专题三：函数 讲义-2025届高三数学二轮复习

专题三: 函数 考点一: 指对运算 1.【解答】解: 由题意得, , 所以 ,则 . 故选: . 2.【解答】解: ,可得 , . 故选: . 3.【解答】解: 由题意可得, , 又因为 ,所以 ,所以 ,即 ,所以 . 故选: . 4.【解答】解: 因为 所以 , ,所以 ,即 , 所以 . 故选: . 5.【解答】解: 由 得 ,所以 . 故选: . 6.【解答】解: 由题设 ,则 且 ,所以 ,即 ,故 . 故答案为: . 考点二: 函数图像 7.【解答】解: 函数 有 2 个零点:0,2,排除选项 ; 当 时, ,排除 ,故选: . 8.【解答】解: 因为 ,所以 为奇函数,图象关于原点对称,排除 ,因为 , 时, ,所以排除 . 故选: . 9.【解答】解: 根据题意,由函数的图象可得: 的定义域为 ,在 上为减函数,在 上先单调递增, 再递减; 依次分析选项: 对于 ,要使函数 有意义,则 ,即 ,所以 或 或 或 ,所以函数 的定义域为 , 不正确; 对于 , ,而已知函数 图象过原点, 不正确; 对于 ,对于函数 ,则 ,当 时, ,则函数 在 上单调递增,不符合题中图象, 不正确,对于 ,对于函数 , 定义域为 ,且 , ,当 时, ,当 时, ,当 时, ,所以函数 在 上单调递减,在(-1,1)上单调递增,在 上单调递减,符合图象,故 正确. 故选: . 10.【解答】解: 函数 ,其定义域是 ,关于原点对称, ,所以函数是奇函数, 故排除 ; 因为当 时, ,而 ,故排除 . 故答案为: . 11. 【解答】解: 根据题意,函数 ,因为 ,故 错误; 又因为 ,故函数 的图象关于 对称,故 错误; 当 趋近 2 时, 趋近 趋近 0,所以 趋近正无穷,故 错误. 故选: . 12. 【解答】解: 根据题意, ,其导数 则有 ,即函数 为奇函数,排除 ; 在区间 上, ,则 ,排除 ; 故选: . 13.【解答】解: 函数过定点(0,2),排除 . 函数的导数 ,由 得 ,得 或 ,此时函数单调递增,由 得 ,得 或 ,此时函数单调递减,排除 ,也可以利用 ,排除 ,故选: . 14.【解答】解: 由图象可知, 图象关于 轴对称,为偶函数,故 错误,当 时, 恒大于 0,与图象不符合,故 错误. 故选: . 15.【解答】解: 对于 ,当 时, ,易知 ,则 ,不满足图象,故 错误; 对于 ,定义域为 ,又 ,则 的图象关于 轴对称,故 错误; 对于 ,当 时, ,由反比例函数的性质可知, 在 上单调递减,故 错误; 检验选项 , 满足图中性质,故 正确. 故选: . 16.【解答】解: 根据题意, 依次分析选项: 对于 ,定义域 ,有 为偶函数,在区 间 上, ,则 ,不符合 题意; 对于 ,其定义域为 ,有 为奇函数,不符合题意; 对于 ,其定义域为 ,有 为奇函数,不符合题意; 对于 ,其定义域为 ,有 为偶函数,在 区间 上, ,则 ,符合题意; 故选: . 17.【解答】解: 方法一: 因为 ,即 , 所以 ,所以函数 的定义域为 (-2,2),关于原点对称,又 , 所以函数 是奇函数,其图象关于原点对称, 故排除 ; 当 时, ,即 , 因此 ,故排除 . 故选: . 方法二: 由方法一,知函数 是奇函数,其图象关于原点对 称,故排除 ; 又 ,所以排除 . 故 选: . 考点三:指对比大小 题型1: 中间量法比大小 18.【解答】解: 根据题意, ,则有 . 故选: . 19.【解答】解: 因为 , 因为 在 上单调递增,所以 , 又因为 ,所以 . 故选: . 20.【解答】解: 由 , ,即 . 故选: . 21.【解答】解: 由题意得函数 在 上单调递增, 因为 ,所以得: . 故选: . 22.【解答】解: 在 上单调递增, , ,故 . 综上, . 故选: . 题型 2: 放大镜法比大小 23.【解答】解: 因为 ,所以 , ,所以 ,所以 . 故选: . 24.【解答】解: 由 在 上单调递增,可得 ,又 ,则 . 由 在 上单调递增,可得 . 由 在 上单调递增, 可得 . 所以 ,故选: . 题型3: 对数型糖水不等式 25.【解答】解; , . 故选: . 26.【解答】解: 由 , , . 故选: . 题型 4: 与奇偶结合的指对比大小 27.【解答】解: 因为函数 是 上的偶函数,所以 函数 的对称轴为直线 ,又因为对任意 , ,且 都有 成立. 所以函数 在 上单调递增. 而 , 所以 ,所以 , 因为函数 的对称轴为直线 , 因为 ,所以 ,所以 ,所以 . 故选: . 28.【解答】解: 的定义域是 , 因为 ,所以 是奇函数. 当 时, ,所以 在 上单调增. ,由于 ,所以 ,即 . 故选: . 29.【解答】解: 因为 为奇函数,则 ,所以 , 故 为奇函数,当 时, , 则 所以 为增函数,结合 为奇函数,所以 在 上是增函数,由于 ,所以 ,所以 , ,所以 , 所以 ,即 . 故选: . 30.【解答】解: 不妨设 ,则 , 即 ,同理,当 时,有 , 由此可得函数 是 上的减函数,又 为奇函数,则 ,所以函数 为偶函数,所以 , 因此 , 所以 ,即 . 故选: . 31.【解答】解: 根据题意, 为偶函数,则 , 又由 为偶函数,则 ,则有 ,故 , ,又由当 时, 是减函数,则 ,即 . 故选: . 考点四: 函数奇偶性 题型 1: 判断奇偶性 32.【解答】解: ,定义域为 , ,则 不符合题意; , ,定义域为 , ,即 为偶函数,符合题意; ,由题意得, ,定义域关于原点不对称,函数为非奇非偶函数,不符合题意; ,函数定义域为 ,即 为奇函数,不符合题意. 故选: . 33.【解答】解: 对于 ,定义域为 , 是奇函数; 对于 ,定义域为 ,不关于原点对称, 是非奇非偶函数; 对于 ,定义域为 , 是偶函数; 对于 ,定义域为 是奇函数. 故选: . 题型 2: 已知奇偶性求解析式 34.【解答】解: 设 ,则 , 设 为奇函数, , 即 . 故选: . 35.【解答】解: 由 是定义域为 的奇函数,可得 ; 由 是定义域为 的偶函数,可得 . 若 ,则 , ①又 . ② ①+②可得 ,即有 . 故答案为: . 36.【解答】解: 函数 分别是定义在 上的偶函数和奇函数,且 , 所以 ,因为 为偶函数,图象关于 轴对称,所以 的图象关于 对称,又 图象也关于 对称,所以 的图象关于 对称,若 有唯一零点,则必有 , ,解得 或 . 故答案为: -1 或 . 题型 3: 已知奇偶性求参数值 37.【解答】解: 函数 是偶函数, 为 上的奇函数,故 也为 上的奇函数, 所以 ,所以 . 法二: 因为函数 是偶函数,所以 ,即 , 即 , 即 ,所以 . 故答案为: 1 . 38.【解答】解: , 若 ,则函数 的定义域为 ,不关于原点对称, 不具有奇偶性, ,由函数解析式有意义可得, 且 且 函数 为奇函数, 定义域必须关于原点对称, ,解得 , ,定义域为 且 ,由 得, ,故答案为: . 39.【解答】解: 根据题意, 设 定义域为 ,若 为偶函数,则 ,变形可得 ,必有 . 故答案为: 2 . 40.【解答】解: 的定义域为 ,又 为偶函数, , . 故选: . 41.【解答】解: 由 ,得 或 ,由 是偶函数, , 得 , 即 , 即 , 则 , ,得 ,得 . 故选: . 考点五: 周期性 42.【解答】解: 因为 为奇函数,所以 关于点 (-1,0)中心对称,又 为偶函数,所以 关于直线 对称,所以 为周期函数且周期 , , . 故选: . 43.【解答】解: 由 关于(1,0)中心对称,可得 ,即为 ,即有 ,即 为奇函数,故 错误; 由 是偶函数,可得 ,即为 , 所以 ,则 ,所以 的周期为 4,故 错误; 由 ,故 错误; 由 ,可得 为奇函数, 故 正确. 故选: . 44.【解答】解: 因为 的图象关于 对称,所以 ,于是 ,又 是定义在 上的奇函数,所以 ,则 , 即 ,所以 的周期为 4,所以 ,又因为 是定义在 上的奇函数,所以 . 故选: . 45.【解答】解: 函数 是偶函数,所以 关于直线 对称, 选项正确. 由于函数 是奇函数, 所以 关于(2,0)对称, 选项错误. 则 关于(0,0)对称, 是奇函数,由于 ,所以 是周期为 4 的周期函数. 当 时, ,由 的周期性可知,两个函数有 3 个交点,则 有 3 个解, 选项 正确. , ,所以 ,所以 ,所以 选项错误. 故选: . 46.【解答】解: 因为函数 是定义在 上的偶函数, 所以 关于 对称,则 ,又 ,所以 ,即 ,变形可得 ,则函数 的周期为 4, 取 ,则 ,则有 , 所以 ,则 选项正确, 选项错误; 由已知条件不能确定 (1) 的值, 选项错误. 故选: . 考点六:函数零点 题型 1: 函数零点之 型 47.【解答】解: 当 时, ,当 , 1) 时, ,函数 单调递增; 当 时, ,函数 单调递减,且 , 当 时, ,其图象可以由 的图象向左平移一个单位,再向下平移 个单位,再把 轴上方的图象翻折到 轴下方得到,作出函数图象,如图所示: ,当 时, ,无零点; 当 时, ,即 ,函数 有两个零点,即函数 与函数 的图象有两个交点, 根据图象知: 或 ,解得 或 . 故实数 的取值范围是 . 故答案为: . 48.【解答】解: 当 时,令 , 即 ,所以 ,又因为 , 所以当 ,即 时, 无解; 则 有三个解,又因为 至多两个解,所以 不满足题意; 当 ,即 时, 方程 有一个解, ; 此时 等价于 ,解得 (舍去 ), 所以函数 只有 2 个零点,不满足题意; 又因为当 趋于 1 时, 趋于 2,所以当 ,即 时, 方程 有两个解,所以此时只需 只有一个大于或等于 1 的根据即可,因为 ,即为 ,解得 或 , 所以 ,解得 ,所以 ；当 , 即 时,方程 只有一个解,所以此时方程 必有两个根 ,设 ,所以 ,解得 ,所以 ,综上, 的取值范围为 . 故答案为: . 题型 2: 函数零点之 型 49. 【解答】解: 因为关于 的方程 有且只有 2 个不同的解,所以 的图象与直线 有两个不同的交点,又 及 的图象如图所示: 当 , 的图象与直线 相切时,设切点为 ,从而 ,解得 , . 所以,当 时, 的图象与直线 有两个不同的交点,只需满足 . 当 , 的图象与直线 相切时,设切点为 ,从而 ,解得 , . 所以,当 时, 的图象与直线 有两个不同的交点,只需满足 . 综上, , . 故答案为: . 50.【解答】解: 因关于 的方程 恰有两个互 异的实数解,则 有两个不同的 实根且 无实根, 或 与 , 各有一个实根, 或 无实根且 有两个不同的实根, 当 时, ,函数 为增函数, 则函数 在 上最多一个零点, , 有两个不同的实根不成立,当函数 在 上有一 个零点时,必有 ,即 , 因此,当 时,函数 在 上确有一个零点,方程 必有一个实根,当 时, 函数 ,而函数 对称轴 ,即 在 上单调递减,又 ,即 在 上必有一个零点,因此,方程 必有一个实根,于是当 时, 与 各有一个实根, 若方程 无实根,必有 ,此时方程 有两个不同的实根,函数 在 上有两个零点,当且仅当 于是当 时, 有两个不同的实根且 无实根,综上,当 或 时,方程 恰有两个互异的实数解,所以实数 的取值范围是 , . 故选: . 51.【解答】解: 由函数 ,大致图象如下: 讨论: 当 时,显然不成立; 当 时,令 , 则当直线与半圆 相切时,可得 ,解得 ,令直线 与曲线 的切点为 ,可得 , 解得 ; 当直线过(1, e)端点时,可得 ; 综上可得实数 的取值范围是 . 52.