精品解析：湖南省衡阳市衡阳县2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

2025年上学期高一年级期末联考 数学 本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的概念求解即可. 【详解】∵，， ；；；；， ∴， 故选：B． 2. 已知命题p：、，使得，则命题p的否定为（ ） A. ，，使得 B. 、，使得 C. ，，都有 D. 、，都有 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】将“∃”与“∀”互换，“＝”与“≠”互换， 可得否定命题为：、，都有. 故选：D． 3. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据侧面积相等列方程求得底面半径，进而求得圆锥的表面积. 【详解】设两者的底面半径为r，则由侧面积相等可得，解得， 故圆锥的表面积. 故选：C 4. 从A队30人、B队20人中，按照分层随机抽样的方法从两队共抽取5人.进行一轮答题竞赛.相关统计情况如下：A队答对题目数的平均数为2，方差为1.5；B队答对题目数的平均数为1.方差为0.4，则这5人答对题目数的方差为（ ） A. 1.3 B. 1.06 C. 0.95 D. 0.8 【答案】A 【解析】 【分析】先求得整体平均数，然后根据总方差的计算公式求得正确答案. 【详解】显然抽取A队3人，B队2人，整体平均数， 故总方差. 故选：A 5. 已知空间中两条不同的直线m，l和三个不同的平面α、β、γ，满足，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，再结合线面垂直的判定和性质及充要条件的概念判断即可. 【详解】令，，取γ内一点P使得，， 由，可得， 由可知，同理， 而，，，故． 若，，则； 若，，则， 故“”是“”的充要条件， 故选：C． 6. 常德市某中学的校级运动会上，甲乙两人准备进行羽毛球冠亚军争夺赛，比赛实行三局两胜制.已知每局比赛中，若甲先发球，甲获胜的概率为，否则甲获胜的概率为.第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球.各局比赛相互独立，则甲获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【详解】甲前两轮胜利的概率， 甲前两轮一赢一输，第三轮胜利的概率， 于是甲胜利的概率. 故选：D 7. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，时，当角C有两解时，边a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，垂足为D，记点A关于D的对称点为，设，则，由勾股定理求得．由C有两解可知点B在线段（不含端点和D）上运动，故，可得的范围． 【详解】作，垂足为D，记点A关于D的对称点为， 在中，设，则，得， 于是，解得，，． 由C有两解可知点B在线段（不含端点和D）上运动， 故，可得， 故选：B． 8. 已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简题目所给方程，对进行分类讨论，根据复合函数、图象、根的个数等知识求得的取值范围. 【详解】原方程可化为， 而的解为或或，若，则或或， 由图象可知此时有10个实数解．当时，显然无解， 当时，，此时有3个实数解，不合题意． 当时，显然有两解，此时实数解个数不超过8，不合题意．显然． 当时，有三解，此时由图象易知实数解个数不超过8，不合题意． 当时，有三解，此时对于满足的解，易知其满足， 故由图象可得此时实数解个数不超过7，不合题意．当时， 注意到，且， 故由图象可得此时实数解个数为9，符合题意. 故选：B 二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得的部分分，有选错的得0分. 9. 对于任意向量，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，满足，且，反向，则 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】向量之间无法比较大小，可判断A；利用数量积的概念与性质可判断B，举反例可判断C；根据向量减法的几何意义可判断D. 【详解】对于A选项，向量之间无法比较大小，A错误， 对于B选项，，B正确， 对于C选项，当，时，，， 则，，此时，C错误， 对于D选项，取平面内三点A，B，C，令，，则， 而由可得，D正确， 故选：BD． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 把函数的图象平移个单位后关于y轴对称，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数的周期性求得，利用特殊点求得，也即求得的解析式，再结合三角函数图象变换来确定正确答案. 【详解】对于A选项，由图象可得，解得，A正确. 对于B选项，由可得， 且由，和可得，B错误. 对于C选项，显然，故，C正确. 对于D选项，，由偶函数性质可得，， 于是，当且仅当时，等号成立，D正确. 故选：ACD． 11. 在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（ ） A. 过点E有且只有一条直线与直线和都相交 B. 过点E有且只有一个平面与直线和所成角相等 C. 过A，，E三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的面积为 D. 点Q是正方形内的动点，，则Q点的轨迹长度是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平面的性质判断A；举例说明判断B；取中点为F，作出截面并求出其面积判断C；可证得平面，可知点Q的轨迹为线段，求出轨迹的长度判断D. 【详解】对于A选项，记点Q为上一点，与相交于点P，易知此时Q在平面上， 而直线与平面有且仅有唯一交点，故有且仅有一个点Q符合条件， 于是满足条件的直线有且仅有一条，A正确， 对于B选项，一个平面与所成角等于该平面与直线所成角. 根据正方体的对称性可知，平面，平面均符合要求，B错误， 对于C选项，取中点为F，显然， 故该截面的面积可等价为梯形的面积， 而，，， 故由平面几何知识可知该梯形的高为， 其面积，C正确， 对于D选项，因为平面，平面，所以， 因为是正方形，所以， 又，平面，平面，故平面， 又，平面，点Q是正方形内的动点， 可知点Q的轨迹为线段，长度为，D正确， 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，为纯虚数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数乘法运算化简，再根据纯虚数的知识求得 【详解】，由其为纯虚数可知， 解得. 故答案为： 13. 若半径为2的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】易知正三棱柱的高为4，内切球与外接球的球心重合，底面三角形的内切圆半径为2，可求出外接球半径，再利用球的体积公式求解． 【详解】易知该正三棱柱的高为， 不妨记下底面的顶点为A，B，C，易知内切球与外接球的球心重合，记为O， 显然的内切圆半径为2，记内切圆圆心为，则，， 故外接球半径， 故外接球体积， 故答案为：． 14. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，，则周长的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数值域的知识求得的取值范围，进而求得周长的取值范围. 【详解】依题意，，， 所以， 由可知, 所以，故， 而，故， 于是的周长. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的最值及相应x的值． 【答案】（1）， （2）当时，取最大值为，当时，取最小值为 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简的解析式，然后利用整体代入法求得函数的单调递增区间； （2）根据三角函数最值的求法求得的最值及相应x的值． 【小问1详解】 （1）因为 ， 所以令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为：，， 【小问2详解】 因为，所以， 令，则函数在单调递增，在单调递减； 所以时，； 时，； 所以当时，函数取最大值为，当时，函数取最小值为． 16. 2025年世界大学生夏季运动会将于7月16日至7月27日在中国成都举行．随着大运会的临近，大运会的热度持续提升．为了让更多的人了解大运会运动项目和运动精神，某大学举办了大运会知识竞赛，并从中随机抽取了200名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）试根据频率分布直方图求出这200名学生中成绩低于70分的人数； （2）试利用频率分布直方图估计这200名学生成绩的第85百分位数； （3）若采用分层随机抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取6人参加志愿者活动．现从这6人中随机抽取3人分享活动经验，求抽取的3人中至少有1人的成绩在的概率． 【答案】（1）80 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中数据计算所求人数； （2）先判断第85百分位数在内，根据百分位数的概念求解即可； （3）由频率分布直方图根据比例求出三个区间上抽取的人数，然后利用古典概型的概率公式求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图中数据可知：（人） 【小问2详解】 成绩小于80的频率为， 成绩在的频率为，因为， 所以这100名学生成绩的第85百分位数在内． 所以随机抽取的200名学生成绩的第85百分位数为． 【小问3详解】 因为成绩在，，的学生人数所占比例为3：2：1， 所以从成绩在，，所抽取人数分别应抽取3人，2人，1人． 记抽取成绩在的3人为a，b，c，成绩在的2人为d，e，成绩在的1人为f． 从这6人中随机抽取3人的所有可能为： 共20种情况,且每种情况的发生是等可能的． 抽取的3人中至少有1人的成绩在的情况有： ．共16种等可能的情况． 所以抽取的3人中至少有1人的成绩在的概率为：． 17. 如图三棱柱中，侧面底面ABC，底面三角形ABC不是直角三角形，． （1）求证：三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积； （2）若底面ABC为正三角形，，P为线段BF上一动点，且满足四棱锥的体积为，求平面PAB与平面ABC所成二面角的正切值． 【答案】（1）证明：过B作，垂足为O， AI 因为三角形ABC不是直角三角形，所以O与A，C不重合， 又因为侧面底面ABC， 所以面ACFD，因为平面，所以， 又∵，，∴，而平面， 所以面ABC，即三棱柱为直三棱柱， 设侧面面积分别为，，，则由于三棱柱为直三棱柱， 所以，，， 又∵，，， ∴，，， 所以三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积； （2） 【解析】 【分析】（1）先证得三棱柱是正三棱柱，然后根据三角形的性质证得三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积. （2）作出平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角，解直角三角形求得二面角的正切值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 过P作，垂足为N，过N作， 垂足为M，连接PM，易知面ABC， 因为平面，所以， 又因为平面，所以面PMN， 因为平面，所以， 即为平面PAB与平面ABC所成平面角； 设P到平面ACFD的距离为h，因为， 即得，可知P为线段BF的中点，则N为线段BC的中点， 所以，， 在中， 所以平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角的正切值为． 18. 定义在定义域D上的函数，若存在实数m，使得为偶函数，则称函数为型函数；若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为型函数． （1）已知的定义域为R，且的图象关于直线对称．证明：为型函数； （2）若，，且为型函数． ①证明：； ②若，对于，，求a的取值范围． 【答案】（1）证明：由的图象关于直线对称，定义域为R，得， 则，即函数为偶函数， 所以为型函数. （2）①证明：由函数为型函数，得存在实数m，使得为奇函数， 即成立，而， 于是， 即，又，当且仅当时取等号， 因此不恒为0，则，即，而， 所以. ② 【解析】 【分析】（1）利用型函数定义，结合函数对称性推理得证. （2）①求出函数，利用型函数定义列式，化简变形得即可求出的范围；②把代入，等价变形给定不等式，分离参数，借助二次函数求出范围. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ①略； ②当时，， 不等式恒成立， 则，即， 于是恒成立，令，则， ，即， 当时，，当且仅当时取等号，则， 所以a的取值范围为. 19. 如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，为边上的中线，且，． （1）求边c的长度； （2）求； （3）设E，F分别为边，上的动点，线段交于G，且的面积为面积的，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件利用余弦定理求解； （2）在和△ADC中，分别利用正弦定理，求得．分为情况讨论：为钝角，为锐角，结合余弦定理求解； （3）设，，，可得，由E、G、F三点共线，根据三点共线相关结论，得，由数量积的运算可得，的面积为面积的，利用三角形面积公式可得．从而化简，求解范围即可. 【小问1详解】 ∵， 由余弦定理：， ∵，∴． 【小问2详解】 ∵，，可知， ∴． 在中，由正弦定理可得： ① 在中，由正弦定理可得：， ∵，②， 将①②两式相除可得：． 若为钝角，则， 在三角形中，由余弦定理得：， 在三角形中，由余弦定理得：， 又，∴， ，显然与已知矛盾． ∴为锐角，．∴， 又，． ∴， ∵为三角形内角，∴． 【小问3详解】 设，，（λ，） ∴，， ， ∵E、G、F三点共线，根据三点共线相关结论，得， ， ． ∴ ， ∵，而， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上学期高一年级期末联考 数学 本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：、，使得，则命题p的否定为（ ） A. ，，使得 B. 、，使得 C. ，，都有 D. 、，都有 3. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 从A队30人、B队20人中，按照分层随机抽样的方法从两队共抽取5人.进行一轮答题竞赛.相关统计情况如下：A队答对题目数的平均数为2，方差为1.5；B队答对题目数的平均数为1.方差为0.4，则这5人答对题目数的方差为（ ） A. 1.3 B. 1.06 C. 0.95 D. 0.8 5. 已知空间中两条不同的直线m，l和三个不同的平面α、β、γ，满足，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 常德市某中学的校级运动会上，甲乙两人准备进行羽毛球冠亚军争夺赛，比赛实行三局两胜制.已知每局比赛中，若甲先发球，甲获胜的概率为，否则甲获胜的概率为.第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球.各局比赛相互独立，则甲获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，时，当角C有两解时，边a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若关于x的方程有19个不等实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得的部分分，有选错的得0分. 9. 对于任意向量，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，满足，且，反向，则 B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 把函数的图象平移个单位后关于y轴对称，则的最小值为 11. 在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则（ ） A. 过点E有且只有一条直线与直线和都相交 B. 过点E有且只有一个平面与直线和所成角相等 C. 过A，，E三点的截面把正方体分成两部分，则该截面的面积为 D. 点Q是正方形内的动点，，则Q点的轨迹长度是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，为纯虚数，则______． 13. 若半径为2的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的体积为______． 14. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，，则周长的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）当时，求函数的最值及相应x的值． 16. 2025年世界大学生夏季运动会将于7月16日至7月27日在中国成都举行．随着大运会的临近，大运会的热度持续提升．为了让更多的人了解大运会运动项目和运动精神，某大学举办了大运会知识竞赛，并从中随机抽取了200名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）试根据频率分布直方图求出这200名学生中成绩低于70分的人数； （2）试利用频率分布直方图估计这200名学生成绩的第85百分位数； （3）若采用分层随机抽样的方法从成绩在，，的学生中共抽取6人参加志愿者活动．现从这6人中随机抽取3人分享活动经验，求抽取的3人中至少有1人的成绩在的概率． 17. 如图三棱柱中，侧面底面ABC，底面三角形ABC不是直角三角形，． （1）求证：三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积； （2）若底面ABC为正三角形，，P为线段BF上一动点，且满足四棱锥的体积为，求平面PAB与平面ABC所成二面角的正切值． 18. 定义在定义域D上的函数，若存在实数m，使得为偶函数，则称函数为型函数；若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为型函数． （1）已知的定义域为R，且的图象关于直线对称．证明：为型函数； （2）若，，且为型函数． ①证明：； ②若，对于，，求a的取值范围． 19. 如图，设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，为边上的中线，且，． （1）求边c的长度； （2）求； （3）设E，F分别为边，上的动点，线段交于G，且的面积为面积的，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $