(1-0.5)3]=0.686. (2)(i)设由甲参加第一阶段比赛,该队比赛成绩为15分的概率为P1,乙参加第一阶段比赛,该队比赛成绩为15分的概率为P2, 则P1=[1-(1-p)3]q3,P2=[1-(1-q)3]p3. 则P1-P2=[1-(1-p)3]q3-[1-(1-q)3]·p3=3pq(q-p)(q+p-pq),又0<p<q≤1,所以q-p>0,p+q-pq=p(1-q)+q>0,所以P1>P2,则应由甲参加第一阶段,这样才能使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大. (ii)设甲参加第一阶段比赛,该队比赛成绩为X,则X的可能取值为0,5,10,15.则 P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3](1-q)3, P(X=5)=[1-(1-p)3]·q(1-q)2, P(X=10)=[1-(1-p)3]·q2(1-q), P(X=15)=[1-(1-p)3]·q3, 所以由甲参加第一阶段比赛,该队比赛成绩的数学期望为E(X)=0+5[1-(1-p)3]·q(1-q)2+10[1-(1-p)3]·q2(1-q)+15[1-(1-p)3]·q3=15q(3p-3p2+p3). 设乙参加第一阶段比赛,该队比赛成绩为Y,同理可得乙参加第一阶段比赛,该队比赛成绩的数学期望E(Y)=15p(3q-3q2+q3). E(X)-E(Y)=15q(3p-3p2+p3)-15p(3q-3q2+q3)=15pq(q-p)(3-p-q), 因为0<p<q≤1,所以q-p>0,3-p-q>0,所以E(X)>E(Y). 则由甲参加第一阶段比赛时,该队比赛成绩的数学期望最大. 4.解析　记Ai=“第i次投篮的人是甲”,Bi=“第i次投篮的人是乙”. (1)因为P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6, 所以第2次投篮的人是乙的概率为0.6. (2)设P(Ai)=pi,则P(Bi)=1-pi,所以P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1)=P(Ai)·P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi), 即pi+1=0.6pi+(1-0.8)×(1-pi)=0.4pi+0.2. 设pi+1+λ=(pi+λ),解得λ=-, 则pi+1-=, 因为p1=,p1-=,所以是首项为,公比为的等比数列,所以pi-=×,即pi=×+. 所以第i次投篮的人是甲的概率为×+. (3)因为pi=×+,i=1,2,…,n, 所以当n∈N*时,E(Y)=p1+p2+…+pn=×+=+,故E(Y)=+. 5.解析　(1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1. (2)证法一:由题意得p0+p1+p2+p3=1,E(X)=p1+2p2+3p3,因为p0+p1x+p2x2+p3x3=x, 所以p0+p2x2+p3x3-(1-p1)x=0, 即p0+p2x2+p3x3-(p0+p2+p3)x=0, 即(x-1)[p3x2+(p2+p3)x-p0]=0, 令f(x)=p3x2+(p2+p3)x-p0, 则f(x)图象的对称轴为直线x=-<0, 且f(0)=-p0<0, f(1)=2p3+p2-p0=p1+2p2+3p3-1=E(X)-1. 当E(X)≤1时, f(1)≤0, f(x)的正实根x0≥1,则原方程的最小正实根p=1; 当E(X)>1时, f(1)>0, f(x)的正实根x0<1,则原方程的最小正实根p=x0<1. 证法二:设f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0, 由题易知p3+p2+p1+p0=1, 故f(x)=p3x3+p2x2-(p2+p0+p3)x+p0, f'(x)=3p3x2+2p2x-(p2+p0+p3), E(X)=0·p0+1·p1+2·p2+3·p3=p1+2p2+3p3, 若E(X)≤1,则p1+2p2+3p3≤1,故p2+2p3≤p0, 因为f'(0)=-(p2+p0+p3)<0, f'(1)=p2+2p3-p0≤0, 所以f'(x)有两个不同零点x1,x2,且x1<0<1≤x2, 当x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)时, f'(x)>0, 当x∈(x1,x2)时, f'(x)<0, 故f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上为增函数,在(x1,x2)上为减函数, 若x2=1,因为f(x)在(x2,+∞)上为增函数,在(x1,x2)上为减函数,且f(1)=0, 所以在(0,+∞)上, f(x)≥f(x2)=f(1)=0, 故1为关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,即p=1,故当E(x)≤1时,p=1. 若x2>1,因为f(1)=0且f(x)在(0,x2)上为减函数, 故1为关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根. 综上,若E(X)≤1,则p=1. 若E(X)>1,则p1+2p2+3p3>1,则p2+2p3>p0, 此时f'(0)=-(p2+p0+p3)<0, f'(1)=p2+2p3-p0>0, 故f'(x)有两个不同零点x3,x4且x3<0<x4<1, 故f(x)在(-∞,x3),(x4,+∞)上为增函数,在(x3,x4)上为减函数, 而f(1)=0,故f(x4)<0, 又f(0)=p0>0,所以f(x)在(0,x4)上存在一个零点x0,且x0<1, 所以x0为关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正根,即p<1,故当E(X)>1时,p<1. (3)意义:若一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代后会临近灭绝,若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后还有继续繁殖的可能. 练速度 1. C 2. A 3. ACD 4. 5. 1 6.解析　(1)设An(n=1,2,3)表示事件“甲同学在第n天预约成功”, B表示事件“甲同学到第3天才预约成功”,则P(An)=0.7,P()=0.3, 可得P(B)=P(A3)=0.3×0.3×0.7=0.063. (2)依题意,X的所有可能取值为1,2,3,且P(X=1)=0.7, P(X=2)=0.3×0.7=0.21,P(X=3)=0.3×0.3=0.09,则X的分布列为 X 1 2 3 P 0.7 0.21 0.09 E(X)=1×0.7+2×0.21+3×0.09=1.39. 练思维 1.解析　(1)设取出的4个品牌中“有效促销”的个数比“过度促销”的个数多为事件A, 由题知7个品牌中“有效促销”有3个,“过度促销”有2个, 则P(A)==. (2)由题知,7个品牌中有3个品牌是“有效促销”, 所以X的可能取值是0,1,2,3, 则P(X=3)==,P(X=2)==, P(X=1)==,P(X=0)==, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×=. 2.解析　(1)选手甲第一阶段不被淘汰,即甲回答3个问题答对其中2个或3个,其概率为+=. (2)选手甲在该次比赛得分为40分有两种情况:进入高分组,答对2个问题;进入低分组,答对4个问题, 所以概率为+=. (3)由题意可知,X的所有可能取值有0,20,40,60,80, 则P(X=0)==, P(X=20)==, P(X=40)==, P(X=60)==, P(X=80)==, 所以X的分布列为 X 0 20 40 60 80 P 所以E(X)=0×+20×+40×+60×+80×=20. 3.解析　(1)记“甲最终以2∶1获胜”为事件A,“甲最终以2∶0获胜”为事件B,“甲最终获胜”为事件C, 于是C=A∪B,A与B为互斥事件, P(A)=·p·(1-p)·p=, P(B)=p2=, 则P(C)=P(A)+P(B)=+=, 即甲最终获胜的概率为. (2)由(1)可知,P(C)=P(A)+P(B)=3p2-2p3, 若选用方案一,记甲最终获得积分为X分,则X可取3,-2, P(X=3)=P(C)=3p2-2p3,P(X=-2)=1-3p2+2p3, 则X的分布列为 X 3 -2 P 3p2-2p3 1-3p2+2p3 则E(X)=9p2-6p3-2+6p2-4p3=-10p3+15p2-2, 若选用方案二,记甲最终获得积分为Y分, 则Y可取1,0, P(Y=1)=P(C)=3p2-2p3,P(Y=0)=1-3p2+2p3, 则Y的分布列为 Y 1 0 P 3p2-2p3 1-3p2+2p3 则E(Y)=3p2-2p3, 所以E(X)-E(Y)=-8p3+12p2-2 =-4(2p2-2p-1),(提示:也可求导处理) 由于0<p<1,则2p2-2p-1=2p(p-1)-1<0, 于是p=时,两种方案都可以选, 当0<p<时,E(X)<E(Y),应该选第二种方案, 当<p<1时,E(X)>E(Y),应该选第一种方案. 练风向 解析　(1)当n=3时,有6朵花围绕在一个圆形花圃周围.以1、2、3、4、5、6表示, 由题意可知,满足要求的绑缎带方法,任意一条缎带绑后,其同侧不能剩余奇数朵花,故1必不与奇数3、5配对. 按花朵1的配对情况,分为三类: ①1与2配对:另4朵3、4、5、6的配对情况,与n=2时(共有4朵花)的配对方法数相同,故有2种方法; ②1与6配对:由对称性可知同1与2配对的方法数,故有2种方法; ③1与4配对:2必与3配对,6必与5配对,故只有1种方法. 综上,完成这件事的方法数共有2+2+1=5种,列举如下: (12)(34)(56);(12)(36)(45);(16)(23)(45);(16)(25)(34);(14)(23)(56). 即满足要求的绑缎带方法总数为5. (2)(i)当n=4时,有8朵花围绕在一个圆形花圃周围.以1、2、3、4、5、6、7、8表示, 由题意可知,满足要求的绑缎带方法,任意一条缎带绑后,其同侧不能剩余奇数朵花,故1不能与3、5、7配对. 故按花朵1的配对情况,可分为两类: ①1与2或1与8配对: 若1与2配对,则另6朵3、4、5、6、7、8的配对情况,与n=3时(共有6朵花)的配对方法数相同,故有5种方法; 若1与8配对,由对称性可知与1与2的配对方法相同,故也有5种方法, 故有2×5=10种方法; ②1与4或1与6配对:由对称性,这两类配对方法也相同. 不妨设1与4配对,由题意,2与3必配对.而另外5、6、7、8的配对情况,即同n=2时(共有4朵花)的配对方法数,有2种方法, 故有2×2=4种方法, 综上,完成这件事的方法数共有10+4=14种. 已知满足要求的每一种绑法出现的概率都相等,则每一种方法的概率均为, 记一次绑法中,共有Y对相邻的两朵花绑在一起, 14种方法中Y=2的有2×2=4种方法,Y=3的有2×4=8种,Y=4的有2×1=2种, 则Y的所有可能值为2,3,4, P(Y=2)==,P(Y=3)==,P(Y=4)==. 故Y的分布列为 Y 2 3 4 P E(Y)=2×+3×+4×=,故Y的期望为. (ii)当n=1时,显然有a2=1,此时Y=1,E2=1, 当n≥2时,若第i朵花与相邻花相连,记随机变量Xi=1,则P(Xi=1)=, 若第i朵花不与相邻花相连,记随机变量Xi=0, 则P(Xi=0)=1-, 由于有Y对相邻的两朵花,则Y=Xi, 则E2n=E(Y)=E(Xi)=(n≥2). 综上所述,E2·E4·…·E2n=1···…·=. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$