精品解析：2025年四川省德阳市中考数学模拟试卷

2025年四川省德阳市中考数学模拟试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列整式中，当时，值为正数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，AF是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E，若∠1=35°，则∠BAF的度数为（ ） A. 60° B. 70° C. 35° D. 17.5° 4. 关于x的一元二次方程（m为常数），则该方程（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与m的取值有关 5. 长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数 B. 甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数 C. 甲班视力值的众数小于乙班视力值的众数 D. 甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差 6. 若如图是某几何体的平面展开图，则这个几何体的三视图中一定没有（    ） A. 长方形 B. 圆 C. 三角形 D. 正方形 7. 如图，点E为边上一点，若，，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 8. 国际足联世界杯（FIFA World Cup）简称“世界杯”，是世界上最高荣誉、最高规格、最高竞技水平、最高知名度的足球比赛，与奥运会并称为全球体育两大最顶级赛事，影响力和转播覆盖率超过奥运会的全球最大体育盛事．已知在足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队共踢了30场比赛，负了9场，共得47分，那么这个队胜了（ ） A. 10场 B. 11场 C. 12场 D. 13场 9. 如图，中，D是中点，是的中线，，则等于（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 10. 如图，在中，，，，则的内切圆的半径是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 无法判断 11. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为，则下列结论中错误的是（    ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，，为上一点，且满足，为的中点，连接交于点，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 14. 为进一步提高生态功能重要地区基本公共服务保障能力，促进长江经济带绿色低碳高质量发展．近日，省财政厅下达2025年省级重点生态功能区转移支付资金5000万元，资金总量达亿元，较上年增长．数据亿用科学记数法表示为_____． 15. 如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则的面积为__________平方厘米 16. 设计师构思了一地标性建筑，如图，在平面直角坐标系中，有两反比例函数和，依次向上如图所示作一内角为的菱形，使顶点分别在y轴和函数图象上，请写出的坐标____________． 17. 如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么_______°． 18. 在矩形中，，的半径为2，若以C为圆心作一个圆，使与相切，那么的半径为_____________． 三、解答题：本题共7小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）解不等式组：． 20. 在第个“世界读书日”到来之际，某校举办了“中国梦我的梦”征文比赛，从同学们的投稿中分别评出一等奖、二等奖、三等奖和优秀奖，并将获奖结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）这次征文比赛一共有　　　　名学生获奖，请把条形统计图补充完整； （2）在这次征文比赛获得一等奖的同学中，初一、初二年级各有一名学生，其余全是初三年级学生，现准备从获得一等奖的同学中随机邀请两名学生发表获奖感言．请你用列表或画树状图的方法，求出所选两名学生恰好都来自初三年级的概率． 21. 如图，已知，，将线段平移到第一象限得线段，点的横坐标为，若作直线交轴于点． （1）求线段所在直线的解析式； （2）直线上一点，求出、之间的数量关系； （3）若点在轴上，求的取值范围． 22. 自2020年以来，安宁市建起了多个“口袋公园”，它们既美化了城市空间，又拓展了市民的公共活动场所，还体现着城市风貌和文化.如图，在某小区旁有一块四边形空地，其中，，，，． （1）如图，连接AC，试求AC的长； （2）安宁市委市政府计划将其打造为“口袋公园”，经测算，每平方米的费用为2000元，请你计算将这块地打造成“口袋公园”需要多少钱？ 23. 健康中国，营养先行．每年的5月第三周是全民营养周，某校食堂在全民营养周到来之际，推出系列营养套餐，其中营养套餐的菜品如图所示． （1）该套餐中的蛋白质和脂肪这两类营养素主要来自清蒸鱼块和滑炒鸡丁，每100克清蒸鱼块和滑炒鸡丁中的蛋白质和脂肪含量如下表所示．按配餐要求，每份套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品提供的蛋白质、脂肪量应分别为31.75克和22.7克，求每份该种套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜各有多少克； 清蒸鱼块（每100克） 滑炒鸡丁（每100克） 蛋白质（克） 16 15 脂肪（克） 8 14 （2）按配餐要求，每份素炒时蔬中芹菜与西兰花共250克，已知每100克芹菜与每100克西兰花分别含有1.5克、2.5克的膳食纤维，若要使每份素炒时蔬中所含的膳食纤维不少于5克，则每份素炒时蔬中西兰花至少有多少克？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，经过轴上一点，与轴分别相交于、两点，连接并延长分别交、轴于点、点，连接并延长交轴于点，且，点的坐标为． （1）判断与轴的位置关系，并说明理由； （2）求半径； （3）若弧上有一动点，连接，过点作，垂足为，连，则的最小值是______． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，若N是直线BC下方抛物线上的一点，求面积的最大值； （3）如图②，P，Q两点在抛物线的对称轴上（点P在点Q上方），且，当与相似时，求出P，Q两点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年四川省德阳市中考数学模拟试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列整式中，当时，值为正数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，正负数的意义，解题的关键是正确代入计算，即可判断． 【详解】解：A、当时，，为负数，故不合题意； B、当时，，为正数，故符合题意； C、当时，，为负数，故不合题意； D、当时，，故不合题意； 故选：B． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法的运算法则，即可求解． 【详解】A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、运算正确； D、，故此选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类项的法则，同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法的运算法则，解题的关键是根据法则，正确计算． 3. 如图，AF是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E，若∠1=35°，则∠BAF的度数为（ ） A. 60° B. 70° C. 35° D. 17.5° 【答案】C 【解析】 【分析】先由平行线的性质可得∠FAC=∠1=35°，再根据角平分线的定义可得∠BAF=∠FAC=35°． 【详解】∵EF∥AC， ∴∠FAC=∠1=35°， ∵AF是∠BAC的平分线， ∴∠BAF=∠FAC=35°． 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义，掌握平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 4. 关于x的一元二次方程（m为常数），则该方程（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与m的取值有关 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．先计算得，即可证明，根据一元二次方程根的判别式与方程根的个数的关系，即得答案． 【详解】解：， ， ， 该方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 5. 长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（ ） A. 甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数 B. 甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数 C. 甲班视力值的众数小于乙班视力值的众数 D. 甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，极差，方差的定义分别求解即可． 【详解】解：由图可得甲班视力值分别为：； 从小到大排列为：；中位数为， 平均数为；极差为 方差为； 乙班视力值分别为：； 从小到大排列为：，中位数为 平均数为；极差为 方差为； 甲、乙班视力值的平均数、中位数、极差都相等，甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差，故D选项正确 故选：D． 【点睛】本题考查了折线统计图，求平均数，中位数，极差，方差，熟练掌握平均数，中位数，极差，方差的定义是解题的关键． 6. 若如图是某几何体的平面展开图，则这个几何体的三视图中一定没有（    ） A. 长方形 B. 圆 C. 三角形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由几何体的展开图还原几何体，三视图，掌握一些掌握几何体的特点是解题的关键 ． 根据平面展开图可确定原几何体的形状，进而判断三视图． 【详解】解：由题意知，这个几何体是圆柱， ∴这个几何体的三视图中一定没有三角形． 故选：C． 7. 如图，点E为边上一点，若，，则（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，解一元二次方程，理解题意，作出辅助线，构造相似三角形是解题关键 过点A作交延长线于点G，作点D关于的对称点F，连接，根据题意得出，设，则，，利用相似三角形的判定和性质得出，代入求解计算即可 【详解】解：过点A作交延长线于点G，作点D关于的对称点F，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， ∵对称， ∴，，， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，（负值舍去） ∴， 故选：D 8. 国际足联世界杯（FIFA World Cup）简称“世界杯”，是世界上最高荣誉、最高规格、最高竞技水平、最高知名度的足球比赛，与奥运会并称为全球体育两大最顶级赛事，影响力和转播覆盖率超过奥运会的全球最大体育盛事．已知在足球比赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队共踢了30场比赛，负了9场，共得47分，那么这个队胜了（ ） A. 10场 B. 11场 C. 12场 D. 13场 【答案】D 【解析】 【分析】设这个队胜了x场，则平了（场），根据共得47分列出关于x的方程，解之可得． 【详解】解：设这个队胜了x场，则平了（场）， 根据题意，得：， 解得：， 即这个队胜了13场， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解答本题的关键是要掌握胜的场数平的场数负的场数总得分，难度一般． 9. 如图，中，D是中点，是的中线，，则等于（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中线的性质，掌握三角形中线平分三角形的面积是解题的关键．根据中线平分三角形的面积即可求解． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵D是中点， ∴， 故选：B． 10. 如图，在中，，，，则的内切圆的半径是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质、三角形的面积，由勾股定理可得，再由，，列式计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、、， ， 在中，，，， ， ，， ， ， 故选：C． 11. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为，则下列结论中错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴判定与0的关系以及，当时，，由此可得，然后由图象与x轴有两个交点确定，由此即可求得答案． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， ，故A选项不符合题意； ∵当时，， ∴，故B选项不符合题意； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故C选项不符合题意； 对称轴为直线， ， ， 将代入， 得：，故D选项符合题意， 故选D． 【点睛】此题考查图象与二次函数系数之间的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定，也考查了二次函数图象上的点的坐标特征以及二次函数与一元二次方程的关系等相关知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决本题的关键． 12. 如图，在中，，，，为上一点，且满足，为的中点，连接交于点，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中线的性质，连接，先利用等腰三角形的性质证明点为的中点，可得为的中位线，进而得，，即得，得到，再根据已知可得，进而由中线性质得到，再由即可得到，由得到是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ， ， ， ， ， 点为的中点 ∵为中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不等于零，进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 14. 为进一步提高生态功能重要地区基本公共服务保障能力，促进长江经济带绿色低碳高质量发展．近日，省财政厅下达2025年省级重点生态功能区转移支付资金5000万元，资金总量达亿元，较上年增长．数据亿用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：亿用科学记数法表示为． 故答案为：． 15. 如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且阴影部分图形面积等于4平方厘米，则的面积为__________平方厘米 【答案】16 【解析】 【分析】三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形，且两个三角形面积相等，据此进行求解，即可得到答案． 【详解】解：点F为边的中点， ， ， ， 点D为边的中点， ， 点E为边的中点， ，， ， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了利用三角形中线求面积，解题关键是掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形，且两个三角形面积相等． 16. 设计师构思了一地标性建筑，如图，在平面直角坐标系中，有两反比例函数和，依次向上如图所示作一内角为的菱形，使顶点分别在y轴和函数图象上，请写出的坐标____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质和∠OB1A=60°，得出△OAB1是等边三角形，根据等边三角形的性质，设OC1=m,则B1C1=m，所以B1（m,m）,代入y=，求得m=1，所以A（0，2），同理，A1（0，2），A2（0，2），所以An(0,2)，即可求得An的坐标． 【详解】解：如图，过点B1作B1C1⊥y轴于C1，过点B2作B2C2⊥y轴于C2，过点B3作B3C3⊥y轴于C3， 由菱形可知：OB1=AB1， ∵∠OB1A=60°， ∴△OAB1是等边三角形， ∴OA=AB1=OB1， ∵B1C1⊥OA1， ∴OA=2OC1， 由勾股定理，得B1C1=OC1， 设OC1=m,则B1C1=m， ∴B1（m,m）,代入y=，得m=, 解得：m=1(负值舍去)， ∴OA=2m=2=2, ∴A（0，2）， 同理，设AC2=n，则B2C2=n， ∴B2(n,2+n)，代入y=，得2+n=, 解得：n=-1， ∴OA1=OA+AA1=2+2(-1)=2, ∴A1（0，2） 同理，A2（0，2）， ∴An(0,2) ∴A2022(0,2), 故答案为：(0,2) 【点睛】本题考查点的坐标规律，菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，找出点坐标变换规律是解题的关键． 17. 如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么_______°． 【答案】或或 【解析】 【分析】由是四边形的美丽线，可以得出是等腰三角形，从图，图，两种情况运用等边三角形的性质和判定，正方形的性质和判定和角的直角三角形的性质就可以求出的度数． 【详解】解：是四边形的美丽线， 是等腰三角形． ， 如图，当时， ，， 是正三角形， ． ， ， ， ． 如图，当时， ． ， 四边形是正方形， ； 如图，当时， 过点作于点，过点作于点，如图3所示， ，， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了四边形的“美丽线”的定义和性质的运用，“美丽线”的判定，等边三角形的性质和判定的运用，矩形的性质与判定，正方形的性质和判定的运用，角的直角三角形的性质的运用． 18. 在矩形中，，的半径为2，若以C为圆心作一个圆，使与相切，那么的半径为_____________． 【答案】11或15 【解析】 【分析】本题考查圆与圆之间的位置关系，矩形的性质，勾股定理，勾股定理求出的长，分两圆内切和外切，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：连接， ∵在矩形中，， ∴，即：两圆的圆心矩为13， ∴当两圆外切时，圆C的半径，当两圆内切时，圆C的半径． 故答案为：11或15． 三、解答题：本题共7小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）-6；（2）x<-1 【解析】 【分析】（1）利用有理数乘法法则，绝对值的性质，算术平方根定义及零指数幂定义分别化简，再计算加减法； （2）分别解不等式，根据不等式组解集的确定方法得到不等式组的解集． 【详解】解：（1） =-12+8-3+1 =-6； （2）， 解不等式①得x<-1， 解不等式②得x3， ∴不等式组的解集为x<-1． 【点睛】此题考查了学生的计算能力，正确掌握实数的运算法则及解不等式组的法则是解题的关键． 20. 在第个“世界读书日”到来之际，某校举办了“中国梦我的梦”征文比赛，从同学们的投稿中分别评出一等奖、二等奖、三等奖和优秀奖，并将获奖结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）这次征文比赛一共有　　　　名学生获奖，请把条形统计图补充完整； （2）在这次征文比赛获得一等奖的同学中，初一、初二年级各有一名学生，其余全是初三年级学生，现准备从获得一等奖的同学中随机邀请两名学生发表获奖感言．请你用列表或画树状图的方法，求出所选两名学生恰好都来自初三年级的概率． 【答案】（1）， 条形统计图补充如下： （2） 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据三等奖的人数以及三等奖所占的百分比即可求出这次征文比赛一共有多少名学生获奖； （2）首先求出获得一等奖的学生人数，再用列表法或树形图法列举出所有可能的结果，利用求概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：这次征文比赛获奖学生一共有（名）； 获得一等奖的人数有人； 【小问2详解】 解：由（1）知道获得一等奖的人数有人， 设初一为白，初二为黄，初三分别为红，红2， 画出树状图如下： 一共种情况，名学生都来自初三的概率是． 21. 如图，已知，，将线段平移到第一象限得线段，点的横坐标为，若作直线交轴于点． （1）求线段所在直线的解析式； （2）直线上一点，求出、之间的数量关系； （3）若点在轴上，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法，函数图象与点的平移，轴对称的性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）将点P的坐标代入直线的解析式即可解答； （3）求出直线后的直线的解析式为，进而求出，根据点A与点的坐标变化得到平移方式，从而得到点．作点关于轴的对称点，连接，交轴于，此时，最小为的长，根据两点间距离公式求出，即可解答． 【小问1详解】 解：设线段所在直线的解析式为， 将，代入中，， ， 线段所在直线的解析式为； 【小问2详解】 解：点在直线上， ； 【小问3详解】 解：设直线平移后的直线的解析式为， 点在直线上， ， ， 直线的解析式为， 点的横坐标为， ∴把代入函数，得 ∴， ， 点是点向右移动个单位，再向上平移个单位所得， 点也是由点B向右移动7个单位，再向上平移个单位所得， ， ， 作点关于轴的对称点， 连接，交轴于，此时，最小，为， ． 22. 自2020年以来，安宁市建起了多个“口袋公园”，它们既美化了城市空间，又拓展了市民的公共活动场所，还体现着城市风貌和文化.如图，在某小区旁有一块四边形空地，其中，，，，． （1）如图，连接AC，试求AC的长； （2）安宁市委市政府计划将其打造为“口袋公园”，经测算，每平方米的费用为2000元，请你计算将这块地打造成“口袋公园”需要多少钱？ 【答案】（1）25m （2）468000元 【解析】 【分析】（1）运用勾股定理求解即可得出答案； （2）由AD、CD、AC的长度关系可得△ACD为一直角三角形，AC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ACD和Rt△ABC构成，则容易求解． 【小问1详解】 ∵在中，，， ∴ 【小问2详解】 ∵在中，，， ∴ ∵ ∴ ∴为直角三角形，且 ∴ ∴所需费用为：（元） 答：将这块地打造成“口袋公园”需要468000元． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，得出△ACD是直角三角形是解题关键． 23. 健康中国，营养先行．每年的5月第三周是全民营养周，某校食堂在全民营养周到来之际，推出系列营养套餐，其中营养套餐的菜品如图所示． （1）该套餐中的蛋白质和脂肪这两类营养素主要来自清蒸鱼块和滑炒鸡丁，每100克清蒸鱼块和滑炒鸡丁中的蛋白质和脂肪含量如下表所示．按配餐要求，每份套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品提供的蛋白质、脂肪量应分别为31.75克和22.7克，求每份该种套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜各有多少克； 清蒸鱼块（每100克） 滑炒鸡丁（每100克） 蛋白质（克） 16 15 脂肪（克） 8 14 （2）按配餐要求，每份素炒时蔬中芹菜与西兰花共250克，已知每100克芹菜与每100克西兰花分别含有1.5克、2.5克的膳食纤维，若要使每份素炒时蔬中所含的膳食纤维不少于5克，则每份素炒时蔬中西兰花至少有多少克？ 【答案】（1）每份该种套筤中清蒸鱼块有100克，滑炒鸡丁有105克 （2）每份素炒时蔬中西兰花至少有125克 【解析】 【分析】题目主要考查二元一次方程组及不等式的应用，理解题意，列出相应的方程及不等式是解题关键． （1）设每份该种套餐中清蒸鱼块有x克，滑炒鸡丁有y克，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设每份素炒时蔬中西兰花有m克，根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每份该种套餐中清蒸鱼块有x克，滑炒鸡丁有y克， 根据题意，得 解得 答：每份该种套筤中清蒸鱼块有100克，滑炒鸡丁有105克； 【小问2详解】 解：设每份素炒时蔬中西兰花有m克， 根据题意，得 解得 所以，m的最小值为125． 答：每份素炒时蔬中西兰花至少有125克． 24. 如图，在平面直角坐标系中，经过轴上一点，与轴分别相交于、两点，连接并延长分别交、轴于点、点，连接并延长交轴于点，且，点的坐标为． （1）判断与轴的位置关系，并说明理由； （2）求半径； （3）若弧上有一动点，连接，过点作，垂足为，连，则的最小值是______． 【答案】（1） 与轴相切．理由如下： 如图中，连接． ，， ， ，即轴． 又是半径， 与轴相切； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，可得是的中位线，则，则轴，即可证明切线； （2）如图1中，过点作轴于点，则，则，过点作于点，可得，，设，则，对运用勾股定理建立方程求解； （3）如图中，取的中点，连接，，设，由两点间距离公式求解，由中点坐标可得，连接，则，那么由勾股定理得，，由直角三角形斜边中线可得，由两点间距离公式求解，再根据即可求解最值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：如图中，过点作轴于点， 则． 又，， ， ， 过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， ， 用勾股定理可得： 解得； 【小问3详解】 解：如图中，取的中点，连接，． 设， ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴， ∵是中点， ∴， 连接， ∵为的中点，经过圆心， ∴， ∴，， ， ， ，， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，三角形中位线定理，垂径定理的推论，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，若N是直线BC下方抛物线上的一点，求面积的最大值； （3）如图②，P，Q两点在抛物线的对称轴上（点P在点Q上方），且，当与相似时，求出P，Q两点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）P，Q两点的坐标分别为，或， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）在BC下方抛物线上取一点N，过点N作轴，与直线BC交于点F，连接BN，CN；用待定系数法求出直线BC的解析式为；设，其中，则，从而求得，用代数式表示出的面积，利用二次函数即可求得其最大值； （3）由B，C两点的坐标得是等腰直角三角形，由得是等腰直角三角形，从而可求得其三边长，分∽及∽两种情况考虑，即可求解． 【小问1详解】 解：将，两点代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图③，在BC下方抛物线上取一点N，过点N作轴，与直线BC交于点F，连接BN，CN， 在中，令，则， ∴． 设直线BC的解析式为， 将，两点代入， 得，解得， ∴直线BC的解析式为． 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为． 【小问3详解】 解：如图④，连接AP，AQ． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设对称轴与x轴的交点为M． ∵，， ∴， ∴，即是等腰直角三角形； 由勾股定理得：； 在中，，． ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，． 若∽，则， ∴，解得， ∴， ∴，． 若∽，则， ∴，解得， ∴， ∴，． 综上所述，当与相似时，P，Q两点的坐标分别为，或，． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，有一定的综合性，灵活应用是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $