专题二：不等式讲义-2025届高三数学二轮复习

专题二:基本不等式 考点一: 和积互化 1.【解答】解: 基本不等式 (当且仅当 时取等号) 整理得 即 ,又 , 所以 (当且仅当 时即 时取等号) 则 的最小值是 4. 故答案为: 4. 2.【解答】解: ,且 , , ,当且仅当 时,等号成立, 的最小值为 4,故选: . 3.【解答】解: , ,即 , 的最大值为 , ,又 , ,解得 的最小值为 . 故答案为: . 4.【解答】解: 根据题意,可得 , 即 ,两边平方,整理得 ,当且仅当 ,即 时取得等号,因此,当 取得 最小值时, . 故选: . 考点二:乘 1 法 5. 【解答】解: 因为 , 所以 ,当且仅当 且 ,即 时取等号,此时 的最小值 4. 故答案为: 4 . 6.【解答】解: 由题意可得 当且仅当 且 且 时, 取得最小值 ,故选: . 7.【解答】解: 恒成立 即 恒成立 只要 最小值 (当且仅当 ,即 时, 取得等号) 最小值为 4,故答案为 4 . 8.【解答】解: 因为 ,所以 ,由于 ,所以 , 且 ,所以 ,所以 ,当且仅当 ,即 时等号成立,所以 的最小值为 2 . 故答案为: 2 . 9.【解答】解: , ,当且仅当 ,即 时,等号成立, 的最小值是 21. 故选: . 10.【解答】解: , ,当且仅当 ,即 , 时取等号; ,当且仅当 时取等号; ,当且仅当 ,即 时取等号. 的最小值为 , 故答案为: . 考点三:万能“k”法之目标函数为线性 11. 【解答】解: 令 ,则 , 则 可化为 , 整理得 , ,即 , ,故 . 故选: . 12.【解答】解: 方法一: 因为实数 满足 , 所以 当且仅当 ,即 时,等号成 立,所以 的最小值是 . 故选: . 方法二: 令 ,代入原式可得 ,即 ,由方程有解可得 ,化简可得 ,解得 或 (舍去),所以 的最小值是 . 故选: . 13.【解答】解: 令 , 代入原式可得 ,即 ,由方程有解可得 ,化简可得 ,解得 或 (舍去),即 的最小值为 11. 故选: . 14.【解答】解: 设 ,代入 得, ,化简得 , ,解得 , 选项 正确; 当 时,由 ,得 ,解得 ,当且仅当 时成立, 选项 正确; 由 ,得 时, , ,解得 ,选项 错; 由 ,得 , ,解 得 ,当且仅当 时取等号,选项 正确. 故选: . 考点四: 齐次化之目标函数为分式 15. 【解答】解: 已知 ,则 当且仅当 时,即当 ,且 , 等号成立,故 的最小值为 ,故答案为: . 16.【解答】解: 因为 , 则 当且仅当 且 ,即 时取等号. 故选: . 17.【解答】解: 因为 ,若 ,可得 设 ,只需要 小于等于右边的最小值,则 ,令 ,可得 ,所以 ,当且仅当 ,即 时取等号, 所以 ,即 的最大值为 . 故选: . 考点五:柯西不等式 18.【解答】解: 由柯西不等式得到: 因为 ,所以 ,即 . 则 的最大值是 7,此时有 ,则当 时, 取最大值 7 . 19.【解答】解: 由题意 根据柯西不等式 构造得: 即 ,故得最大值 ,最小值 . 20.【解答】解:(1) 由绝对值三角不等式可得 ,再由 不等式 在 上恒成立,可得 , 或 ,解得 ,故 的最大值为 . (2) 正数 满足 由柯西不等式可得 当且仅当 时,等号成立, 的最小值为 . 随堂检测 1.【解答】解: 由已知 , ,由于 在 上单调递 减, 当且仅当 时,取最小值 . 故答案为: . 2.【解答】解: . 故答案为: 18 . 3.【解答】解: ,设 , , 其中 , 的最小值为 . 法二: ,当且仅当 时取等号, , ,当 时取等号, 的最小值为 . 故答案为: . 4.【解答】解: 由 ,且 可知 ,而 ,则 , ,则 无最小值, 错误; 设 ,且 ,则 ,当且仅当 ,即 时取等号,这与题设矛盾,故 最小值不为 1, 错误; ,由于函数 在 上递增,故 在 上无最小值,即 无最小值, 错误; ,当且仅当 时, 即 时取等号, 正确,故选: . 5.【解答】解: 因为正实数 满足 ,所以 当且仅当 时取等号, 错误; 因为 ,当且仅当 时取等号,故 正确; 因为 ,当且仅当 时取等号, 错误; ,当且仅当 时取等号,故 错误. 故选: . 6. 【解答】解: 若 ,则 ,当且仅当 ,即 时取等号. 故答案为: 4 . 7.【解答】解: 由题意,得 ,由于函数 与 只有一个交点(1,1),所以 ,所以 ,当且仅当 时,等号成立. 故答案为: . 8.【解答】解: 对于 ,因为 ,所以 , 当且仅当 时取等号,故 项正确; 对于 ,因为 , ,所以 ,当且仅当 时取等号,故 项正确; 对于 ,令 , ,则 ,所以 ,当且仅当 ,即 时取等号,故 项不正确; 对于 ,令 ,由 项知, ,则 所以当 时, 取得最小值为 ,故 项正确. 故选: . 9.【解答】解: 因为位于第一象限的点(a, b)在曲线 上, 所以 ,所以 , 错误; ,当且仅当 时取等号,所以 正确; ,当且仅当 ,即 时取等号, 错误; 因为 ,所以 , 结合二次函数的性质可知,当 ,即 时,上式取得最小值 正确. 故选: . 10.【解答】解: 因为实数 满足 , 则 , 当且仅当 且 ,即 时取等号. 故选: . 11.【解答】解: 因为 为正数,则 ,当且仅当 时,等号成立,因为 ,所以,在等式 两边同时乘以 ,可得: ,即 ,解得 ,当且仅当 时,即当 时, 取得最大值 8 . 故选: . 12.【解答】解: 根据 ,若将不等式的两边都除以 ,得 , 设 ,则 ,且 ,原不等式 可化为 ,即 ,设 ,则 在区间 上 是减函数,因此,当 时,即 时, 的最大值为 ,若 恒成立,则 ,即使 恒成立的实数 的取值范围是 . 故答案为: . ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题二:基本不等式 课堂笔记 题型预测 由于我们预测基本不等式在 2025 年天津高考的考查中, 仍将考查 它工具的属性, 所以我们预测题型也仅仅是它作为工具时常考的题 型. 但在这里我们需强调一下, 在天津模拟考试中还是经常直接考 查基本不等式的, 并且最常考的就是乘 1 法, 所以我们也是在乘 1 法的例题中把乘 1 的一些常规变形都给大家进行了总结. 技巧解密: 和积互化 题目特征一: 题干前面的条件我们叫约束条件, 后面让求解的式子我们叫目标函数, 约束条件和目标函数只有加法与乘法时, 这时候直接运用基本不等式解题, 因为基本不等式就是加法与乘法之间的关系. 一技巧总结一 在运用不等式的时候一定要注意验证 “一正, 二定, 三相等”. 考点一: 和积互化 1. (2025・河西区模拟) 已知 ,则 的最小值为_____. 2. (2025・东海县校级开学) 已知 ,且 ,则 的最小值为( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. (2025・南关区期末) 若实数 满足 ,则 的最大值为_____, 的最小值为_____. 4. (2024・濮阳三模) 已知正数 满足 ,则当 取得最小值时, ( ) 技巧解密: 乘 “1” 法 一题目特征 ,求 最值 ,求 最值 (整式相加求分式相加最值或者分式相加求整式相加最值) 一技巧总结一: ①整式部分和分式分母部分一致; ②整式与分式直接相乘,再乘 ; ③在保证取等条件可取到的前提下, 直接运用基本不等式求最值。 A. B. C. D. 考点二: 乘 “1” 法 5. 已知 ,则 的最小值_____. 6. (2025・河北区模拟) 已知 均为正实数,且 ,则 的最小值为( ) A. 3 B. C. D. 7. (2024・河东区二模) ,且 恒成立,则 的最大值为_____. 8. (2025・滨海新区校级月考) 若 ,且 ,则 的最小值为_____. 9. (2025・东丽区月考) 已知实数 ,且 ,则 的最小值是 ( ) A. 21 B. 25 C. 29 D. 33 10. (2025・天津模拟) 设 ,则 的最小值为_____. 考点三:万能“k”法之目标函数为线性 技巧解密: 万能 “ ” 法之目标函数为线性 题目特征 : 目标函数为一次函数一技巧总结一: ①设一次函数为 ; ②目标函数和约束条件联立方程； ③带入消元,得到二次函数,求 即可 11. (2025・雁峰区校级模拟) 已知实数 ,满足 , 则 的最大值为 ( ) A. B. C. D. 12. (2024・福建一模) 已知实数 满足 ,则 的最小值是( ) A. B. C. D. 13. (2025・沙坪坝区校级模拟) 已知正实数 满足 , 则 的最小值为 ( ) A. B. C. 10 D. 11 14. (2025・渝中区校级期末) 已知实数 ,满足 , 则下列说法正确的是( ) A. B. 课堂笔记 C. D. 考点四: 齐次化之目标函数为分式 15. (2025・和平区校级模拟) 已知 ,则 _____ 的最小值为_____. 技巧解密: 齐次化之目标函数为分式 题目特征 : 目标函数为分式; 一技巧总结一:使分式变成齐次式是解题关键. 16. (2025・沛县月考) 已知 ,则 的最小值为( ) A. 7 B. C. D. 17. (2024・青羊区校级模拟) 设 ,若 ,则实数 的最大值为 ( ) A. B. 4 C. D. 考点五:柯西不等式 技巧解密: 柯西不等式 一柯西证明一 向量证明法: 根据向量相乘: 取等两向量共线 . 18. (2025・高台县校级月考) 已知实数 满足 , 求 的最大值及对应的 值. 19. 设 ,试求 的最大值 与最小值 . 20. (2025・兴庆区校级月考) (1) 设函数 , 若关于 的不等式 在 上恒成立,求实数 的最大值; (2)已知正数 满足 ,求 的最小值. (2)已知正数 满足 ,求 的最小值. 随堂检测 1. (2024・和平区校级一模) 已知 ,则 的最小值是_____. 2. (2024・河北区模拟) 已知 ,则 的最小值为_____. 3. (2025・天津模拟) 已知实数 满足 ,则 的最小值为_____. 4. (2024・屯溪区校级模拟) 已知 ,且 ,则 ( ) A. 有最小值 1 B. 有最小值 1 C. 有最小值 D. 有最小值 5. (20225・河西区期中) 设正实数 满足 ,则 ( ) A. 有最小值 2 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最小值 6. (2024・河东区一模) 若 ,则 的最小值为_____. 7. (2024・滨海新区校级三模) 已知正实数 ,满足 , 则 的最小值为_____. 8. (2024・天河区校级模拟) (多选) 已知 为正实数, , 则( ) 课堂笔记 A. 的最大值为 1 B. 的最小值 3 C. 的最小值为 D. 的最小值为 _____ 9. (2024・河南模拟) (多选) 已知位于第一象限的点(a, b)在曲线 上,则 ( ) A. B. C. D. 10. (2025・滨海新区校级月考) 设实数 满足 , 则 的最小值为 ( ) A. B. C. D. 11. (2024・张家口三模) 已知正数 满足 ,则 的最大值为( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 12. 已知 ,若 恒成立,则实数 的取值范围是_____. 考情分析 从近五年的高考情况来看, 本节是高考的一个重点, 函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容, 重点关注单调性、奇偶性结合在一起,与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查,解题时要充分运用转化思想和数形结合思想. 考点要求 考题统计 考情分析 函数的性质 2023 年新高考 II 卷第 4 题, 5 分 2023 年新高考 I 卷第 4 题, 5 分 2022 年乙卷第 12 题, 5 分 2022 年新高考 II 卷第 8 题, 5 分 2021 年甲卷第 12 题, 5 分 2023 年天津卷第3,5,15 题,15 分 2024 年天津卷第 4, 5, 15 题, 15 分 【命题预测】 预测 2025 年高考, 多以小题形 式出现, 也有可能会将其渗透在 解答题的表达之中, 相对独立. 具 体估计为: (1)以选择题或填空题形式出现, 考查学生的综合推理能力. (2)热点是单调性、奇偶性、函数 图像结合在一起. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$