云南省玉溪第一中学2023-2024学年高一（新高二）下学期期末检测数学试题（特长级部）

绝密★启用前 玉溪一中2023—2024学年下学期期末检测（特长级部） 高二年级数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. “”是“函数取得最大值”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，，若与方向相反，则（ ） A. 54 B. 48 C. D. 4. 在样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他6个小长方形的面积和的，且样本量为80，则中间一组的频数为（ ） A 0.25 B. 16 C. 20 D. 0.5 5. 已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C D. 6. 过点的直线l与曲线相切，则直线l的斜率为（ ） A. 不存在 B. -1 C. 3 D. 3或-1 7. 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为1的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若函数存在两个极值点，且不等式恒成立，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数若把的图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍后，再将图象向右平移个单位，可以得到，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的周期为π C. 的一个单调递增区间为 D. 在区间上有5个不同的解，则的取值范围为 10. 设数列是以d为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 或为的最大值 11. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（ ） A. 的最小值为8 B. 若直线l经过，且与双曲线C交于另一点Q，则的最小值为6 C. 为定值 D. 若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 甲、乙两人计划从A，B，C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有______种． 13. 已知，则______． 14. 小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝ 某同学根据小菲拟合后信息得到以下结论： ①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； ②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%； ③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%. 其中正确结论的序号有________．(请写出所有正确结论的序号) 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为. （1）若，求； （2）若，求证：. 16. 已知函数 （1）若，判断函数的单调性，并求出函数的最值. （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围. 17. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 18. 随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降价飞入寻常百姓家．某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广． （1）公司内部测试的活动方案设置了第次抽奖中奖的名额为 ，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个．若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束．参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中． ①请求甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率分别是多少? ②请求甲参加抽奖活动次数的分布列和期望? （2）由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广．报名参加第一次抽奖活动的有20万用户，该公司设置了第次抽奖中奖的概率为，每次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行次．已知用户丙参加了第一次抽奖，并在这次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于． 19. 已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6. （1）求点的轨迹的方程. （2）已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由. 绝密★启用前 玉溪一中2023—2024学年下学期期末检测（特长级部） 高二年级数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】6 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】①② 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）见解析 【16题答案】 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，最小值为，无最大值 （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【18题答案】 【答案】（1）①甲在第一次中奖的概率为，乙在第二次中奖的概率为；②分布列见解析，；（2）证明见解析． 【19题答案】 【答案】（1） （2）是，证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$