第20章 二次根式 章节复习讲义 2025--2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题11 第20章二次根式章节复习 知识点 1 二次根式的相关概念 1.二次根式：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 2.二次根式有意义的条件 1）单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2）二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 3）二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 知识点2 二次根式的性质与化简 1、二次根式的性质 （1）式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； （2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； （3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. （4）=· (a≥0,b≥0). （5） (a≥0,b>0). 2、二次根式的化简 （1）被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外 （2）化去被开方数中的分母 （3）化简二次根式：把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”. 知识点3 最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式 (1)被开方数中各因式的指数都为1;(2)被开方数不含分母. 在二次根式的运算中，一般要把结果化成最简二次根式. 2.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式. 要点： (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 知识点4 二次根式的运算 1.二次根式的乘法法则：.= (a≥0,b≥0), 即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 2.二次根式的除法法则： (a≥0,b>0), 即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. 3.二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 即： ； 知识点5 分母有理化 1、分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 2、分母有理化方法： （1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： （2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 3、有理化因式 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式。如与互为有理化因式；与也互为有理化因式。 知识点6、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点： (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 题型01：二次根式概念辨析 【例1】在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）． 【跟踪训练】 1.下列式子中，一定是二次根式的为（　　） A． B． C． D． 2．下列各式中，是二次根式的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若x为任意实数，下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 题型02：二次根式有意义的条件 【例2】（23-24八年级上·上海闵行·期末）如果在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 ． 【例3】如果，那么的值是（    ） A． B． C． D．9 【例4】请判断是否存在整数，使它同时满足以下三个条件：二次根式和均有意义；的值仍为整数；若，则也是整数．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【跟踪训练】 1．（22-23八年级上·上海宝山·期末）要使式子有意义，的取值范围是 ． 2．函数中自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 4.已知实数a满足，那么的值是 ． 5．如果，那么的值为 ． 题型03：利用二次根式的性质化简 【例5】计算的结果是 ． 【例6】化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【例7】实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【例8】已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 【跟踪训练】 1．（22-23八年级上·上海杨浦·期末）当时，化简 ． 2.已知，则化简的结果是(    ) A. B. C. D. 2.当时，化简________． 3.对实数，，定义：，如． 求的值； 若，试化简：． 4．将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 5．若实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简代数式． 6．当时，的化简结果（    ） A． B． C． D． 7．化简二次根式得（    ） A． B． C． D． 8．当时，代数式的值是 ． 题型04： 根据二次根式的性质或化简结果求参数范围 【例9】（23-24八年级上·上海静安·期末）如果，那么等式成立的条件是 . 【例10】若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【跟踪训练】 1．若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，那么a应满足什么条件 （　　） A．a＞0 B．a≥0 C．a ＝0 D．a任何实数 3．若，则b满足的条件是( ) 4．若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型05：最简二次根式 【例11】下列二次根式，是最简二次根式的是 （只填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 【例12】若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ． 【跟踪训练】 1.若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（    ） A．6.5 B．3 C．2 D．4 2.将根式，，，，中是最简二次根式的填在横线上 ． 3.化简： (1)(2)(3)(4)． 题型06：同类二次根式 【例13】下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【跟踪训练】 1.（23-24八年级上·上海普陀·期末）下列二次根式中，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海静安·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3.最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 4．若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 ． 题型07：分母有理化 【例14】写出一个的有理化因式 ． 【例15】分母有理化： ． 【例16】阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：， （1）将分母有理化可得 ； （2）关于的方程的解是 ． 【跟踪训练】 1．的一个有理化因式是 ． 2．分母有理化： ． 3．计算： ． 4．阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)写出的一个有理化因式：________，将分母有理化得________． (2)计算：； (3)比较大小：________（用“＞”、“=”或“＜”填空）． 题型08：二次根式的混合运算 【例17】（23-24八年级上·上海松江·期末）计算：． 【例18】（23-24八年级上·上海金山·期末）（1）计算：      （2）计算： 【跟踪训练】 1．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算：. 2．（23-24八年级上·上海崇明·期末）计算：． 3．（23-24八年级上·上海青浦·期末）计算： 4．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）化简：． 题型09：比较二次根式的大小 【例19】比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【例20】比较大小： ． 【例21】（23-24八年级上·上海浦东新·期末）解不等式，原不等式的解集是 ． 【跟踪训练】 1.比较大小（填“<”、“大于”或“=”）： ． 2.比较大小：① ；② ；③ （填“”，“”，“”号）． 3.已知，，，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2021秋•徐汇区校级月考）不等式：x﹣＜x+的解集是 　　． 题型10：已知条件式，化简求值 【例22】已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【例23】已知，那么的值等于 【例24】已知，则代数式的值为 ． 【跟踪训练】 1.已知，，求下列式子的值： ； ． 2．（2021秋•普陀区校级月考）已知a+b＝﹣8，ab＝1，则值为 　． 3．（2021秋•金山区校级期中）已知，求的值． 题型11：二次根式的实际应用 【例26】如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形的面积为15，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为（    ） A．4 B． C．9 D． 【例27】高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为．从高空抛物到落地所需时间为，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【跟踪训练】 1．现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 题型12：综合压轴 【例28】对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下： 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______，______； (2)若，求x的值． 【跟踪训练】 1．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　，=　　； (2)化简：； (3)计算：． 2.数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题11 第20章二次根式章节复习 知识点 1 二次根式的相关概念 1.二次根式：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 2.二次根式有意义的条件 1）单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2）二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 3）二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 知识点2 二次根式的性质与化简 1、二次根式的性质 （1）式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； （2），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； （3），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. （4）=· (a≥0,b≥0). （5） (a≥0,b>0). 2、二次根式的化简 （1）被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外 （2）化去被开方数中的分母 （3）化简二次根式：把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”. 知识点3 最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式 (1)被开方数中各因式的指数都为1;(2)被开方数不含分母. 在二次根式的运算中，一般要把结果化成最简二次根式. 2.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式. 要点： (1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； (2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 知识点4 二次根式的运算 1.二次根式的乘法法则：.= (a≥0,b≥0), 即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 2.二次根式的除法法则： (a≥0,b>0), 即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. 3.二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 即： ； 知识点5 分母有理化 1、分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 2、分母有理化方法： （1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： （2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 3、有理化因式 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式。如与互为有理化因式；与也互为有理化因式。 知识点6、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 要点： (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式. 题型01：二次根式概念辨析 【例1】在式子① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是二次根式的有 （填写序号）． 【答案】③④⑥ 【分析】本题考查了二次根式的识别，形如这样的式子称为二次根式，根据这个定义去判断即可． 【详解】解：，中被开方数是负数，不是二次根式，是立方根，也不是二次根式，其余均是二次根式； 故答案为：③④⑥． 【跟踪训练】 1.下列式子中，一定是二次根式的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据被开方数为非负数，再列不等式，逐一分析即可． 本题考查了二次根式的定义，掌握被开方数是非负数是关键． 【详解】解：A、不是二次根式，故本选项不符合题意； B、当时，则它无意义，故本选项不符合题意； C、由于，所以它符合二次根式的定义，故本选项符合题意； D、当时，它无意义，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．下列各式中，是二次根式的有（    ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【解析】解：①是二次根式，故正确； ②，-3＜0，不是二次根式，故错误； ③是三次根式，故错误； ④是二次根式，故正确； 故选B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键． 3．若x为任意实数，下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二次根式的定义，分别进行判断，即可得到答案． 【解析】解：A、当x＝1时，不是二次根式，不符合题意； B、当x＝﹣1时，不是二次根式，不符合题意； C、当x＝﹣1时，不是二次根式，不符合题意； D、x为任意实数，是二次根式，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握定义进行判断． 题型02：二次根式有意义的条件 【例2】（23-24八年级上·上海闵行·期末）如果在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义：被开方数为非负数以及分母不为0，据此即可列式计算作答． 【详解】解：∵在实数范围内有意义 ∴， 解得 故答案为： 【例3】如果，那么的值是（    ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据条件可得，求出的值，代入计算即可求解． 【详解】解：， ，， ， ， ， ． 故选：B． 【例4】请判断是否存在整数，使它同时满足以下三个条件：二次根式和均有意义；的值仍为整数；若，则也是整数．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：存在． 由条件，可得， 解得， 整数的取值可能为、、、、、、、， 其中符合条件的整数只有，同时符合条件， ．  【解析】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握相关知识是解题关键分析题意，依据二次根式被开放数大于等于可得到的取值范围，然后找出符合条件和条件的数即可． 【跟踪训练】 1．（22-23八年级上·上海宝山·期末）要使式子有意义，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】二次根式中的被开方数是非负数，依此即可求解． 【详解】解：依题意有：， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，关键是熟悉二次根式中的被开方数是非负数的知识点． 2．函数中自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的性质，二次根式的性质的综合，掌握分式的性质，二次根式有意义的条件求自变量的取值范围是解题的关键． 根据二次根式的性质，被开方数为非负数，即，根据分式的性质，分母不能为零，即，由此即可求解． 【解析】解：根据题意可得，，且， ∴， 故选：． 3.已知，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，二次根式的性质，二次根式有意义的条件为被开方数为非负数；分式有意义的条件为分母不为0；熟练掌握相关知识点是解题关键．根据二次根式的性质及二次根式有意义的条件、分式有意义的条件计算即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， 故选：C． 4.已知实数a满足，那么的值是 ． 【答案】2026 【分析】根据二次根式的有意义的条件，化简绝对值，后计算解答即可． 本题考查了二次根式的被开方数的非负性，绝对值的化简，有理数的乘方，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故答案为：2026. 5．如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：． 题型03：利用二次根式的性质化简 【例5】计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，正确计算是解题的关键．先根据绝对值、二次根式的性质化简，再合并即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【例6】化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，先根据二次根式有意义的条件判断，再利用二次根式的性质化简可得． 【详解】解：由知， 则原式， 故选：D． 【例7】实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的定义、绝对值运算、算术平方根、整式的加减，根据数轴的定义判断出是解题关键． 先根据数轴的定义得出，，，，再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由题意得：，，， ∴ ，， ∴ ． 故选：D． 【例8】已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是7． 故选：C． 【跟踪训练】 1．（22-23八年级上·上海杨浦·期末）当时，化简 ． 【答案】/ 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是正确理解二次根式的性质． 2.已知，则化简的结果是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了绝对值的概念，二次根式的化简解题关键是掌握二次根式的性质：解题时，先根据化简，然后再运用二次根式的性质进行化简即可． 【解答】 解：， ． 故选D． 2.当时，化简________． 【答案】  3.对实数，，定义：，如． 求的值； 若，试化简：． 【答案】(1)  (2)∵2*m＜－6，∴4m－2m＋m＜－6．∴m＜－2．∴  4．将式子根式外的因式移到根式内的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据二次根式有意义的条件可得，再根据二次根式的性质计算即可得． 【详解】解：由题意得：，且， ∴， 则 ， 故选：C． 5．若实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简代数式． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上点的位置关系，二次根式的性质，绝对值的性质，根据数轴可知，再根据二次根式的性质及绝对值的性质即可解答．掌握二次根式的性质及绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：由数轴可知， ． 6．当时，的化简结果（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，． 7．化简二次根式得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质可得b＜0，再利用=|a|进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ∵a＜0， ∴b3＜0， ∴b＜0， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质=|a|是解题的关键． 8．当时，代数式的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查利用二次根式的性质化简，绝对值的性质，正确化简是解题关键．根据a的取值范围，可求出和的取值范围，再结合二次根式的性质化简即可． 【解析】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：1． 题型04： 根据二次根式的性质或化简结果求参数范围 【例9】（23-24八年级上·上海静安·期末）如果，那么等式成立的条件是 . 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，求不等式组的解集，解题的关键是根据二次根式的性质得出，，再求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴等式成立的条件是：， 故答案为：． 【例10】若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件，以及分母不等于零,本题属于基础题． 【跟踪训练】 1．若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合完全平方公式对被开方式子进行变形，然后利用二次根式的性质进行化简，从而结合绝对值的意义作出分析判断． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质，理解相关公式是解题关键． 2．已知，那么a应满足什么条件 （　　） A．a＞0 B．a≥0 C．a ＝0 D．a任何实数 【答案】B 【分析】分别求出与的被开方数中a的取值范围即可得到答案. 【解析】∵的被开方数a的取值范围是，的被开方数中a的取值范围是任意实数， 故a应满足的条件是， 故选：B. 【点睛】此题考查二次根式的性质：双重非负性，二次根式的被开方数满足大 3．若，则b满足的条件是( ) 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根据的性质 ，即可得结果． 【解析】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：． 4．若，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质：，得到关于的不等式，解不等式即可得到答案． 【解析】解：， ， ， 解得 故选：C． 题型05：最简二次根式 【例11】下列二次根式，是最简二次根式的是 （只填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． 【答案】①④⑤⑥ 【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：①是最简二次根式； ②中含有分式，故不是最简二次根式； ③中含有小数，故不是最简二次根式； ④是最简二次根式； ⑤是最简二次根式； ⑥是最简二次根式； ⑦，故不是最简二次根式． 故答案为：①④⑤⑥． 【例12】若最简二次根式与最简二次根式相等，则 ． ． 【答案】 3 5 【分析】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据题意可知，同类二次根式的被开方数相同，根指数相同，可得答案． 【详解】解：最简二次根式与最简二次根式相等， ∴， 解得：，． 故答案为：3，5． 【跟踪训练】 1.若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（    ） A．6.5 B．3 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先化简，再根据与最简二次根式是同类二次根式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：， ∵与最简二次根式能合并成一项， ∴与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简、最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关键． 2.将根式，，，，中是最简二次根式的填在横线上 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义进行求解即可：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． 【详解】解：和是最简二次根式， 不是最简二次根式， 不是最简二次根式， 不是最简二次根式， 故答案为：，． 3.化简： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)156 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的乘法计算，即可求解； （2）根据二次根式的性质化简，即可求解； （3）化成最简二次根式即可求解； （4）化成最简二次根式即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简方法与运用，熟练掌握时，；时，；时，是解题的关键． 题型06：同类二次根式 【例13】下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义．掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A．，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B．，，所以与是同类二次根式，故此选项符合题意； C．，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D．，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【跟踪训练】 1.（23-24八年级上·上海普陀·期末）下列二次根式中，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类二次根式，“把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式”．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故A错误； B、与不是同类二次根式，故B错误； C、与不是同类二次根式，故C错误； D、与是同类二次根式，故D正确； 故选：D． 2．（23-24八年级上·上海静安·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、同类二次根式的判断，关键是熟知同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，故与不是同类二次根式，不符合题意； B、，故与不是同类二次根式，不符合题意； C、，故与是同类二次根式，符合题意； D、，故与不是同类二次根式，不符合题意， 故选：C． 3.最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】12 【分析】此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键．结合同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，进行求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：12． 4．若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，掌握二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故答案为：2， 题型07：分母有理化 【例14】写出一个的有理化因式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分母有理化，有理化因式是指两个含有根式的代数式，当它们相乘时，它们的积不含有根式，这样的两个代数式互称为有理化因式，由此判断即可． 【详解】解：∵， ∴的有理化因式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【例15】分母有理化： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分母有理化，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【例16】阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：， （1）将分母有理化可得 ； （2）关于的方程的解是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查二次根式分母有理化，及其规律探索，解方程，掌握二次根式分母有理化，发现规律，解方程方法，找到有理化分母是解题关键． （1）根据材料进行分母有理化即可． （2）先分母有理化，再根据式子的规律化简，解方程即可求解． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪训练】 1．的一个有理化因式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子． 一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．据此即可求解． 【详解】解：∵ ∴的一个有理化因式是． 故答案为：（答案不唯一）． 2．分母有理化： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分母有理化，分子分母同时乘以，然后化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的加减运算，熟练掌握分母有理化的方法是解答的关键．先分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 4．阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：． 解答下列问题： (1)写出的一个有理化因式：________，将分母有理化得________． (2)计算：； (3)比较大小：________（用“＞”、“=”或“＜”填空）． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法． （1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简； （2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子，再进行加减计算，即可求解； （3）先计算两数的倒数，根据分母有理化，进而比较即可求解． 【详解】（1）解：的一个有理化因式为；分母有理化得， 故答案为：；． （2）解： ； （3）解： ∵ ∴ 故答案为：． 题型08：二次根式的混合运算 【例17】（23-24八年级上·上海松江·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式加减运算，先分母有理化，化简二次根式，再加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 【例18】（23-24八年级上·上海金山·期末）（1）计算：      （2）计算： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，按照二次根式的性质，化简计算即可． (1)按照二次根式的混合运算法则，依次化简计算即可，分母有理化时要特别小心． (2)按照二次根式的混合运算法则，依次化简计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【跟踪训练】 1．（23-24八年级上·上海静安·期末）计算：. 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 2．（23-24八年级上·上海崇明·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质和运算法则进行计算即可求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 3．（23-24八年级上·上海青浦·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，灵活运用二次根式的性质是解题的关键．先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，最后进行加减运算，即可解题． 【详解】解：原式          ． 4．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，利用完全平方公式、平方差公式、二次根式的性质、零指数幂公式分别化简，再进行加减运算即可得到结果，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， ， ． 题型09：比较二次根式的大小 【例19】比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 【例20】比较大小： ． 【答案】 【详解】本题主要考查了二次根式大小比较，先根据分母有理化得出，，然后根据，即，即可得出答案． 【分析】解：∵， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【例21】（23-24八年级上·上海浦东新·期末）解不等式，原不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，直接根据解一元一次不等式的步骤计算即可求解，掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 即， 故答案为：． 【跟踪训练】 1.比较大小（填“<”、“大于”或“=”）： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质可得，，由此即可得． 【详解】解：，，且， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较方法是解题关键． 2.比较大小：① ；② ；③ （填“”，“”，“”号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，第一空直接根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可；第二空两数平方，平方大的数大；第三空利用作差法求解即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ，由于，则， ∴ 故答案为：；；． 3.已知，，，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式，利用分子有理化比较二次根式的大小，熟练掌握分子有理化的方法是解答本题的关键． 利用平方差公式，进行分子有理化，进而比较三个数的大小关系，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， ， ， ， ， ， 故选：． 4．（2021秋•徐汇区校级月考）不等式：x﹣＜x+的解集是 　　． 【分析】直接利用一元一次不等式的解法结合二次根式的分母有理化计算得出答案． 【解答】解：x﹣＜x+， （﹣）x＜+， 故x＞＝＝﹣5﹣2， 即x＞﹣5﹣2． 故答案为：x＞﹣5﹣2． 【点评】此题主要考查了二次根式的应用以及一元一次不等式的解法，正确化简二次根式是解题关键． 题型10：已知条件式，化简求值 【例22】已知，，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是求解代数式的值，二次根式的混合运算； （1）先求解，，再把原式化为，再代入计算即可； （2）把原式化为，再代入计算即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ． （2）解：由（1）得，， ． 【例23】已知，那么的值等于 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式；将两边同时平方，可求的值，将式子化为即可求解；掌握的典型解法是解题的关键． 【详解】解：由得 ， 整理得：， ． 故答案为：． 【例24】已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】 将已知条件变形得，，再将所求代数式变形为，由此即可求解． 【详解】解：已知， ∴，即， 等式两边同时平方得，，整理得，，即， ∴， ∵ 把代入得， 把代入得， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，整式的化简求出，掌握二次根式的化简，整式的等量变形，构造为已知条件的形式，代入求值的方法是解题的关键． 【跟踪训练】 1.已知，，求下列式子的值： ； ． 【答案】(1)∵，，∴x+y＝4，xy＝1，∴原式；  (2)原式＝2(x2+y2)-xy＝2(x+y)2-5xy＝2×42-5＝27．  2．（2021秋•普陀区校级月考）已知a+b＝﹣8，ab＝1，则值为 　． 【分析】将二次根式进行化简，然后根据分式加法运算法则进行计算，最后利用整体思想代入求值． 【解答】解：∵a+b＝﹣8，ab＝1， ∴a＜0，b＜0， ∴原式＝﹣﹣ ＝﹣ ＝﹣， 当a+b＝﹣8，ab＝1时， 原式＝﹣＝8， 故答案为：8． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，分式的化简求值，理解二次根式的性质，掌握分式通分的技巧并利用整体思想代入求值是解题关键． 3．（2021秋•金山区校级期中）已知，求的值． 【分析】先将x的值分母有理化得出x＝5+2，再代入原式＝＝x﹣5﹣计算即可． 【解答】解：∵x＝＝＝5+2， ∴原式＝ ＝x﹣5﹣ ＝5+2﹣5﹣ ＝2﹣ ＝2﹣ ＝． 【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则及分母有理化常用方法． 题型11：二次根式的实际应用 【例26】如图，在一个正方形的内部放置大小不同的两个小正方形，其中较大的正方形的面积为15，重叠部分的面积为1，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为（    ） A．4 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式渴求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【详解】解：∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴重叠部分也为正方形， ∵空白部分的面积为， ∴一个空白长方形面积为， ∵大正方形面积为15，重叠部分面积为1， ∴大正方形边长为，重叠部分边长1， ∴空白部分的长为， 设空白部分宽为x，可得：，解得：， ∴小正方形的边长=空白部分的宽+重叠部分边长， ∴小正方形面积， 故选：C． 【例27】高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为．从高空抛物到落地所需时间为，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】将代入进行计算即可；将代入进行计算，再计算与的比值即可得出结论． 【详解】当时，（秒； 当时，（秒； ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 【跟踪训练】 1．现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1)2，， (2)阴影部分面积为； (3)不能截出；理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，正方形木板C的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， 故答案为：2，，； （2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， ∴长方形木板①的长为，宽为， ∴阴影部分面积为； （3）解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（2）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． 题型12：综合压轴 【例28】对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下： 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______，______； (2)若，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，解分式方程： （1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可； （2）分和，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∵， ∴； 故答案为：，； （2）当，即：时，则：，解得：， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴（舍去）； 当，即：时，则：， ∴或（舍去）； ∴． 【跟踪训练】 1．材料：如何将双重二次根式（，，）化简呢？如能找到两个数， （，），使得，即，且使，即，那么，，双重二次根式得以化简． 例如化简：， 因为且， ， 由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到， （，），使得，且，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式． 请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题： (1)填空：=　　，=　　； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解答本题的关键． （1）根据阅读材料中的二次根式的化简方法，将配方成，配方成，即得答案； （2）先将变形为，再用（1）的方法，即可得到答案； （3）先将变形为，再运用（1）的方法化简 和，最后分两种情况分别进行化简，即得答案． 【详解】（1）因为且， ， ， 故答案为：； 因为且， ， ， 故答案为：； （2） 因为且， ， ， ； （3）， ，， ， ， ． 2.数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）解：， ∴点的“横负纵变点”为； ， ∴点的“横负纵变点”为； 故答案为：；． （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ， ． ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次根式化简求值，化简复合型二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解新定义． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$