【解答】解: 因为函数 恰有 4 个零点,所以 的图象与 的图象有四个交点,当 时,如图所示, 的图象与 的图象仅有两个交点,与题意不符; 当 时,如图所示, 在 上,当 与 相切时, 联立 ,得 ,则 ,得 (舍去 ), 由图可知,当 时, 与 在 有一个交点,在 有两个交点,与题意不符,所以当 时, 与 在 无交点,在 有两个交点,与题意不符,当 时, 与 在 无交点,在 有三个交点,与题意不符, 当 时, 与 在 无交点,在 有四个交点,符合题意; 当 时,如图所示, 在 上,当 与 相切时,联立 ,得 ,则 ,得 (舍去 ), 由图可知,当 时, 与 在 有两个交点,在 有四个交点,与题意不符,当 时, 与 在 有两个交点,在 有三个交点,与题意不符,当 时, 与 在 有两个交点,在 有两个交点,符合题意, 当 时, 与 在 有一个交点,在 有两个交点,与题意不符. 综上所述, , 2). 故答案为: . 53.【解答】解: 方程 ,即 ,结合 ,得 ,原方程可化为 ,① 时,原方程变为 , 只有一个实数根,不符合题意; ② ,记 , 的图象是开口向下的抛物线,函数的最大 值 ,因为 在 上是 减函数,在 上是增函数,所以 的最小值为 ,结合图象可知: 此时 与 的图象有两个交点,符合题意; ③ ,则 , 在 上是减函数,在 上是增函数, 的最小值为 的图象是开口向上的抛物线,函数 的最小值 , (i) 当 时,即 时,函数 的最小值 ,观察图象可知: 此时 与 的图象有两个交点,符合题意; (ii) 当 时,函数 的最小值 ,方程 即 的根的判别式 ,且方程 即 的根的判别式 , 结合 与 都在 处取最小值,可知 与 的图象不止有两个交点,不符合题意. 综上所述, 或 ,即实数 的取值范围是 , . 故答案为: . 54.【解答】解: 因为 有且只有三个不相等的实数根,所以 与 图象有三个交点, 画出 与 的大致图象, 当 与 相切时, 由 ,可得 ,所以 或 (舍去),当 过 时, ,由图象可知, 时,两图象有三个交点,所以若方程 有且只有三个不相等的实数解,则实数 的取值范围是 . 故选: . 55.【解答】解: 依题意画出 的图象如图所示: 因为函数 ,所以 , 当直线 与 相切时, 由 ,得 , ,解得 ,由图可知,①当 时, 函数 的图象与 的图象无交点,不满足题意; ② 当 时,函数 的图象与 的图象交于点(1,0), 不满足题意; ③ 时,当 经过函数 图象上的点(2,1)时,恰好经过函数 图象上的点(3,0),则要使方根 恰有 2 个不同的实数根, 只需 ,即 ,故 ; ④ 当 时,函数 的图象与 的图象有 3 个交点, 不满足题意; ⑤当 时,函数 的图象与 的图象有 2 个交点, 满足题意. 综上, 或 . 所以 的取值范围为: . 故答案为: . 题型3: 函数零点之嵌套函数为具体函数型 56.【解答】解: 因为 , 所以 ,则函数 恰有 2 个零点等价于 有两个不同的解,故 的图象有两个不 同的交点,设 , 又 的图象如图所示,由图象可得两个函数的图象均过原点,当 时,考虑直线 与 的图象相切,则由 可得 ,即 ,考虑直线 与 的图象相切,由 可得 ,则 ,即 . 考虑直线 与 的图象相切,由 可得 ,则 , 即 ,结合图象可得当 或 时,两个函数的图象有两个不同的交点,综上, 或 . 故答案为: . 57.【解答】解: 由题意可得 . 当 时, 当 在 上存在 2 个零点时, ,解得 ; 当 在 上存在唯一零点时, ,解得 ; 当 在 上不存在零点时, 无解. 当 时, ,则 , 当 时, 在 单调递增, (1) ,由 ,则 在 上存在唯一零点,此时符合题意; 当 时,令 ,解得 , 当 时, ,则 单调递增,当 时, ,则 单调递减, 所以 ,令 ,解得 ,当 时, 在 上存在唯一零点,此时符合题意; 当 时, ,此时符合题意; 当 时, , ,由 ,则 在 存在 2 个零点,此时不合题意; 当 时, ,则 在 不存在零点,此时不合题意. 综上所述, 或 . 故答案为: 或 或 . 58.【解答】解: 令 ,由对勾函数的性质可知: 对于一个确定的 值,关于 的方程 最多两个解, 画出 的图象如下: 故 值域为 , 作出函数 的图象,如下: 令 ,解得: , 令 ,解得: ,令 ,解得: ,当 时,存在唯一的 ,使得 ,此时方程 有两解; 当 时,存在 使得 ,此时方程 有三解,其中 时, 有 1 个解,即 时,有 2 个解; 当 时, 存在 使得 , 此时方程 有四解, 时,无解, 时,有 2 个解, 时,有 2 个解; 当 时,存在 使得 ,此时方程 有七解, 时,有 1 个解,即 时,有 2 个解, 时,有 2 个解, 时,有 2 个解; 当 时,存在 , 使得 ,此时方程 有八个解,当 时,有 2 个解, 时,有 2 个解, 时,有 2 个解, 时,有 2 个解; 当 时,存在 , 使得 ,此时方程 有六解,当 时,有 2 个解, 时,有 2 个解, 时,有 2 个解; 当 时,存在 , 使得 ,此时方程 有四解, 当 时,有 2 个解, 时,有 2 个解; 综上: 实数 的取值范围是(1,2). 故答案为:(1,2). 题型 4: 函数零点之嵌套函数为抽象函数型 59.【解答】解: 当 且 时, ,当 且 时, ; 当 时, 故 在 上单调递减,在 上单调递增,当 时, 取得极小值 ,当 时, 时, ,由 解析式可知, 为奇函数,画出 图象大致如下: 令 得 ,设 ,得关于 的方程 恒成立,设 式有两个不等实根 ,当 时,即 ,满足题意,当 或 时,满足题意, 令 ,则 或 ,解得 或 ,故实数 的取值范围是 . 60.【解答】解: 当 时, 单调递减,图象为以 和 轴为渐近线的双曲线的一支; 当 时,有 , 可得 在 单调递减,在 单调递增且 ,画出图象如下: 由题意, 有唯一解,设 ,则 ,(否则至少对应 2 个 ,不满足题意),原方程化为 ,即 ,该方程存在唯一解 ,且 . 转化为 与 有唯一公共点, 且该点横坐标在 ,画图如下: 情形一: 与 相切,联立得 ,由 解得 ,此时 满 足题意: 情形二: 与 有唯一交点,其中一个边界为 (与渐近线平行),此时交点坐标为(-1,0),满足题意; 另一个边界为 与 相切,即过点(0, - 1) 的切线方程,设切点为 ,则 ,解得 ,所以求得 ,此时左侧的交点 横坐标为 满足条件,右侧存在切点 ,故该边界无法取到; 所以 的范围为 . 综上, 的取 值范围为: 或 . 故答案为: 或 . 61.【解答】解: 由题意设 , ,由此可知 的对称轴均为 ,且当 时, 单调递减, 单调递增, 当 时, 单调递增, 单调递减,且 由此可以画出这两函数的大致图像如图所示: 所以 ,所以直线 与函数 至多有 4 个不同的交点,关于 的方程 至多有 2 个不同的根,由题意若关于 的方程 有 8 有 8 个相异实根,则当且仅当两个关于 的方程 共有 8 个不同的根,其中 , 是关于 的 方程 的两个根,令 ,则关于 的方程 有两个不同的根 , 即 有两个不同的根 ,设 ,由对勾函数性质得,当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,所以 ,所以 有两个不同的根 , 当且仅当 ,综上所述: 实数 的取值范围是 . 故答案为: . 题型 5. 零点之二次函数讨论之根的分布 62.【解答】解: 设 ,对于方程 的根的判别式,有以下两种情况: (1) 当 ,即 时, 恒成立,所以 . 因为 有两个零点,所以 且 ,解得 或 (舍), 综上所述,当 时,满足 或 ; (2)当 ,即 或 时,设 的两个根为 ,且 ,当 时, 恒成立,不满足题意,当 时, 关于 的方程 有两个解,因为 , 可知 ,所以 与 的图象在 上必有一个交点,当 时, 与 的图象没有交点, 当 时, , 所以 与 的图象在(n,0)内必有一个交点,因此, 要使方程 有且只有两个零点,则 没有实数根,即方程 没有实数根,可得 ,解 得 ,结合 ,可得 . 综上所述,满足条件的实数 的取值范围为 . 故答案为: . 63.【解答】解: 由于 当 时,方程有 3 个不相等的实数根, 在 上递 增,所以 时, 有 1 个根,且 时, 有 2 个根, 所以 ,解得 . 由于 ,则 , ,又 , ,所以 当 时,当 时,方程 的判别式 ,所以此时不符合题意. 当 时, ,不符合题意. 综上所述, 的取值范围是 . 故答案为: . 64.【解答】解: 当 时, ,当 时, 取得最小值 0 ; 当 时, , 当 时,可得 , 当 时, , 当 时, ,当 时,取得最小值 0,此时 ; 当 时, , 由题意可得 恒成立. 则 的取值范围为 . 故答案为: . 65.【解答】解: ①当 时, ,不满足题意; ②当方程 满足 且 时,有 即 , ,此时, ,当 时,不满足,当 时, ,满 足: 时, , 记 的两根为 ,不妨设 , 时, 且 ,但此时 ,舍去 , ,且 , 但此时 ,舍去 , 故仅有 1 与 -1 两个解,即 有且仅有两个零点,当 时, 有 ,舍去 , 舍去 ,故仅有 和 两个解,即 有且仅有两个零点,综上, . 故答案为: . 66.【解答】解: 当 时,只要 ,就有 故 在 上至多可能有 1 个零点,从而在 上至多可能有 1 个零点,不满足条件; 当 时,有 ,所以 在 上没有零点. 而若 ,则只可能 ,所以 在 上至多可能有 1 个零点. 故 在 上至多可能有 1 个零点,从而在 上至多可能有 1 个零点,不满足条 件; 当 时,解 ,可得到 , 且由 知 ,从而 为 在 上的一个零点. 再解方程 ,即 , 可得两个不同的实数根 ,而 故 为 在 上的一个零点,而当且仅当 时,另一根 是 在 上的一个零点. 条件为 在区间 内恰有 2 个零点,从而此时恰有两种可能: 或 ,解得 ; 当 时,验证知 恰有两个零点 和 4,满足条件. 综上, 的取值范围 . 故答案为: (注:本解析中,“至多可能有 1 个零点” 的含义是 “零点个数不超过 1 ”, 即不可能有 2 个不同的零点, 并不意味着零点一定在某些时候存在 1 个) 67.【解答】解: 函数 的定义域为 , 当 时, ,当 时, ,当 时, ,此时函数 无零点; 当 时, , 当 时,若 ,则 ,于是 ,若 , 函数 的图象对称轴 ,此函数在 上单调递增, , 即当 且 时, ,函数 无零点; 于是只有 当 且 时,函数 才有零点, 当 ,即 时, 当 时,函数 ,当 时, , 当 时, 取得最小值,而当 时, ,显然当 ,即 时,函数 有两个零点,要使函数 恰有 4 个零点, 必有 ,当 时,函数 的对称轴 , 则函数 在 上单调递减,在 上单调递增,显然 而 ,因此函数 在 上各有一个零点,所以实数 的取值范围是(1,2). 故答案为:(1,2). 68.【解答】解:由题因为函数 有四个零点,显然 ,则 和 都是函数的零点,除此之外还有两个零点, 当 且 时,令 ,可得 ,设 ,则直线 和曲线 有两个交点, ① 当 时, , 故当 趋近于 0 时, 趋近于 0,则 , 令 ,解得 ,令 ,解得 或 ,② 当 时, ,故当 趋近于 3 时, 趋近于 ,令 ,解得 或 , 令 ,解得 ,综上,函数 在 , 上单调递减,在 上单调递增, 又 , 作出 大致图象如下, 要想直线 和曲线 有两个交点,则需满足 或 或 , 因此 . 随堂练习 1.【解答】解: 由题设 ,则 且 ,所以 ,即 ,故 . 故答案为: . 2.【解答】解: 由题意得 恒成立,即 恒成立,所以 恒成立, 所以 恒成立,整理得 . 故选: . 3.【解答】解: ,则 ,则函数 是偶函数,图象关于 轴对称,排除 ,当 ,且 ,排除 , 故选: . 4.【解答】解: 根据题意, 可得 ,因为 在 上是增函数,且 , 所以 ,即 ,可得 . 当 时,函数 ,在 上是减函数,所以 ,即 ,可得 . 故选: . 5.【解答】解: 因为 为奇函数,图象关于原点对称,所以 的图象关于(1, - 1)对称,所以 . 故选: . 6.【解答】解: 由 ,得 ,因为 ,令 ,得 , 得 ; 令 ,得 (3) (2),得 ；令 ,得 ,得 , 在 中,令 ,得 令 ,得 ; 令 ,得 . 在 中, 令 ,得 ; 令 ,得 , 依此类推,可得 ” ),因此 , ,综上可知 . 故答案为: -2 . 7.【解答】解: 根据题意,因为函数 为奇函数,所以有 ,又因为 为偶函数,所以 ,于是有 ,所以函数 的周期为 4,因为 , 所以 ,所以 (4) ,于是 ,选: . 8.【解答】解: 令 ,解得 ,然后逐项代入,推得 . 故选: . 9.【解答】解: 作出函数 的图象,如右图: 方程 恰有三个不同实数根,等价为 与 的图象有 3 个交点. 的图象恒过定点(-2,0), 当 时, 与 相切,设切点为 , ,可得 ,且 ,可化为 , 设 ,可得 , 在 递增,且 ,则 ,此时 与 的图象有 2 个交点,又 的图象经过 ,可得 ,即有 ,则 时, 与 的图象有 3 个交点; 当 时, 经过点(1,2),即有 ,解得 ,由 ,可得 , 由 与 相切,可得 ,解得 , 由图象可得, 时, 与 的图象有 3 个交点; 当 时, 与 的图象只有 1 个交点. 综上,可得实数 的取值范围是 , . 故选: . 10.【解答】解: 因为 , 所 以 为偶函数,当 时, , 令 ,则可作出 的草图,如图所示: 因为关于 的方程 有 8 个不同的实数根,所以方程 在区间(1,3)内有两个不相等的实数根. 令 , 则 ,解得 . 选: . 11. 【解答】解: 当 时, , 恒成立, 单调递减,且 , ,此时 有且只有一个零点; 当 时, 单调递增,且 , ,此时 有且只有一个零点, 当 时, 有 5 个零点,即方程 在 上有 5 个实根, 则 ,即 . 12.【解答】解: 对于①: ,故① 正确; 对于②: 由上可知要使得 恒成 立,只需满足 时, 成立,即 即成立,令 , 得 , 所以在 上 单调递增, 在 上 单调递减, 在 上 单调递增, 所以当 时有极大值 ,故②错误; 对于③: 作出函数图象: 由图知,要使得方程 有三个不同的实数根, 则 ,即 ,故③正确; 对于④: 由 可知函数在 上的函数图象可由 上图象向右平移一个单位长度,再将所有点的横坐标不变,纵坐标为原来的 倍,由于 的对称轴为 ,所以 的两根之和为 ,同理可得 的两根之和为 的两根之和为 ,所有根之和为 ,故④错误,故选: . 13.【解答】解: 根据题意,可得 ,令 ,即 . ①当 时, ,有 ,则 , 不符合题意,舍去; ② 当 时,由 ,可得 或 ,则 , 即函数 与函数 ,有唯一公共点,当 时,则 ,则 ,即 , 整理得 , 当 时,即 ,即 , 当 或 (正值舍去),当 时, 或 ,有两解,不符合题意,舍去,综上所述,当 时, 在 时有唯一解,因此,当 时,方程 在 时需无解,当 ,且 时,由函数 关于 对称,令 ,可得 或 ,且函数 在 上单调递减,在 上单调递增, 令 ,即 ,故 时, 图案为双曲线 右支在 轴上方部分向右平移 所得,由双曲线 的渐近线方程为 ,即 部分的渐近线方程为 , 其斜率为 2,又 ,即 在 时的斜率 ,令 ,可得 或 (舍去),且函数 在 上单调递增,故有 , 解得 ,故 符合要求; ③当 时,则 , 即函数 与函数 有唯一交点,由 ,可得 或 ,当 时,则 ,则 ,即 ,整理得 当 时,即 ,即 , 当 (负值舍去) 或 , 当 时, 或 ,有两解, 舍去,即当 时, 在 时有唯一解,则当 时, 在 时需无解,当 ,且 时,由函数 关于 对称,令 ,可得 或 . 且函数 在 上单调递减,在 上单调递增,同理可得: 时, 图像为双值的 左支的 轴上方部分向左平移 所得, 部分的渐近线方程为 ,其斜率为 -2,又 , ,即 在 时的斜率 , 令 ,可得 或 (舍去),且函数 在 上单调递减,故有 ,解得 , 故 符合要求; 综上所述, . 故答案为: . 14.【解答】解: 当 时, , 单调递增, ,作出 的图象: 令 ,函数 恰有 4 个零点等价于函数 与函数 的图象恰好有 4 个交点. ①当 时, ,如图, 显然,函数 与函数 的图象不可能有 4 个交点,不符题意; ② 当 时,如图, 要使函数 与函数 的图象恰好有 4 个交点,则 , 则 ; ③ 当 时,如图, 要使函数 与函数 的图象恰好有 4 个交点,则 与 在 时有两个交点,即 有两个正实数根,即 有两个正实数根, 令 ,则 与 在 时图象有两个交点, ,令 ,则 在 时单调递增, , 当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增, 如图: . 综上所述, . 故答案为: . 15.【解答】解: 若函数 恰有 4 个零点,则 有四个根, 即 与 有四个交点,当 时, 与 图象如下: 两图象只有两个交点,不符合题意,当 时, 与 轴交于两点 ,图象如图所示, 当 时,函数 的函数值为 ,当 时, 函数 的函数值为 ,所以两图象有 4 个交点,符合题意,当 时, 与 轴交于两点 , ,在 内两函数图象有两个交点,所以若有四个交点,只需 与 在 还有两个交点,即可,即 在 还有两个根,即 在 还有两个根,函数 ,(当且仅当 ,即 时,取等号),所以 ,且 ,所以 , 综上所述, 的取值范围为 . 故选: . 16.【解答】解: 在区间 内恰有 6 个零点,又因为二次函数最多有两个零点, 当 时, 至少有四个 根, , 令 ,即 ,又 , ,即 , ① 当 时, 有 4 个零点,即 有 5 个零点,即 有 6 个零点,即 ② 当 时, , ,解得 ,当 时, 无零点,当 时, , 有 1 个零点,当 时, , 的对称轴 ,即 在对称轴的左边, 当 时,即 有两个零点,当 时,即 有 1 个零点,综合①②可得,若函数 在区间 内恰有 6 个零点,则需满足: 解得 . 故选: . ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题三: 函数 题型预测 由于函数知识点较多, 我们结合这几年天津所有高考真题和模拟题, 我们把经常考的题型进行了详细的总结和划分, 尤其是比较难的零点问题, 很多同学感觉自己做不出来, 但是我想告诉你, 不要怕, 所有题型都是有规律可循的, 只要总结出规律并熟悉解题方法都可以解决, 就算是 2023 年和 2024 年零点问题, 现在我们也是有方法快速秒杀. 考点一: 指对运算 1. 若 ,则 ( ) A. -2 B. C. D. 1 2. (2024・和平区模拟) 若 ,则 等于 ( ) A. B. 6 C. D. 3 3. (2025・河西区一模) 已知 ,则 的值为 ( ) A. 36 B. 6 C. D. 4. 已知 ,则 ( ) A. B. C. D. 5. (2025・北辰区) 设 ,则 ( ) A. B. C. D. 技巧解密: 函数图像 一技巧总结一 ①: 求定义域 ②: 求奇偶性 ③: 求特殊值 ④: 看趋势 趋近无穷,或者趋近零的函数值) 6. (2024・红桥区二模) 已知 ,则 _____. 考点二: 函数图像 7. (2024・红桥区二模) 函数 的图象大致是( ) A. B. C. D. 8. (2024・天津模拟) 函数 的图象大致为( ) A. C. D. 9. (2024・河西区模拟) 如图是下列四个函数中某一个的部分图象, 则该函数为( ) A. B. C. D. 10. 函数 的部分图像大致为( ) A. B. C. D. 11. (2024・红桥区一模) 已知函数 ,则 的图象大致为( ) A. B. D. C. 12. (2024・河北区模拟) 函数 的导函数为 , 则导函数 的部分图象大致是 ( ) C. A. B. D. 13. (2018・新课标III) 函数 的图象大致为( ) A. B. C. D. 14. (2023・天津) 已知函数 的部分图象如图,则 的解析式可能为( ) A. B. C. D. 15. (2024・北辰区校级模拟) 已知函数 的部分图像如图所示,则 的解析式可能为 ( ) A. B. C. D. 16. (2024・南开区校级模拟) 已知函数 的部分图象如图所示,则它的解析式可能是 ( ) A. B. C. D. 17. (2024・天津模拟) 函数 的大致图象是( ) A. B. C. D. 考点三:指对比大小 技巧解密: 中间量法比大小 一技巧总结一 ①指数比大小 (1)底数相同,根据单调性去比。 (2)指数相同,底数大的就大(指数大于零) ②对数比大小 (1)底数相同,根据单调性去比。 (2)真数相同,底数小的反而大 (底数和真数大于 1) ③指对比大小 (1)找中间值与 “0” , “1” , “2” 比大小. (2) 介于 “01̃” 之间,于 “ ” , “ ”,“ ” 比大小。 题型 1: 中间量法比大小 18. 已知 ,比较 的大小为( ) A. B. C. D. 19. 设 ,则 的大小关系为( ) A. B. C. D. 20. 若 ,则 的大小关系为( ) A. B. C. D. 21. 若 ,则 的大小关系为( ) A. B. C. D. 22. 设 ,则 的大小关系是 ( ) A. B. C. D. 技巧解密: 放大镜法比大小 一技巧总结一 ①粗略估计取值 ②指数形式: 同时 次方 举例: (同时 6 次方) ③对数形式: 同时乘以 举例: (同时乘 2) 题型 2: 放大镜法比大小 23. (2025・重庆模拟) 已知 ,则( ) A. B. C. D. 24. (2024・河西区校级模拟) 已知 , 则实数 的大小关系是( ) A. B. C. D. 课堂笔记 题型3: 对数型糖水不等式 _____ 25. (2025・广昌县校级模拟) 已知 . 则 ,_____ 的大小关系是 ( )_____ A. B. C. D. 技巧解密: 对数型糖水不等式技巧总结 ① ② _____ 26. (2025・宿州模拟) 已知 ,则( ) A. B. C. D. 题型 4: 与奇偶结合的指对比大小 技巧解密: 与奇偶结合的指对比大小一技巧总结一: 与奇偶结合的指对比大小, 主要是判断奇偶函数的单调性, 并画出函数图像, 再把指对数标注在图像上即可求出大小. 27. (2025・蓟州区校级模拟) 已知函数 是 上的偶函数, 对任意 ,且 都有 成立. 若 ,则 的大小关系是 ( ) A. B. C. D. 28. (2025・西安区校级模拟) 已知定义在 上的函数 , ,则 的大小关系为( ) A. B. C. D. 29. (2025・台州期末) 已知奇函数 在 上是增函数, . 若 ,则 的大小关系为( ) A. B. C. D. 30. (2025・西青区校级模拟) 已知 是定义在 上的奇函数,对任意两个不相等的正数 都有 ,记 , ,则 ( ) A. B. C. D. 31. (2025・和平区模拟) 已知函数 定义域为 ,且函数 与 均为偶函数,当 时, 是减函数,设 , ,则 的大小关系为 ( ) A. B. C. D. 考点四: 函数奇偶性 技巧解密: 判断具体函数奇偶性 一技巧总结一: 函数判断奇偶型主要分三步: ①定义域(因为奇偶函数定义域一定关于原点对称) ②化简 ③ 奇偶定义 (奇函数: , 偶函数 . 题型 1: 判断具体函数奇偶性 32.(2024・天津)下列函数是偶函数的是( ) A. B. C. D. 33.(2025・河西区校级月考)下列函数是偶函数的是( ) A. B. C. D. 题型 2: 已知奇偶性求解析式 技巧解密: 已知奇偶求解析式 技巧总结一 ①求谁设谁. ②奇偶定义求解析式. ③ 奇函数注意: (容易丢) 34. (2019・新课标 II) 设 为奇函数,且当 时, , 则当 时, ( ) A. B. C. D. 35. (2022・全国) 设 是定义域为 的奇函数, 是定义域为 的偶函数. 若 ,则 _____. 36. (2024・南开区一模) 已知函数 分别是定义在 上的偶函数和奇函数,且 ,若函数 有唯一零点,则实数 的值为_____. 课堂笔记 题型 3: 已知奇偶性求参数值 37. (2021・新高考 I ) 已知函数 是偶函数,则_____ _____._____ 38. (2022・乙卷) 若 是奇函数,则 _____, _____. 技巧解密: 已知奇偶求参数值 一技巧总结一 ① 奇函数不含偶次幂, 偶函数不含奇次幂. ②奇函数: ③奇偶函数定义域对称. ④奇偶函数定义方法解题. 39. (2023・甲卷) 若 为偶函数,则 _____. 40. (2023・乙卷) 已知 是偶函数,则 ( ) 技巧解密: 周期性 一题目特征一 在这里我们主要给同学们介绍点轴法求周期. ① 已知函数两个对称轴 , ,周期: ②已知函数两个对称中心 , ,周期: ③已知一个对称轴, 一个对称中心, 对称轴 ,对称中心 . 周期: 特别提醒- 对称轴公式: , 对称轴为: 对称中心公式: 对称中心为(a, b). 当原函数中含有 的形式时,一定要先设 A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 41. (2023・新高考 II) 若 为偶函数,则 ( ) A. -1 B. 0 C. D. 1 考点五: 周期性 42. (2025・南开区校级月考) 已知函数 的定义域为 ,且 为奇函数, 为偶函数,当 时, ,则 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 2025 43. (2025・东丽区校级期中) 已知定义在 上的函数 满足: 关于(1,0)中心对称, 是偶函数,且 . 则下列选项中说法正确的有( ) A. 为偶函数 B. 周期为 2 C. D. 是奇函数 44. (2025・南开区校级月考) 已知 是定义在 上的奇函数, 的图象关于 对称, ,则 ( ) 课堂笔记 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 技巧解密: 周期性 特别提醒 ① 为奇函数,所以就会有 ,因为 ,所以 ,所以 ,所以对称中心为(b,0) ② 的周期为 ,所以 ,所以 ,所以 的周期为 ③ 的对称轴为 ,所以会有 ,所以 所以 的对称轴为 . 45. (2025・宁河区期末) 已知函数 的定义域为 ,且函数 是偶函数,函数 是奇函数,当 时, ,下列结论正确的是 ( ) A. 的一条对称轴是直线 B. 的一条对称轴是直线 C. 方程 有 3 个解 D. 46. (2025・朝阳区校级模拟) 已知函数 是定义在 上的偶函数,且 ,则 ( ) A. B. C. D. 考点六:函数零点 题型 1: 函数零点之 型 47. (2024・北辰区校级模拟) ,若 有且只有两个零点,则实数 的取值范围是_____. 48. (2024・武清区校级模拟) 已知函数 ,若函数 恰有 3 个不同的零点,则实数 的取值范围是_____. 题型 2: 函数零点之 型 49. (2024 春・河西区校级期末) 函数 ,关于 的方程 有且只有 2 个解,则 的取值范围_____. 50. (2025・和平区校级模拟) 已知 ,函数 关于 的方程 恰有两个互异的实数解,则实数 的取值 范围是( )_____ A. B. _____ C. D. 技巧解密: 零点之 型 一题目特征一: ① 求零点的和或者零点的积 一技巧总结一: ①零点的和一般都对称, 题中有特殊函数比如: 二次函数, 三角函数, 偶函数。 ②零点的积一般都互为倒数, 题中一般都有函数 . 特别提醒一 函数图像最主要的是要标清楚三类点: ①: 分段函数分段点 ②: 与坐标轴的交点 ③: 极值点 51. (2024・南开区模拟) 已知函数 ,若关于 的方程 有三个不同的实数根,则实数 的取值范围是_____. 52. (2024・天津模拟) 设 ,函数 若函数 恰有 4 个零点,则实数 的取值范围为_____. 53. (2024・和平区二模) 已知函数 ,若关于 的方程 有 2 个不相等的实数根,则实数 的取值范围是_____. 技巧解密: 零点之 之一次含参型 一题目特征 ① 一技巧总结一 ①函数图像尽量画准确, 找一次函数与 的临界情况,一般都是相切取到。 ②: 直线与曲线相切求参数值我们 只需要列方程组: . 特别提醒一 最主要的是要标清楚分段函数图像的三类点: ①: 分段函数分段点 ②: 与坐标轴的交点 ③: 极值点 54. (2025・南开区校级模拟) 已知函数 ,若方程 有且只有三个不相等的实数解,则实数 取值范围是( ) A. B. C. D. 55. (2024・河东区二模) 已知函数 , 若方程 恰有 2 个不同的实数根,则实数 的取值范围为_____. 题型3: 函数零点之嵌套函数为具体函数型 56. (2024・河北区模拟) 函数 若函数 课堂笔记 恰有两个不同的零点,则实数 的取值范围_____ 为_____._____ 57. 函数 ,函数 , 若函数 恰有 2 个零点,则实数 的取值范围是_____. 技巧解密: 函数零点之嵌套函数为具体函数型 一题目特征一 ①已知 零点个数,求参数范围。 ② 为已知的具体函数。 技巧总结 ①讨论 中 的范围代入 中,求新的 的解析式。 58. (2024・和平区校级二模) 函数 ,若关于 的方程 恰好有 8 个不同的实数根,则实数 的取值范围是_____. 题型 4: 函数零点之嵌套函数为抽象函数型 技巧解密: 函数零点之嵌套函数为抽象函数型 题目特征 ①已知 零点个数,求参数范围. 技巧总结 ① 设内层函数 ,函数变为 ② 根据零点个数求 的个数和 的范围. ③把问题转换为 根的分布问题. 59. (2024・河西区模拟) 已知函数 若函数 有 4 个零点. 则实数 的取值范围是_____. 60. (2024・南开区校级模拟) 已知函数 若函数 有唯一零点,则实数 的取值范围是_____. 61. (2024・和平区模拟) 已知函数 , ,且有 若关于 的方程 有 8 个相异实根,则实数 的取值范围为_____. 题型 5. 零点之二次函数讨论之根的分布 62. (2024・天津模拟) 已知函数 有且仅有 2 个零点,则实数 的取值范围为_____. _____ 63. (2024・河北区模拟) 已知函数 ,若函数 _____ 有三个不同的零点 ,且 ,则 的取值范围是_____. 技巧解密: 零点之二次函数讨论之根的分布 一题目特征一 原式中含有二次函数的绝对值. 一技巧总结一 大多数题型我们时通过讨论的方式去掉函数的绝对值, 再通过分析零点的个数,求出 的范围,转化为根的分布问题. 64. 已知函数 存在零点,则 的取值范围为_____. 65. (2023・天津) 设 ,函数 . 若 恰有两个零点,则 的取值范围为_____. 66. 设 ,函数 若 在区间 , 内恰有 2 个零点,则 的取值范围是_____. 67. (2024・蓟州区校级一模) 已知函数 ,若函数 恰有 4 个零点,则实数 的取值范围是_____. 68. (2024・北辰区三模) 若函数 有四个零点,则实数 的取值范围为_____. 随堂练习 1. 已知 ,则 _____. 2. 已知函数 是偶函数,则 的值是 ( ) A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 3. 函数 的图象的大致形状是( ) A. B. C. D. 4. 已知函数 , 则 的大小关系是 ( ) A. B. C. D. 5. (2024・重庆模拟) 已知 为奇函数,则 (1) ( ) A. -12 B. -10 C. -6 D. -5 6. (2025・益阳模拟) 已知函数 的定义域为 . 对任意的 , 恒有 ,且 , . 则 _____. 7. (2025・黄州区校级模拟) 已知函数 的定义域为 , ,若函数 为奇函数, 为偶函数,且 ,则 ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 8. 已知函数 的定义域为 ,且 , 则 ( ) A. 0 B. 2022 C. 2023 D. 2024 9. (2024・太原模拟) 已知函数 ,若方程 恰有三个不同实数根,则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 10. (2025・邵阳月考) 已知函数 ,若关于 的方程 有 8 个不同的实数根,则实数 的取值范围为( ) A. B. C.(-4,0) D. 11. 设函数 有 7 个不同的零点,则正实数 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 12. 已知函数 则下列结论: ① ② 恒成立 ③ 关于 的方程 有三个不同的实根,则 ④ 关于 的方程 的所有根之和为 其中正确结论有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 13. (2024・天津) 若函数 有唯一零点,则 的取值范围为_____. 14. (2024・滨海新区模拟) 已知函数 若函数 ( 为自然对数的底数) 恰有 4 个零点,则 的取值范围是_____. 15. (2020・天津) 已知函数 ,若函数 恰有 4 个零点,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 16. (2021・天津) 设 ,函数 , 若函数 在区间 内恰有 6 个零点,则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 考情分析 本节内容在高考中通常以压轴题形式出现, 常见的有函数零点个数问题、不等式证明问题、不等式存在性问题等, 综合性较强, 难度较大. 在求解导数综合问题时, 通常要综合利用分类讨论、构造函数、等价转化、设而不求等思想方法, 同时联系不等式、方程等知识, 思维难度大, 运算量不低. 可以说, 只要考生啃下本节这个硬骨头, 就具 有了强大的逻辑推理、数学运算、数据分析、直观想象等核心素养. 考点要求 考题统计 【命题预测】 函数与导数是高中数学的重要考查内容, 同 时也是高等数学的基础, 其试题的难度呈逐年上 升趋势, 通过对近十年的高考数学试题, 分析并 归纳出五大考点: (1)含参函数的单调性、极值与最值； (2)函数的零点问题; (3)不等式恒成立与存在性问题； (4)函数不等式的证明. (5)导数中含三角函数形式的问题 那么对于最近几年天津具体都考察什么题型呢? 了解这些题型对于我们预测下一年的题型也是有 帮助的,2024 年天津高考 “双变量恒成立”,2023 年天津高考 “导数中数列求和”,2021 年天津高 考 “双参量恒成立” .根据这几年的考察规律,我 认为 2025 年对于函数不等式证明中极值点偏移、 隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等 式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数 压轴题的热点. 不等式 2023 年 I 卷第 19 题, 12 分 2023 年甲卷第 21 题, 12 分 2023 年天津卷第 20 题, 16 分 2022 年 II 卷第 22 题, 12 分 极最值 2023 年乙卷第 21 题, 12 分 2024 年天津卷第 20 题, 16 分 2024 年 II 卷第 16 题, 12 分 2023 年 II 卷第 22 题, 12 分 恒成立与有解 2022 年 北京卷第 20 题, 12 分 2021 年天津卷第 20 题, 16 分 2024 年 I 卷第 18 题, 17 分 零点问题 2022 年甲卷第 21 题, 12 分 2022 年 I 卷第 22 题, 12 分 2022 年乙卷第 20 题, 12 分 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$