精品解析：海南省海口中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题（B卷）

海口中学2022-2023学年度第二学期期末考试 高一数学（B卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的补集和交集运算求解即可. 【详解】因为全集，， 所以，因为集合， 所以. 故选：D. 2. 已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（ ） A B. 6 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知直线的斜率，再结合斜率公式运算求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 又因为，则，解得. 故选：C. 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 函数的单调递增区间是 C. 若函数的最大值为3，最小值为1，则的值域是 D. 若是偶函数，则函数的图象关于直线对称 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：求函数定义域，结合函数相等分析判断；对于B：根据复合函数单调性分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据偶函数以及对称性的定义分析判断. 【详解】对于选项A：令，解得， 可知函数的定义域为， 令，解得或， 可知函数的定义域为， 两者定义域不同，所以函数与不是同一个函数，故A错误； 对于B：令，解得或， 可知函数的定义域为， 又因为在定义域内单调递增，且在内单调递减，在内单调递增， 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的单调递增区间是，故B错误； 对于选项C：例如，可知函数的最大值为3，最小值为1， 但的值域是，故C错误； 对于选项D：若是偶函数，则， 所以函数的图象关于直线对称，故D正确； 故选：D. 4. 某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其中外购的单价是每个1.2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000元，并且每生产一个口罩还需要材料费和劳务费共0.8元．设该医院每月所需口罩个，则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设条件可得关于的不等式，求解后可得正确的选项. 【详解】由，得，即， 故选：B． 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系，求函数值，进而求出结果. 【详解】因为，，所以， 所以，， 根据诱导公式可知， 所以. 故选：C. 6. 在三棱锥中，、分别是、的中点，设，以为空间的一个基底，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为、分别是、的中点， 则，， 所以， 故选：A. 7. 某中学有300名教师，其中初级教师60名，随机编号为1~60，中级教师150名，随机编号为61~210，高级教师90名，随机编号为211~300．从全校教师中抽取10人参加一个教学座谈会，对于下列两组样本：①7，34，61，88，115，142，169，223，250，288；②26，32，90，100，138，172，188，215，254，297，下列说法正确的是（ ） A. ①②都可能是按比例分层随机抽样 B. ①②都不是按比例分层随机抽样 C. 仅①可能是按比例分层随机抽样 D. 仅②可能是按比例分层随机抽样 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用分层抽样的定义，即可求解. 【详解】由题知，①和②均抽取初级教师2人，中级教师5人，高级教师3人， 又初级教师、中级教师、高级教师的人数比为， 所以①和②均是按比例分层随机抽样， 故选：A. 8. 在矩形中，，沿对角线将矩形折成一个二面角，且使得，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质，作出异面直线的夹角，根据余弦定理求出三角形的边长，再根据余弦定理，求出异面直线夹角的余弦值，进而求出异面直线夹角. 【详解】 如图所示，作的中点，连接， 因为是的中点，根据三角形中位线定理可知，在中，，且， 所以直线的夹角，就是异面直线与所成的角， 因为，所以根据勾股定理可知， 因为，所以， 由，所以， 因为，则在中，所以， 因为，所以在中，即， 因为，所以在中，所以， 因为，所以在中，即， 可得， 所以在中， 所以，因为异面直线与所成的角在上，所以异面直线与所成的角为. 故选：B. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 近几年来，某学校通过“书香校园”主题系列活动，倡导学生整本阅读纸质课外书籍．如图是该校2017年至2022年纸质书人均阅读量（单位：本）的折线图，则下列结论中正确的是（ ） A. 六年来人均阅读量逐年增加 B. 这六年人均阅读量的第50百分位数是46.7本 C. 这六年人均阅读量的极差是45.3本 D. 后三年人均阅读量的方差比前三年人均阅读量的方差大 【答案】BC 【解析】 【分析】根据折线图，可直接判断选项A的正误，对于B，C和D，直接求出百分位数、极差、方差，即可求解. 【详解】对于A， 由折线图知，年的人均阅读量少于年的人均阅读量，所以选项A错误， 对于B，六年人均阅读量从小排到大为， 又，所以从小到大选取第3个数和第4个数的平均数作为第50百分位数， 故第50百分位数是，所以B正确， 对于C，由折线图知，六年人均阅读量的极差是本，所以C正确， 对于D，因为前三年人均阅读量为， 方差， 后三年人均阅读量为， 方差为， 则， 其实可以不用计算方差，从图中可以看出后三年人均阅读量的极差为， 前三年人均阅读量的极差为， 后三年人均阅读量更加稳定，方差比前三年人均阅读量小，所以D错误， 故选：BC. 10. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据线面垂直、线面平行、面面平行、面面垂直的判定定理和性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A： 若，那么垂直于同一平面的两条直线平行，所以，所以A正确； 对于选项B： 若，那么可能平行，也可能相交，只有当相交时，，所以B错误； 对于选项C： 若，那么可能垂直，可能平行，也可能相交，所以C错误； 对于选项D： 若，那么平面外的一条直线平行于该平面，所以，所以D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，则（ ） A. 为的一个零点 B. 在区间上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 是奇函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：直接代入运算即可；对于B：以为整体，结合余弦函数单调性分析判断；对于C：代入运算，结合对称性与最值的关系分析判断；对于D：代入运算可得，即可判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以不为的一个零点，故A错误； 对于选项B：因为，则， 且在内单调递减，所以在区间上单调递减，故B正确； 对于选项C：因为为最大值， 所以的图象关于直线对称，故C正确； 对于选项D：因为为奇函数，故D正确； 故选：BCD. 12. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 在上单调递减 C. 当时， D. 的值域是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据偶函数的定义分析判断；对于B：整理可得，根据单调性的性质分析判断；对于C：代入运算分析判断；对于D：利用二次函数的值域结合不等式的性质运算求解即可. 【详解】对于选项A：因为，可知的定义域为， 又因为，所以是偶函数，图象关于轴对称，故A正确； 对于选项B：因为， 且在上单调递增，所以在上单调递增，故B错误； 对于选项C：当时，，故C正确； 对于选项D：因为，则，即， 可得，所以的值域是，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知复数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算及共轭复数的定义，即可求解. 【详解】因为，所以， 故答案为：. 14. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用指对数的互化，即可求解. 【详解】因为，得到， 又，所以， 故答案为：. 15. 已知球的表面积为，点在球的球面上，且是边长为3的正三角形，则球心到平面的距离为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出球的半径，然后根据勾股定理求出球心到平面的距离. 【详解】因为球的表面积为，所以有， 解得. 因为为边长为3的正三角形，设其中心为，则平面. 因为， 所以根据勾股定理. 所以球心到平面的距离为1. 故答案为：1. 16. 已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数恒过定点，对称轴为，开口向上， 又当时，恒成立，则或， 整理得到或， 解得或或，所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知向量满足：，且． （1）求向量与的夹角； （2）设向量，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合条件，利用数量积的运算，得到，再利用夹角公式，即可求解； （2）根据条件，利用数量积的运算得，即可求解. 【小问1详解】 因为，又， 所以，得到， 所以，又，则； 【小问2详解】 因为，则， 所以当时，取得最小值，最小值为. 18. 在中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角，得到，即可求解； （2）根据条件，利用余弦定理得到，再利用面积公式，即可求解. 【小问1详解】 由，得到， 即， 又，则，所以，故 【小问2详解】 由（1）知，又， 由余弦定理，得到，即， 解得或（舍）， 所以. 19 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．证明：，． 【答案】（1） （2） 由（1）知，所以， 当时，，所以， 则，又， 故，. 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用正弦的差角公式、倍角公式及辅助角式，得，即可求解； （2）根据条件得，利用的性质，求出的值域，即可证得. 【小问1详解】 因为 ， 所以的最小正周期为. 【小问2详解】 略 20. 在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一枚骰子，游戏规则如下：第1次抛掷骰子，若向上的点数为奇数，则为抛掷成功；第2次抛掷骰子，若向上的点数为3的倍数，则为抛掷成功；第3次抛掷骰子，若向上的点数为6，则为抛掷成功．游戏者每次抛掷骰子相互独立，且在第1，2次抛掷中至少成功一次才可以进行第3次抛掷． （1）求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率； （2）若第1次抛掷成功记3分，第2次抛掷成功记3分，第3次抛掷成功记4分，各次抛掷骰子不成功都记0分，求游戏者在一场抛掷骰子的游戏中至少得6分的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式和独立事件概率的乘法公式，以及对立事件的概率关系，求出有机会进行第三次抛掷的概率. （2）分析至少能得6分的所有情况，根据独立事件乘法公式，求出至少得6分的概率. 【小问1详解】 设事件是第1次抛掷骰子向上的点数为奇数，对立事件为； 事件是第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数，对立事件为； 事件是第3次抛掷骰子向上的点数为6，对立事件为； 可知抛掷一次骰子所有结果有6种，分别是， 符合事件的样本点有，所以，； 符合事件的样本点有，所以，； 第1，2次抛掷中至少成功一次的概率为， 所以游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率为. 【小问2详解】 易知， 可知至少能得6分的所有情况有：， 则至少能得6分的概率， 所以至少能得6分的概率是. 21. 如图，在长方体中，，点在棱上，且． （1）证明：； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用长方体及线面垂直的性质得，进而可得面，即可求解； （2）过作于，根据条件可得为二面角的平面角，再利用几可关系求得，即可求解. 【小问1详解】 连接，因为是长方体，则面， 又面，所以， 又，所以四边形是正方形，则， 又面，所以面， 又面，所以. 【小问2详解】 过作于，连接， 因为面，面，所以， 又面，所以面， 又面，所以，则为二面角的平面角， 又，，则，所以， 则，又，则， 即二面角的大小为. 22. 已知函数． （1）根据定义判断的奇偶性和单调性； （2）求函数的零点个数； （3）设为的一个零点，证明：． 【答案】（1）奇函数，单调递增 （2）1 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，和指数函数单调性，判断函数的奇偶性和单调性即可； （2）根据函数的单调性，和零点存在定理，求出函数零点的个数； （3）根据对数的运算公式，化简函数解析式，判断函数单调性，判断函数在区间上的值域； 【小问1详解】 已知，定义域为R，则，所以为奇函数； 因为都是单调增函数，所以为定义域上的增函数； 【小问2详解】 已知， 当时，，所以在上都单调递增， 所以在上都单调递增， 可知， 易知，所以， 可知，因为在上连续不断且单调递增，又因为， 所以在上有一个零点， 当时，，因为，所以，即在上无零点， 综上：函数有且仅有一个零点. 【小问3详解】 当为的零点时，，即， ， 可知在都单调递减，所以在也单调递减， 所以，即，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海口中学2022-2023学年度第二学期期末考试 高一数学（B卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 4 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 函数的单调递增区间是 C. 若函数最大值为3，最小值为1，则的值域是 D. 若是偶函数，则函数的图象关于直线对称 4. 某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其中外购的单价是每个1.2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000元，并且每生产一个口罩还需要材料费和劳务费共0.8元．设该医院每月所需口罩个，则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要条件是（ ） A B. C. D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱锥中，、分别是、的中点，设，以为空间的一个基底，则（ ） A. B. C. D. 7. 某中学有300名教师，其中初级教师60名，随机编号为1~60，中级教师150名，随机编号为61~210，高级教师90名，随机编号为211~300．从全校教师中抽取10人参加一个教学座谈会，对于下列两组样本：①7，34，61，88，115，142，169，223，250，288；②26，32，90，100，138，172，188，215，254，297，下列说法正确的是（ ） A. ①②都可能是按比例分层随机抽样 B. ①②都不是按比例分层随机抽样 C. 仅①可能是按比例分层随机抽样 D. 仅②可能是按比例分层随机抽样 8. 在矩形中，，沿对角线将矩形折成一个二面角，且使得，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 近几年来，某学校通过“书香校园”主题系列活动，倡导学生整本阅读纸质课外书籍．如图是该校2017年至2022年纸质书人均阅读量（单位：本）的折线图，则下列结论中正确的是（ ） A. 六年来人均阅读量逐年增加 B. 这六年人均阅读量的第50百分位数是46.7本 C. 这六年人均阅读量的极差是45.3本 D. 后三年人均阅读量的方差比前三年人均阅读量的方差大 10. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数，则（ ） A. 为一个零点 B. 在区间上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 是奇函数 12. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 在上单调递减 C. 当时， D. 的值域是 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知复数，则___________． 14. 已知，则___________． 15. 已知球的表面积为，点在球的球面上，且是边长为3的正三角形，则球心到平面的距离为___________． 16. 已知函数，若当时，恒成立，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知向量满足：，且． （1）求向量与的夹角； （2）设向量，求的最小值． 18. 在中，角、、的对边分别为、、，已知． （1）求角的大小； （2）若，求的面积． 19. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）将函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．证明：，． 20. 在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一枚骰子，游戏规则如下：第1次抛掷骰子，若向上的点数为奇数，则为抛掷成功；第2次抛掷骰子，若向上的点数为3的倍数，则为抛掷成功；第3次抛掷骰子，若向上的点数为6，则为抛掷成功．游戏者每次抛掷骰子相互独立，且在第1，2次抛掷中至少成功一次才可以进行第3次抛掷． （1）求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率； （2）若第1次抛掷成功记3分，第2次抛掷成功记3分，第3次抛掷成功记4分，各次抛掷骰子不成功都记0分，求游戏者在一场抛掷骰子的游戏中至少得6分的概率． 21. 如图，在长方体中，，点在棱上，且． （1）证明：； （2）求二面角大小． 22. 已知函数． （1）根据定义判断的奇偶性和单调性； （2）求函数的零点个数； （3）设为的一个零点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $