精品解析：湖南省永州市第四中学2024-2025学年高二直升班下学期期末考后暨高三摸底考试数学试题

2023级高二直升班期末考后暨高三摸底考试 数学（试题卷） 注意事项： 1.本试卷共150分，考试时量120分钟. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 3.考试结束后，只交答题卡. 4.考试范围为：高一高二内容（70%）+高三内容（30%） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知数列中，，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2. 已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 甲､乙､丙､丁共4名同学进行党史知识比赛，决出第1名到第4名的名次（名次无重复），其中前2名将获得参加市级比赛的资格，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的资格.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，4人的排名有（ ）种不同情况. A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5. 已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0，1 D. ﹣1，0，1 6. 已知则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若对任意的，恒成立，则实数a的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点关于直线的对称点在直线上，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. -2 10. 已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为（ ） A. B. C. D. 11. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量，则______． 13. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 14. 在正四面体中，取棱上一点T，使，连接，三棱锥的内切球的球心为M，三棱锥的内切球的球心为N，则平面与平面的夹角的正弦值是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 16. 已知一个黑色袋子里装有2个红球，4个白球，这些球除颜色不同外，其余均相同，甲同学每次从袋子中任取一个球，不放回，直到把两个红球都取出来即终止，记此时袋子里剩余球的个数为X． （1）求甲同学取球两次即终止的概率； （2）求随机变量X的分布列及期望． 17. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 18. 设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． （1）判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； （2）若函数是上的“函数”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：，． 19. 定义：若函数与在公共定义域内存在使得，则称与为“契合函数”． （1）判断函数和是否为“契合函数”； （2）若函数和不为“契合西数”，求的取值范围； （3）若函数和在区间上为“契合函数”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高二直升班期末考后暨高三摸底考试 数学（试题卷） 注意事项： 1.本试卷共150分，考试时量120分钟. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效. 3.考试结束后，只交答题卡. 4.考试范围为：高一高二内容（70%）+高三内容（30%） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知数列中，，若，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列定义求出，利用构造法求出，再列式求解即得. 【详解】在数列中，由，得数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 则，即， 因此数列是以为首项，为公差的等差数列. 则，即，由，得， 所以. 故选：B 2. 已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 4. 甲､乙､丙､丁共4名同学进行党史知识比赛，决出第1名到第4名的名次（名次无重复），其中前2名将获得参加市级比赛的资格，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的资格.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，4人的排名有（ ）种不同情况. A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知甲不在前2名，乙不在最后一名，然后分类讨论可得答案. 【详解】若甲是最后一名，则其他三人没有限制，4人的排名即为， 若甲是第三名，4人的排名为， 所以4人的排名有种情况. 故选：C 5. 已知集合A＝{x|ax2+2x+a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 0，1 D. ﹣1，0，1 【答案】D 【解析】 【分析】若A有且仅有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程ax2+2x+a＝0恰有一个实数解，分类讨论能求出实数a的取值范围． 【详解】解：由题意可得，集合A为单元素集， （1）当a＝0时，A＝{x|2x＝0}＝{0}，此时集合A的两个子集是{0}，， （2）当a≠0时 则△＝4﹣4a2＝0解得a＝±1， 当a＝﹣1时，集合A的两个子集是{1}，， 当a＝1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，． 综上所述，a的取值为﹣1，0，1． 故选：D． 6. 已知则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可证明且，可判定A错误；将 看作，的图象与直线 交点的横坐标，数形结合可判断B；由题意可知，又，所以，即可判断C；构造函数 ，利用其单调性即可判断D． 【详解】若，则，，则不成立，A错误； 若，则，，不成立， 若，，则，， 所以不成立，所以且， 又，，则，可以分别看作，的图象与直线交点的横坐标， 作出，与的图象如图所示， 结合图象可知， 综上所述，故B错误； 由，，可得， 所以，C错误； 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 因为，所以，即， 所以，D正确． 故选：D． 7. 若对任意的，恒成立，则实数a的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】参数分离可得，构造函数，利用导数求出的最大值即可. 【详解】对任意的，恒成立， 在恒成立， 设， ， 令，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，即的最小值为2. 故选：A. 【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，分离参数，构造函数，利用导数求函数最值是解决问题的关键. 8. 已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化有且只有一个负整数解，构造函数与，利用导数法求函数的最值，并在同一坐标系分别作出函数的图象，通过数形结合即可求解. 【详解】已知函数，则 有且只有一个负整数解. 令，则， 当时，， 当时，， 所以在上递减，在上递增， 当时，取得最小值为. 设，则恒过点 在同一坐标系中分别作出和的图象，如图所示 显然，依题意得且即 且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点睛：将问题转化为有且只有一个负整数解，构造函数 与，利用导数法求函数的最值，作出函数的图象，通过数形结合即可. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点关于直线的对称点在直线上，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. -2 【答案】AC 【解析】 【分析】设点，利用的中点坐标满足方程，及垂直直线，得到方程组，解出即可. 【详解】因为点在直线上，设点， 又， 则的中点坐标为， 其必在直线上， 则， 化简为，① 又垂直直线， 故，化简为，② 联立①②，解得 ，或， 又当时，根据垂直直线， 必有，此时直线方程为， 的中点坐标为，不在直线上，不满足题意， 故， 故选：AC. 10. 已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】分两种情况：过且与平行的直线，利用直线的点斜式方程，直接求解即可；直线过且经过中点，因为中点，所以直线方程：． 【详解】由题意，，不共线，所以存在两种情况： 直线过且与平行时，根据直线的点斜式方程可得：， 化简得：． 直线过且经过中点，因为中点， 所以直线方程：． 综上所述：直线方程为： 和． 故选:AD． 11. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对，设，由椭圆和双曲线的标准方程可得和，由此即可判定；对B，由题意和双曲线的定义结合余弦定理联立方程组求解即可判定；对C，由B中结论转化为离心率即可判定；对D，由C中结论，利用构造互为倒数的类型，再利用基本不等式求最值即可判定. 【详解】对于，设，因为是椭圆的焦点，所以； 又因为是双曲线的焦点，所以 所以，故A正确； 对于B，由题意可得，两式平方整理得， 在中，由，得，即， 又由，，可得，解得，故B正确； 对于C，由B可得，即，即，故C错误； 对于D，由C可得， 所以， 当且仅当时等号成立，即的最小值为，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质求解即可. 【详解】由，，得； 所以， 所以，又， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即. 14. 在正四面体中，取棱上一点T，使，连接，三棱锥的内切球的球心为M，三棱锥的内切球的球心为N，则平面与平面的夹角的正弦值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】画出立体图形和截面图形，结合题意分别确定的位置，再由几何关系求出正弦值. 【详解】 设三棱锥的内切球分别与面、面相切于两点， 易知平分，平分，易知， 取中点为，则在的平分线上， 同理三棱锥的内切球球心在的角平分线上， 易知面，故，同理， 于是为平面与平面的夹角的平面角， 设正四面体棱长为，则，， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程； （2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可； 【小问1详解】 解：依题意可得，，又， 所以，所以椭圆方程为； 【小问2详解】 由题意，过点斜率为k的直线为， 设、，不妨令， 由，消去整理得， 所以，解得， 所以，， 直线的方程为，令，解得， 直线的方程为，令，解得， 所以 ， 所以， 即 即 即 整理得，解得 16. 已知一个黑色袋子里装有2个红球，4个白球，这些球除颜色不同外，其余均相同，甲同学每次从袋子中任取一个球，不放回，直到把两个红球都取出来即终止，记此时袋子里剩余球的个数为X． （1）求甲同学取球两次即终止的概率； （2）求随机变量X的分布列及期望． 【答案】（1） （2）X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P ． 【解析】 【分析】（1）甲同学取球两次即终止即两次都取红球，结合题意由古典概率计算可得； （2）求出X的可能取值，由题意求出相应的概率，列出分布列，利用期望公式求解可得. 【小问1详解】 设甲同学取球两次即终止为事件A，． 【小问2详解】 X的可能取值为0，1，2，3，4， ，； ， 随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P . 答：甲同学取球两次即终止的概率为，随机变量X的期望为． 17. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：； （3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域. 【答案】（1） （2）证明：由（1）知， 所以 ， 即. （3） 【解析】 【分析】（1）先计算的值，再由，利用向量数量积的运算律计算即可； （2）利用向量数量积的运算律计算并化简即可得证； （3）利用（2）的公式计算，设，求出，将转化成，结合二次函数的图象即可求得的值域. 【小问1详解】 因为的“完美坐标”为，则， 又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为， 所以,， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为向量，的“完美坐标”分别为，， 由（2）得. 令，则， 因为，所以，即， 令， 因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的值域为. 【点睛】思路点睛：本题在求解与之相关的函数问题时，应按照新定义，准确写出函数解析式，对于较复杂的三角式，常常运用整体换元思想，将其转化成熟悉的函数，如二次函数、双勾函数等，利用这些函数的图象性质特征求解即可. 18. 设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集．若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”． （1）判断函数是否为上的“函数”，并说明理由； （2）若函数是上的“函数”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：，． 【答案】（1）是上的“函数”，理由如下： 因为，则， 因为，． 又，所以， 所以对于任意恒成立． 故是上的“函数”． （2）（ⅰ）； （ⅱ）由（ⅰ）知，． 对，． 下面证：，， 即证，． 设，则，所以在上单调递增， 又，所以成立． 所以时，不等式成立． 所以，成立． 【解析】 【分析】（1）求出，结合题中定义验证即可； （2）（ⅰ）分析可知，任意的恒成立．时，可得，时，可得出，时，可得出，利用导数分析函数在区间、上的单调性，综合可得出实数的取值范围； （ii）由题意可得，．利用导数先证明：，，即证，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，求其最小值，即可证得结论成立. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）， 由条件得对任意的恒成立， 即任意的恒成立． ①当时，对一切成立． ②当时，恒成立． 设，则对任意的恒成立， 所以在上单调递减，可得． ③当时，由恒成立． 设，则，所以在上单调递减， 可得． 综上所述，的范围是． （ⅱ）略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 19. 定义：若函数与在公共定义域内存在使得，则称与为“契合函数”． （1）判断函数和是否为“契合函数”； （2）若函数和不为“契合西数”，求的取值范围； （3）若函数和在区间上为“契合函数”，求的取值范围． 【答案】（1）与为“契合函数” （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用“契合函数”的定义直接求解即可； （2）构造函数，由于与不为“契合函数，则可将原问题转化为在上无零点，结合导数知识以及参变分离的思想分在上恒成立与若在上恒成立两种情况进行讨论即可求得a的取值范围； （3）令，结合“契合函数”的定义，将原问题转化为在上存在零点，利用导数知识即可求得m的取值范围. 【小问1详解】 根据定义，若与为“契合函数”，则在公共定义域内有解． 又， 所以，即，解得， 所以与为“契合函数”． 【小问2详解】 令， 因为与不为“契合函数，又为上的连续函数， 所以在上无零点，即恒为负或恒为正． 若在上恒成立，取，则，即， 又当时，， 令，所以， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，与假设矛盾， 所以不存在使得在上恒成立． 若在上恒成立，即， 令，所以， 又在上单调递减，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即的取值范围是． 【小问3详解】 令，则， 因为与在上为“契合函数”，所以在上存在零点， 即在上存在零点．又因为， 当且时，因为，所以，所以在上单调递增，则， 此时在上不存在零点，不满足题意； 当时，当时，，所以， 当时，令，则， 所以在上单调递增，且，故在上存在唯一零点，设为，使得， 所以当时，；当时，； 又当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上存在唯一极小值点， 因为，所以，又因为，所以在上存在唯一零点， 所以函数与在上为“契合函数”． 综上，的取值范围是． 【点睛】对于函数新定义问题，重要的是读懂定义.不等式恒成立求参数的问题，一般情况下会优先考虑参变分离，参变分离无法求解时才会考虑含参讨论的方法，最重要的是熟记导数的方法研究函数单调性，最值等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $