黑龙江省佳木斯市第八中学2024-2025学年高一下学期7月期末数学试题

17.（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、单项选择题 1. 第1题 ◦ 知识点：复数的运算及复数的虚部概念。涉及复数的除法运算，通过计算求出复数，进而确定其虚部。 ◦ 难易程度：容易。属于复数基础运算题，是对基本概念和运算的直接考查。 2. 第2题 ◦ 知识点：向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示。先计算向量\vec{a}-2\vec{b}的坐标，再利用向量共线条件列方程求解\lambda 。 ◦ 难易程度：容易。是向量部分的基础题型，学生对相关运算和条件熟悉即可解答。 3. 第3题 ◦ 知识点：样本数据的数字特征，包括平均数、标准差、众数、中位数。考查数据经过线性变换后这些数字特征的变化规律。 ◦ 难易程度：中等。需要学生理解各数字特征的计算方法和性质，才能判断其变化情况。 4. 第4题 ◦ 知识点：古典概型的概率计算，以及能被3整除的数的特征。先确定从给定数字中选三个组成三位数的总情况数，再找出是3的倍数的情况数，最后用古典概型公式计算概率。 ◦ 难易程度：中等。综合了排列组合知识和古典概型，需要一定的分析和计算能力。 5. 第5题 ◦ 知识点：标准差的概念和计算原理。根据标准差反映数据离散程度的性质，分析数据修正前后离散程度的变化，从而比较标准差大小。 ◦ 难易程度：中等。对标准差概念理解要求较高，需要分析数据变化对离散程度的影响。 6. 第6题 ◦ 知识点：空间中直线与平面、平面与平面的位置关系及相关判定定理和性质定理。通过对不同命题中条件的分析，判断线面、面面关系是否成立。 ◦ 难易程度：中等。需要学生熟悉各种位置关系的定理，具备一定空间想象和逻辑推理能力。 7. 第7题 ◦ 知识点：相互独立事件的概率计算，以及对立事件的概率公式。利用对立事件先求出密码未被破译的概率，再求被破译的概率。 ◦ 难易程度：中等。要理解相互独立事件和对立事件概率的计算方法并正确运用。 8. 第8题 ◦ 知识点：空间几何中的线面垂直判定、翻折问题中的不变量和变量分析。结合翻折前后的几何关系，利用线面垂直判定定理等判断命题真假。 ◦ 难易程度：较难。涉及空间几何的综合分析，对空间想象和逻辑推理能力要求较高。 二、多项选择题 9. 第9题 ◦ 知识点：百分位数的概念。考查对75百分位数含义的理解，判断关于100个数据的75百分位数相关说法的正误。 ◦ 难易程度：中等。需要准确理解百分位数概念才能进行判断。 10. 第10题 ◦ 知识点：复数的模、复数的乘法运算以及复数相等的概念。通过对复数模的性质、乘法运算规则的运用，判断命题真假。 ◦ 难易程度：中等。要求学生熟悉复数相关运算和性质，有一定的分析判断能力。 11. 第11题 ◦ 知识点：正弦定理、余弦定理在三角形中的应用，以及三角形形状的判断。利用正余弦定理对各个命题中的条件进行转化，判断三角形的相关性质。 ◦ 难易程度：中等。综合了正余弦定理及三角形性质分析，需要一定的知识运用和推理能力。 三、填空题 12. 第12题 ◦ 知识点：单位向量、向量垂直的性质以及向量模的计算。根据向量垂直得到数量积为0，再利用向量模的计算公式求解\vert\vec{a}+\vec{b}\vert 。 ◦ 难易程度：中等。综合了向量的基本性质和运算，需要准确运用相关公式。 13. 第13题 ◦ 知识点：空间向量法求线面角。建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，利用向量夹角公式求线面角的正弦值。 ◦ 难易程度：较难。涉及空间向量的综合运用，计算量和对空间想象能力要求较高。 14. 第14题 ◦ 知识点：分层抽样的计算。根据分层抽样中各层抽取比例相同的性质，列方程求解北面的人数。 ◦ 难易程度：中等。掌握分层抽样基本原理即可求解，但需要准确计算。 四、解答题 15. 第15题 ◦ 知识点：复数的四则运算。包括复数的加法、减法、乘法、除法运算。 ◦ 难易程度：中等。主要考查复数运算规则的准确运用，计算过程需细心。 16. 第16题 ◦ 知识点：线面平行的判定定理、线面垂直的性质和判定定理。（1）利用线面平行判定定理证明CD\parallel平面SAB；（2）通过线面垂直关系证明BD\perp SC。 ◦ 难易程度：中等。需要熟悉相关定理并能正确运用逻辑推理进行证明。 17. 第17题 ◦ 知识点：频率直方图的性质（频率和为1）、用样本估计总体、中位数的计算。（1）根据频率直方图频率和为1求a；（2）利用频率计算不低于3吨的人数；（3）根据中位数定义计算中位数。 ◦ 难易程度：中等。综合考查频率直方图相关知识的运用和计算能力。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.（15分） 15.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 选择题 1 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 条形粘贴处 2025年高一年级下学期期末考试 数学试题答题卡 答题卡 12． 13． 14. 班 级 : 姓 名 : 准考证号 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高一年级下学期期末考试 数学试题 分值：120分 考试时间：90分钟 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1．若复数z满足，则z的虚部为（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若向量与向量共线，则（ ） A． B． C． D． 3．在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（　　） A．平均数 B．标准差 C．众数 D．中位数 4．从1，2，3，4，5中选出三个不同的数字组成一个三位数，则这个三位数是3的倍数的概率为（ ） A． B． C． D． 5．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为（ ） A．s＝s1 B．s<s1 C．s>s1 D．不能确定 6．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（　　） A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β B．若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α C．若m⊥β，m⊂α，则α⊥β D．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n 7．甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为，则密码被破译的概率为（　　） A． B． C． D．1 8．如图，等边三角形中，为边的中点，于．将沿翻折至的位置，连接．那么在翻折过程中： ①总有成立； ②存在某个位置，使； ③在线段上，存在异于两端点的点，使线段的长度始终保持不变． 其中所有正确结论的编号是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．以上选项都不对 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知100个数据的75百分位数是，则下列说法不正确的是（ ） A．这100个数据中一定有75个数小于或等于 B．把这100个数据从小到大排列后，是第75个数据 C．把这100个数据从小到大排列后，是第75个数据和第76个数据的平均数 D．把这100个数据从小到大排列后，是第75个数据和第74个数据的平均数 10．设为复数，．下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．下列命题中，正确的是（ ） A．在中，， B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．向量是单位向量，||＝2，⊥，则||＝　 　． 13．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长和高均为2，点D为侧棱CC1的中点，连接AD，BD，则C1D与平面ABD所成角的正弦值为　 　． 14．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有　 　人．” 四、解答题：本大题共3小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（15分）计算下列复数的值 （1）（1+3i）+（﹣2+i）+（2﹣3i）； （2）； （3）． 16．（15分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，SA⊥平面ABCD． （1）求证：CD∥平面SAB； （2）求证：BD⊥SC． 17．（17分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率直方图． （1）求直方图中的值； （2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数； （3）估计居民月均用水量的中位数． 第 2 页 共 2 页 高三数学试卷第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高一年级下学期期末考试 数学试题 分值：120分 考试时间：90分钟 出题人：麻明明 校题人：于淑杰 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的. 1．若复数z满足，则z的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，虚部为， 故选C． 2．已知向量，，若向量与向量共线，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得， 因为向量与向量共线，所以，解得， 故选A． 3．在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（　　） A．平均数 B．标准差 C．众数 D．中位数 【分析】根据样本A，B中数据之间的关系，结合众数，平均数，中位数和标准差的定义即可得到结论． 【解答】解：设样本A中的数据为xi，则样本B中的数据为yi＝xi﹣5， 则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数相差5， 只有标准差没有发生变化， 故选：B． 4．从1，2，3，4，5中选出三个不同的数字组成一个三位数，则这个三位数是3的倍数的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从1，2，3，4，5这5个数中，选出三个不同的数字组成一个三位数，共有个三个位数， 若这个三位数是3的倍数，则必须是由1，2，3或1，3，5或2，3，4或3，4，5组成的三位数，这一共可组成， 所以这个三位数是3的倍数的概率为，故选C． 5．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为（ ） A．s＝s1 B．s<s1 C．s>s1 D．不能确定 【答案】C 【解析】由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变， 即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为， 则， ， 若比较与的大小，只需比较与的大小即可， 而，， 所以， 从而，故选C． 6．8．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误的是（　　） A．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β B．若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则m∥α C．若m⊥β，m⊂α，则α⊥β D．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解． 【解答】解：若m⊥α，m∥n，n∥β， 则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故A正确； 若α⊥β，m⊄α，m⊥β，则由直线与平面平行的判定定理得m∥α，故B正确； 若m⊥β，m⊂α，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确； 若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故D错误． 故选：D． 7．甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为，则密码被破译的概率为（　　） A． B． C． D．1 【分析】密码被破译的对立事件是甲、乙同时不能破译密码，由此利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出密码被破译的概率． 【解答】解：甲、乙两人独立地破译一份密码， 设事件A表示甲能破译密码，事件B表示乙能破译密码， 则P（A）＝，P（B）＝， 密码被破译的对立事件是甲、乙同时不能破译密码， ∴密码被破译的概率为： P＝1﹣P（）＝1﹣P（）P（） ＝1﹣（1﹣）（1﹣） ＝． 故选：B． 8．如图，等边三角形中，为边的中点，于．将沿翻折至的位置，连接．那么在翻折过程中： ①总有成立； ②存在某个位置，使； ③在线段上，存在异于两端点的点，使线段的长度始终保持不变． 其中所有正确结论的编号是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．以上选项都不对 【答案】B 【解析】①∵，∴，， 又，∴平面，∴，故①正确； ②假设存在某个位置，使得， 连接，则，， 故平面，∴， 又由（1）知，，∴平面，∴， ∴，显然这是不可能的，故假设错误，故②错误； ③存在点，满足，取的中点，连接， 易得，， 设底面三角形的边长为，则，，， ∵平面，故平面，∴，故是直角三角形， ∴，故③正确， 故选B． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知100个数据的75百分位数是，则下列说法不正确的是（ ） A．这100个数据中一定有75个数小于或等于 B．把这100个数据从小到大排列后，是第75个数据 C．把这100个数据从小到大排列后，是第75个数据和第76个数据的平均数 D．把这100个数据从小到大排列后，是第75个数据和第74个数据的平均数 【答案】ABD 【解析】因为为整数， 所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位， 所以A、B不正确；C正确；D不正确， 故选ABD． 10．设为复数，．下列命题中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【解析】由复数模的概念可知，不能得到，例如，，A错误； 由可得，因为，所以，即，B正确； 因为，，而，所以，所以， C正确； 取，，显然满足，但，D错误， 故选BC． 11．下列命题中，正确的是（ ） A．在中，， B．在锐角中，不等式恒成立 C．在中，若，则必是等腰直角三角形 D．在中，若，，则必是等边三角形 【答案】ABD 【解析】对于A，由，可得，利用正弦定理可得，正确； 对于B，在锐角中，， ，， ，因此不等式恒成立，正确； 对于C，在中，由， 利用正弦定理可得，， ，或， 或， 是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C错误； 对于D，由于，， 由余弦定理可得，可得，解得， 可得，故正确， 故选ABD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．向量是单位向量，||＝2，⊥，则||＝　　． 【分析】由题意可得，进行向量的模的运算带入求值即可得答案． 【解答】解：∵⇒； ∴||＝＝． 故答案为：． 13．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长和高均为2，点D为侧棱CC1的中点，连接AD，BD，则C1D与平面ABD所成角的正弦值为　　． 【分析】建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面ABD的法向量，利用空间向量的数量积求解C1D与平面ABD所成角的正弦值即可． 【解答】解：如图，建立空间直角坐标系O﹣xyz， O为A1B1的中点，由已知，A（﹣1，0，2），B（1，0，2），，， 所以，． 设平面ABD的法向量为＝（x，y，z）， 由，令y＝1，则z＝， 所以平面ABD的法向量为＝，， 则C1D与平面ABD所成角的正弦值为：． 故答案为：． 14．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有　8100　人．” 【分析】根据分层抽样时抽取的比例相等，列方程求出结果． 【解答】解：设北面有x人，根据题意得 ＝， 解得x＝8100． 故答案为：8100． 四、解答题：本大题共3小题，共47分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（1）（1+3i）+（﹣2+i）+（2﹣3i）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）原式＝1﹣2+2+（3+1﹣3）i＝1+i．（2）；. 16．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，SA⊥平面ABCD． （1）求证：CD∥平面SAB； （2）求证：BD⊥SC． 【分析】（1）推导出AB∥CD，由此能证明CD∥平面SAB． （2）连结AC，推导出SA⊥BD，AC⊥BD，从而BD⊥平面SAC，由此能证明BD⊥SC． 【解答】证：（1）在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为菱形， 所以AB∥CD，……（2分） ∵AB⊂平面SAB，CD⊄平面SAB， ∴CD∥平面SAB……（4分） （2）连结AC．∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴SA⊥BD……（6分） ∵底面ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， ∵AC∩SA＝A，AC，SA⊂平面SAC， ∴BD⊥平面SAC，又SC⊂平面SAC……（9分） ∴BD⊥SC．……（10分） 17．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照，，…，分成9组，制成了如图所示的频率直方图． （1）求直方图中的值； （2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数； （3）估计居民月均用水量的中位数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）由频率直方图可知，月均用水量在的频率为． 同理，在，，，，，的频率分别为，，，，，． 由，解得． （2）由（1）知，100位居民月均用水量不低于3吨的频率为． 由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为． （3）设中位数为， 因为前5组的频率之和为． 而前4组的频率之和为， 所以， 由，解得， 故可估计居民月均用水量的中位数为． 第 2 页 共 2 页 高三数学试卷第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$