9.2 随机事件、古典概型与条件概率 专项训练-2026届高三数学一轮复习

9.2　随机事件、古典概型与条件概率 考点1　随机事件和古典概型 1.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为  　.  5.从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为  　.  6.把若干个黑球和白球(这些球除颜色外没有其他差异)放进三个空箱子中.三个箱子中的球数之比为5∶4∶6,且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%.若从每个箱子中各随机摸出一球,则三个球都是黑球的概率为  　;若把所有球放在一起,然后随机摸出一球,则该球是白球的概率为  　.  7.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次,每次取1个球.设m为前两次取出的球上数字的平均值,n为取出的三个球上数字的平均值,则m与n之差的绝对值不大于的概率为  　.  考点2　事件的相互独立性 1.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则 (　　) A.甲与丙相互独立　　B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立　　D.丙与丁相互独立 2.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则 (　　) A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大 C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大 3.(多选)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立,发送0时,收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1-α;发送1时,收到0的概率为β(0<β<1),收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次;三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1) (　　) A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-α)(1-β)2 B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1-β)2 C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3 D.当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 4.甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率; (2)用X表示乙学校的总得分,求X的分布列与期望. 考点3　条件概率与全概率公式 1.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为 (　　) A.0.8　　B.0.6　　C.0.5　　D.0.4 2.在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图: (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表); (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率; (3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.000 1). 3.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据: 不够良好 良好 病例组 40 60 对照组 10 90 (1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异? (2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R. (i)证明:R=·; (ii)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|)的估计值,并利用(i)的结果给出R的估计值. 附:K2=, P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . 4.甲、乙两人进行乒乓球练习,每个球胜者得1分,负者得0分.设每个球甲胜的概率为p,乙胜的概率为q,p+q=1,且各球的胜负相互独立.对正整数k≥2,记pk为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率,qk为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率. (1)求p3,p4(用p表示); (2)若=4,求p; (3)证明:对任意正整数m,p2m+1-q2m+1<p2m-q2m<p2m+2-q2m+2. 练速度 1.5G通信中的信号是由“0”和“1”组成的二进制编码.某信号的二进制编码由6个数字组成,则该信号编码中恰好有3个“1”的概率为　 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.甲、乙、丙三人练习传球,每次传球时,持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位,若第一次由甲开始传球,则经过四次传球后,球回到甲手中的概率为 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.袋中有5个除颜色外完全相同的小球,其中3个红球,2个白球.从袋中不放回地依次随机取出2个球,则这2个球颜色相同的概率为 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.甲箱中有3个红球和2个白球,乙箱中有2个红球和3个白球,先从甲箱中随机取出一球放入乙箱,再从乙箱中随机取出两球,则取出的两球颜色相同的概率为 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 5.设甲袋有3个红球、2个白球和5个黑球,乙袋有3个红球、3个白球和4个黑球,先从甲袋中随机取出一球放入乙袋,以A1、A2和A3分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙袋中随机取出一球,以B表示由乙袋取出的球是红球的事件,则 (　　) A.A1与B相互独立　　B.P(B|A2)= C.P(B)=　　D.P(A3|B)= 6.某学校组织中国象棋比赛,甲、乙两名同学进入决赛.决赛采取3局2胜制,假设每局比赛中甲获胜的概率均为,且各局比赛的结果相互独立.则在甲获胜的条件下,甲第一局获胜的概率是 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 7.某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6;如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.4.则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为 (　　) A.0.24　　B.1　　C.0.5　　D.0.52 8.某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名教师到4所不同的高中学校进行宣讲,每个学校至少安排1人,其中甲、乙必须安排在同一个学校的概率为 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 9.某校教工食堂为更好地服务教师,在教师微信群中发起“是否喜欢菜品A”的点赞活动,参与活动的男、女教师总人数之比为2∶3,男教师点赞人数占(参与活动的)男教师总人数的,女教师点赞人数占(参与活动的)女教师总人数的,若从点赞教师中选择一人,则该教师为女教师的概率为 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 10.有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件,加工的次品率分别为6%、5%、3%,加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的30%、40%、30%.任取一个零件,如果取到的零件是次品,则它是甲车床加工的概率为 (　　) A.　　B.　　C.　　D. 11.(多选)口袋内装有大小、质地均相同,颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地依次抽取2个球,记“第一次抽到红球”为事件A,“第二次抽到黄球”为事件B,则 (　　) A.P(A)=　　B.P(B|A)= C.A与B为互斥事件　　D.A与B相互独立 12.有8张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,现从这8张卡片中随机抽出3张,则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为  　.  13.在学校三月文明礼仪月中,学生会4位干事各自匿名填写一张《校园设施改进建议卡》,老师将建议卡打乱顺序后,要求每人随机抽取一张进行互评审核,则恰好有2位干事抽到自己所写建议卡的概率为  　.  14.甲、乙两人进行投篮比赛,谁先投篮是随机的,一个人投完一球就要换成另一个人投篮,共投3个球,投中次数多者为胜.每次投篮,甲投中的概率为0.9,乙投中的概率为0.8,则甲获胜的概率为　 　.  15.某运动会有两种不同价格的开幕式门票,某人花a元预定该运动会开幕式门票一张,另外还花若干元预定乒乓球、羽毛球比赛门票各一张.根据相关规定,从所有预定者中随机抽取相应数量的人,这些人称为预定成功者,他们可以直接购买门票.另外,对于开幕式门票,有自动降级规定,即当这个人预定的a元开幕式门票未成功时,系统自动使他进入b元开幕式门票的预定.假设获得a元开幕式门票的概率是0.2,若未成功,则仍有0.3的概率获得b元开幕式门票,获得乒乓球、羽毛球门票概率均是0.5,且获得每张门票之间互不影响. (1)求这个人可以获得该运动会开幕式门票的概率; (2)假设这个人获得门票总张数是X,求X的分布列及数学期望E(X). 练思维 1.中国古建筑闻名于世,源远流长.如图(1),某公园的六角亭是中国常见的一种供休闲的古建筑,六角亭屋顶的结构示意图可近似地看作如图(2)所示的六棱锥P-ABCDEF.该公园管理处准备用风铃装饰六角亭屋顶P-ABCDEF的六个顶点A,B,C,D,E,F,现有四种不同形状的风铃可供选用,则在相邻的两个顶点挂不同形状的风铃的条件下,顶点A与C处挂同一种形状的风铃的概率为 (　　) 　 A.　　B.　　C.　　D. 2.(多选)已知A,B为随机事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.4,则下列结论正确的是 (　　) A.若A,B互斥,则P(A∪B)=0.9 B.若A,B相互独立,则P(A)=0.2 C.若A,B相互独立,则P(A∪B)=0.7 D.若P(B|A)=0.5,则P(B|)=0.3 3.(多选)某校开展“强国有我,筑梦前行”主题演讲比赛,共有6位男生,4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序,记事件A表示“第一位出场的是女生”,事件B表示“第二位出场的是女生”,则 (　　) A.P(AB)=　　B.P(B|A)=　　C.P(A)=P(B)　　D.P(A∪B)= 4.甲、乙、丙三人分别从2个不同的数中随机选择若干个数(可以不选),分别构成集合A,B,C,记A∩B∩C中元素的个数为m,则m≥1的概率为  　.  5.将五张标有1,2,3,4,5的卡片摆成右图,若逐一取走这些卡片时,每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边,则把这样的取卡顺序称为“和谐序”(例如按1-3-5-4-2取走卡片的顺序是“和谐序”,按1-5-2-3-4取走卡片的顺序不是“和谐序”),现依次不放回地随机抽取这5张卡片,则取卡顺序是“和谐序”的概率为  　.  6.在孟德尔豌豆试验中,子二代的基因型为DD、Dd、dd,其中D为显性基因,d为隐性基因,且这三种基因型的比为1∶2∶1.如果在子二代中任意选取2颗豌豆作为父本杂交,那么子三代中基因型为dd的概率是  　.  7.一袋中装有3个红球,5个黑球,从中任意取出一球,然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球,再从袋中任意取出一球,然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球,一直重复相同的操作. (1)第二次取出的球是黑球的概率为 　 ;  (2)在第一次取出的球是红球的条件下,第2次和第2 025次取出的球都是黑球的概率为  　.  8.2025年春晚,一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作,机器人从原点O出发,每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位,共移动3次.则该机器人在有且仅有一次经过(含到达)点M(-1,0)位置的条件下,水平方向移动2次的概率为  　.  9.有A,B,C,D,E,F,G,H八名运动员参加乒乓球赛事,该赛事采用预赛,半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军.八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号,已知B~H这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为,A运动员与其他运动员对决时,A获胜的概率为,每场对决没有平局,且结果相互独立. (1)求这八名运动员各自获得冠军的概率; (2)求B与A对决过且最后获得冠军的概率; (3)求B与C对决过且最后获得冠军的概率. 10.如图所示,在研究某种粒子的实验装置中,有A,B,C三个腔室,粒子只能从A室出发经B室到达C室.粒子在A室不旋转,在B室、C室都旋转,且只有上旋和下旋两种状态,粒子间的旋转状态相互独立.粒子从A室经过1号门进入B室后,等可能地变为上旋或下旋状态,粒子从B室经过2号门进入C室后,粒子的旋转状态发生改变的概率为p(0<p<1).现有两个粒子从A室出发,先后经过1号门,2号门进入C室,记C室两个粒子中,上旋状态粒子的个数为X. (1)已知两个粒子通过1号门后,恰有1个上旋状态1个下旋状态.若这两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态的概率为,求p; (2)求X的分布列和数学期望; (3)设p=,若两个粒子经过2号门后都为上旋状态,求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率. 答案 考点1　随机事件和古典概型 1. D 2. D 3. C 4. 5. 6. ; 7. 考点2　事件的相互独立性 1. B 2. D 3. ABD 4.解析　(1)记“甲学校在第i个项目获胜”为事件Ai(i=1,2,3),“甲学校获得冠军”为事件E. 则P(E)=P(A1A2A3)+P(A1A2)+P(A1A3)+P(A2A3)=××+××+××+××=. ∴甲学校获得冠军的概率为. (2)记“乙学校在第j个项目获胜”为事件Bj(j=1,2,3).X的所有可能取值为0,10,20,30. 则P(X=0)=P()=××=, P(X=10)=P(B1)+P(B2)+P(B3) =××+××+××=, P(X=20)=P(B1B2)+P(B1B3)+P(B2B3) =××+××+××=, P(X=30)=P(B1B2B3)=××=. ∴X的分布列为 X 0 10 20 30 P ∴E(X)=0×+10×+20×+30×=13. 考点3　条件概率与全概率公式 1. A 2. 解析　(1)平均年龄为 (5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85× 0.002)×10=47.9(岁). (2)设事件A为“该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)”,P(A)=(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)×10=0.89,∴估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率为0.89. (3)设事件B=“任选一人年龄位于区间[40,50)”,事件C=“任选一人患这种疾病”,由条件概率公式可得 P(C|B)====0.001 437 5≈0.001 4. 3.解析　(1)由题中数据可知K2==24>6.635,所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. (2)(i)证明:因为R=·=···=, 且·=···=, 所以R=·. (ii)由题表中数据可知P(A|B)==,P(A|)==,P(|B)==,P(|)==, 所以R=·=×=6. 4.解析　(1)由已知可知p3表示打完3个球后甲比乙至少多得2分的概率. ①若甲、乙两人打完3个球后,甲胜3局,此时甲得3分,乙得0分,甲比乙多得3分,符合题意,由于各局相互独立,故甲胜3局的概率为p3; ②若甲、乙两人打完3个球后,甲胜2局、1局或0局,均不符合题意,由此可知:p3=p3. 由已知可知p4表示打完4个球后甲比乙至少多得2分的概率,则若4局比赛甲胜4局,此时甲比乙多得4分;若4局比赛甲胜3局,输1局,则甲比乙多得2分,亦符合题意,其余甲胜2局、1局、0局,均不符合. ∴p4=p4+p3(1-p)=4p3-3p4. 综上可知:p3=p3,p4=4p3-3p4. (2)p4-p3=4p3-3p4-p3=3p3(1-p)=3p3q, 同理,q4-q3=3q3p, ∴===4,即p2=4q2, 又∵p,q∈(0,1),∴p=2q且p+q=1, ∴p=. (3)证明:不妨令Xn表示n局以后甲的得分,则乙的得分为n-Xn,则Xn~B(n,p). 所以pk=P(Xn-(n-Xn)≥2)=P(2Xn-n≥2)=P, 所以p2m+1=P=P(X2m+1≥m+2)=P(X2m+1≥m+2|X2m≥m+2)P(X2m≥m+2)+P(X2m+1≥m+2|X2m=m+1)P(X2m=m+1) =P(X2m≥m+2)+P(X2m=m+1)p =P(X2m≥m+2)+P(X2m=m+1)-P(X2m=m+1)q =P(X2m≥m+1)-P(X2m=m+1)q =p2m-pm+1qm, 同理,q2m+1=q2m-qm+1pm, 故p2m+1-q2m+1=p2m-q2m+qm+1pm-·pm+1qm=p2m-q2m+(pq)m(q-p)<p2m-q2m. p2m+2=P(X2m+2≥m+2) =P(X2m≥m+2)+P(X2m=m)p2+P(X2m=m+1)[1-(1-p)]2 =P(X2m≥m+2)+P(X2m=m)+P(X2m=m+1)+(p2-1)P(X2m=m)-(1-p2)P(X2m=m+1) =P(X2m≥m)+(p2-1)pmqm-·pm+1qm+1 =p2m+(p2-1)pmqm-pm+1qm+1, q2m+2=q2m+(q2-1)pmqm-pm+1qm+1, 故p2m+2-q2m+2=p2m-q2m+(p2-q2)pmqm>p2m-q2m. 综上,原不等式得证. 练速度 1. B 2. C 3. D 4. B 5. C 6. D 7. C 8. A 9. C 10. C 11. AB 12. 13. 14. 0.441 15.解析　(1)记“获得a元开幕式门票”为事件A,“获得b元开幕式门票”为事件B,“获得开幕式门票”为事件C, 则P(A)=0.2,P(B)=0.3,P()=0.8, P(C)=P(A)+P(B)=P(A)+P()P(B)=0.2+0.8×0.3=0.44, ∴这个人可以获得该运动会开幕式门票的概率为0.44. (2)X的所有可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=(1-0.44)×0.5×0.5=0.14, P(X=1)=(1-0.44)×0.5×0.5×2+0.44×0.5×0.5=0.39, P(X=2)=(1-0.44)×0.5×0.5+0.44×0.5×0.5×2=0.36, P(X=3)=0.44×0.5×0.5=0.11, 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.14 0.39 0.36 0.11 E(X)=0×0.14+1×0.39+2×0.36+3×0.11=1.44. 练思维 1. C 2. ACD 3. BCD 4. 5. 6. 7.  ; 8. 9.解析　(1)A夺冠即为三轮比赛都获胜,所以A夺冠的概率为=. 由题意,B~H七名运动员水平相同,且八名运动员各自夺冠概率之和为1, 所以B~H七名运动员各自夺冠的概率均为×=. (2)记事件B=“B获得冠军”,事件A=“B与A对决过”,事件Ai=“B与A在第i轮对决”,i=1,2,3. 不妨设A在①号位,则B在第1,2,3轮能与A对决时其位置编号分别为②,③或④,⑤或⑥,⑦或⑧. P(AB)=P((A1+A2+A3)B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B), P(A1B)=×××=,(B抽中②,且A,B在预赛时相遇) P(A2B)=××××=(B抽中③或④,且A,B在半决赛时相遇), P(A3B)=×××××=(B抽中⑤或⑥或⑦或⑧,且A,B在决赛时相遇), 所以P(AB)=++=. (3)记事件C=“B与C对决过”. B没有与A对决过且最后获得冠军的概率P(B)=P(B)-P(AB)=-=. P(BC)=P((A+)BC)=P(ABC)+P(BC)=P(AB)·P(C|AB)+P(B)P(C|B). 由题意,C~H六名运动员与B对决过的概率相同,B夺冠时共与三名运动员对决, 所以P(C|AB)=,P(C|B)=. 故P(BC)=×+×=. 10.解析　(1)设A=“两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态”. 事件A发生即通过2号门时,两个粒子都不改变或都改变旋转状态, 故P(A)=p2+(1-p)2=, 解得p=或. (2)由题知X=0,1,2, X=2时分3类情形, ①两个粒子通过1号门后均处上旋状态,通过2号门后均不改变状态; ②两个粒子通过1号门后一个上旋状态一个下旋状态, 通过2号门后上旋状态粒子不改变状态,下旋状态粒子改变状态; ③两个粒子通过1号门后两个均为下旋状态,通过2号门后均改变状态, 所以P(X=2)=p2+p(1-p)+(1-p)2=, 同理P(X=1)=p(1-p)+[p2+(1-p)2]+p(1-p)=, P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=, X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=0×+1×+2×=1. (3)设Ai=“两个粒子通过1号门后处于上旋状态粒子个数为i”,i=0,1,2, B=“两个粒子通过2号门后处于上旋状态的粒子个数为2”, 则P(A0)=P(A2)==,P(A1)==,P(B|A0)=, P(B|A1)=,P(B|A2)=, 则P(B)=P(Ai)P(B|Ai)=×+×+×=. 故P(A2|B)====. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$