1.3.4 完全平方公式的应用（教学设计）-2024—2025学年北师大版数学七年级下册

本文围绕完全平方公式的应用展开，承接平方差公式简便运算背景，为后续复杂运算奠基。通过创设情境、探究应用等环节，培养学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界的核心素养，如在探究中引导学生抽象、推理与表达。 本设计创新点在于以问题驱动探究，采用自主探索、小组讨论教法，借助多媒体辅助。能提升学生运算与推理能力，为教师提供清晰授课路径，有效突破灵活运用公式这一教学难点。

完全平方公式的应用 教材分析： （1）本节课的主要教学内容是探索完全平方公式在数学运算中的应用。 （2）本节课主要介绍了如何将完全平方公式应用于简化复杂的平方计算，如 102² 或 197²，并且通过例题讲解了如何利用公式进行综合运算，包括多项式和单项式混合运算的方法。 （3）通过学习本节课，学生能够掌握完全平方公式的结构特征及其在简化数学运算中的应用，从而提高他们的计算速度和准确度。此外，学生还将通过实践活动，增强数学建模能力和应用数学解决实际问题的能力，进而培养他们对数学的兴趣和自信心。 教学目标： （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过运用完全平方公式进行简便运算，学生能够从实际问题中抽象出数学模型，理解数学与生活的紧密联系。 （2）会用数学的思维思考现实世界：在多项式、单项式的混合运算中，学生能够灵活运用完全平方公式，培养逻辑推理和问题解决能力。 （3）会用数学的语言表达现实世界：通过解决实际问题，学生能够用数学符号和公式准确表达问题，提升数学表达能力。 教学重点： （1）灵活运用完全平方公式解决实际问题，培养学生的数学建模意识和应用能力。 （2）通过真实情境中的计算任务，提升学生的符号运算能力和综合运算技巧。 教学难点： （1）灵活运用完全平方公式进行整式的简便运算，尤其是将复杂的整式转化为完全平方公式的形式。 （2）在真实情境中运用完全平方公式解决实际问题，培养学生的数学建模意识及应用数学解决实际问题的能力。 教学资源准备： （1）多媒体设备。 （2）《北师大版数学七年级下册》教材。 （3）相关的数学教学软件或应用程序，如几何画板或 Mathematica，用于演示和探索完全平方公式的图形表示和动态变化。 教学过程： 一、创设情境 导入新课 【课堂引入】 利用平方差公式可以简便计算 998×1002 的值，如果没有计算器的情况下，你能很快算出 998² 的结果吗？ 处理方式：首先让学生尝试计算 998×1002。在学生完成这一计算后，教师提问：“现在我们来思考如何快速计算 998²。”（生：可以用平方差公式，但 998² 好像不太一样。）此时，教师进一步引导：“那我们能不能用完全平方公式来解决这个问题呢？” 设计意图：通过类比运用平方差公式进行简便运算，提出新的问题，激发学生的求知欲，为引入新课做准备。 二、探究与应用 （1）利用完全平方公式进行简便运算 【探究 1】 利用完全平方公式简化复杂的平方运算 怎样才能更简单地计算 102² 和 197² 呢？ 处理方式：鼓励学生自主探索，之后小组内进行讨论交流。教师适时介入并提示：直接计算 102² 和 197² 比较复杂。是否可以将这些数改写成 (a+b)² 或 (a-b)² 的形式？a 和 b 应如何确定？进而指导学生利用完全平方公式解决这些问题。 例如： 102² = (100+2)² 197² = (200-3)² （生：102² = (100+2)² = 100² + 2 × 100 × 2 + 2² = 10000 + 400 + 4 = 10404） 【应用】 例题：利用乘法公式计算下列各题 (1) 96²; (2) 203²。 处理方式：邀请两名同学到黑板前演示解题过程，其余同学则在自己的练习本上完成。教师巡视检查，及时给予反馈。 （2）利用完全平方公式进行综合运算 【探究 2】 探索完全平方公式在更复杂情况下的应用 例题：计算下列各式 (1) (x+3)² - x²； (2) (a+b+3)(a+b-3)； (3) (x+5)² - (x-2)(x-3)； (4) [(a+b)(a-b)]²。 处理方式：先让学生观察题目结构特点，寻找解题思路。接着，小组内部分享交流各自的想法。对于第 (1) 题，学生可能倾向于直接套用完全平方公式进行解答；这时老师可以指出这里也可以逆向运用平方差公式。（生： (x+3)² - x² = x² + 6x + 9 - x² = 6x + 9） (2) 题中的表达式可以通过多项式乘法规则求解，不过教师也会引导学生考虑把 (a+b) 视为一个整体后再利用平方差公式处理。 (3) 对于第三道题，需要结合完全平方公式及多项式的乘积法则共同作用，并且注意当减去某项时要添加括号以避免混淆符号。 (4) 最后一个问题要求学生先对中括号内的部分应用一次平方差公式，再针对结果应用完全平方公式。 变式题目的处理也是类似的流程，旨在加深学生对该知识点的理解与掌握。 变式　计算： (1) (a-b+3)(a-b-3); (2) (ab+1)² - (ab-1)²。 处理方式：学生独立完成上述变式题，然后借助投影仪展示答案，师生共同纠错讨论。 （3）拓展提升 【拓展提升】 深入理解完全平方公式的变形及其应用场景 变式一：a² + b² = (a+b)² - 2ab。若 a+b=5, ab=6，则 a² + b² 的值是 13。 变式二：a² + b² = (a-b)² + 2ab。若 a-b=5, ab=6，则 a² + b² 的值是 37。 变式三：(a-b)² = (a+b)² - 4ab。若 (a+b)²=8, ab=1，则 (a-b)² = 4。 变式四：(a+b)² = (a-b)² + 4ab。若 (a+b)²=8, ab=1，则 (a-b)² = 4。 处理方式：每种变形后的公式先由学生自行推导得出，随后教师利用多媒体资源展示正确答案，并组织相应的巩固练习活动。 三、课堂总结 反思 【达标测评】 应用完全平方公式快速计算： (1) 98²; (2) 103²。 完成如下计算任务： (1) (x-2y)(x+2y) - (x-2y)²; (2) (m+2n+3)(m+2n-3); (3) (2a+1)² - (1-2a)²。 已知条件：a+b=3, ab=-12，依据此信息求解下列两个问题： (1) (a-b)²; (2) a² + b²。 处理方式：教师巡视指导学生完成练习，完成后公布答案，并要求学生自我检查纠正错误之处。 设计意图：通过实际操作演练，检验本节课所学知识的实际掌握情况，同时激发所有参与者的积极性，确保每个人都能从中学有所获。 课后作业： （1）利用完全平方公式计算以下各题，并解释每一步的计算思路： 982 1032 （2）根据已知条件 a+b=3, ab=-12，分别计算以下表达式的值： (a-b)2 a2+b2 学科网（北京）股份有限公司 $$