精品解析：湖南省长沙市雅礼教育集团2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试卷

2025年上学期八年级期末检测试卷数学科目 考生注意：本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一．单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 自DeepSeekAPP全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，1月29日单日下载峰值冲至次，创下全球AI应用单日下载量新纪录．用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 2. 在下列各式的计算中，正确的是( ) A. B. C. D. 3. 生命在于运动，体育运动伴随着我们每一天，适当的体育运动不仅能强健体魄，更能愉悦身心．下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（ ）． A B. C. D. 4. 如果是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. 4 C. D. 2 5. 下列函数图象中，表示直线是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员各进行20次射击测试，他们的测试平均成绩相同，方差分别是，，，，则这四名射击运动员中成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 将二次函数图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，平行四边形是菱形 B. 当时，平行四边形是矩形 C. 当时，平行四边形是菱形 D. 当且时，平行四边形是正方形 9. 红星村种水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 12. 某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为_________分． 13. 如图，要测量A、B两点间距离，在O点设桩，取的中点C，的中点D，测得，则A、B两点间的距离是________． 14. 如图，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，若，，则关于的方程的解为________． 15. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点处，若，则________°． 16. 已知抛物线L：下列结论：①抛物线L对称轴为直线；②抛物线L必过点和点；③当时，y的值随x值的增大而增大；④当时，已知，是抛物线上的两点，则；⑤当时，对于任意的实数m，不等式恒成立．其中结论正确的有________（填序号）． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程： （1） （2） 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线交直线于点，交x轴于点． （1）求直线的解析式； （2）当时，直接写出x的取值范围． 20. 某校倡议学生利用双休日在各自社区参加义务劳动．为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题： （1）将条形统计图补充完整；扇形图中的“小时”部分圆心角是______度； （2）抽查的学生劳动时间的众数是________小时，中位数是________小时； （3）若该校有名学生，请你估算该校学生参加义务劳动小时的有多少人？ 21. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 22. 文创产业蓬勃发展，成为新时代文艺的一大亮点．某商店决定购进两款文创帆布包，已知款帆布包的单价比款帆布包的单价高元．用元购进款帆布包的数量和用元购进款帆布包数量相同． （1）求款帆布包和款帆布包的单价； （2）若该商店计划购进，两款帆布包共件，且A款帆布包数量不少于款帆布包数量的．商店如何购进两款帆布包才能使总费用最少？最少费用是多少？ 23. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长度． 24. 对凸四边形我们不妨约定：若四边形对角线垂直，叫做“垂对”四边形；若四边形对角线相等，叫做“等对”四边形． （1）判断下列说法正确性，正确的请在横线处打“√”，错误的打“×”． ①平行四边形一定不是“垂对”四边形；______ ②一组邻边相等的平行四边形一定是“等对”四边形；______ ③顺次连接“垂对”四边形各边中点所得的四边形是“等对”四边形．______ （2）如图1，在四边形中，，、的垂直平分线恰好交于边上一点P，连结、，求证：四边形是“等对”四边形． （3）如图2，在正方形中，点E、点M分别在边、上，点F在的延长线上，且四边形是“垂对”四边形，对角线、相交于点H，与边交于点N． ①若，，，求的长； ②连接，若点M是的中点，且正方形边长为4，请直接写出的最小值． 25. 已知二次函数． （1）求出该二次函数的顶点坐标（用含t的式子表示）； （2）当时，y的最小值为，求出t的值； （3）如图，若该二次函数的图象过点，且与x轴交于另一点A，与y轴交于点C，在对称轴上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上学期八年级期末检测试卷数学科目 考生注意：本试卷共3道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一．单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 自DeepSeekAPP全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，1月29日单日下载峰值冲至次，创下全球AI应用单日下载量新纪录．用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：用科学记数法可表示为， 故选：C． 2. 在下列各式的计算中，正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方运算，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，积的乘方运算，掌握以上运算法则是解题的关键． 3. 生命在于运动，体育运动伴随着我们每一天，适当的体育运动不仅能强健体魄，更能愉悦身心．下列关于体育的图形中是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 如果是一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解得定义，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．把代入方程求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故选：A． 5. 下列函数图象中，表示直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的图象与性质即可得． 【详解】解：一次函数的一次项系数为， 随的增大而增大，则可排除选项， 当时，，则可排除选项， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 6. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员各进行20次射击测试，他们的测试平均成绩相同，方差分别是，，，，则这四名射击运动员中成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义即可得出结论． 【详解】解：，，，，且， 丁的方差最小， 成绩最稳定的是丁． 故选：D． 7. 将二次函数图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”进行解析式的变换即可得到答案． 【详解】解：将二次函数图象向左平移3个单位，再向下平移5个单位后，所得图象的函数解析式是， 故选；D． 8. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，平行四边形是菱形 B. 当时，平行四边形是矩形 C. 当时，平行四边形是菱形 D. 当且时，平行四边形是正方形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形、菱形、正方形的判定方法，解决本题的关键是根据矩形、菱形、正方形的判定方法进行判断． 【详解】解：如下图所示， A选项：在中，当时，与一定不垂直， 平行四边形一定不是菱形， 故A选项错误，符合题意； B选项：当时，平行四边形是矩形， 故B选项正确，不符合题意； C选项：当时，平行四边形菱形， 故C选项正确，不符合题意； D选项：当且时，平行四边形是正方形， 故D选项正确，不符合题意． 故选：A． 9. 红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷，则2023年平均每公顷产，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产， 则2023年平均每公顷产， 根据题意有：， 故选：A． 10. 如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过P作于M，再判定四边形为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最后求出面积． 【详解】解：过P作于M， 由作图得：平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， 设， 在中，， 即：， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据题意可知在实数范围内有意义要使即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴，解得：， 故答案为：． 12. 某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为_________分． 【答案】72 【解析】 【分析】根据综合成绩笔试占60%，面试占40%，即综合成绩等于笔试成绩乘以60%，加上面试成绩乘以40%，即可求解． 【详解】解：根据题意知，该名老师的综合成绩为（分） 故答案为：72． 【点睛】本题考查加权平均数及其计算，是中考的常考知识点，熟练掌握其计算方法是解题的关键． 13. 如图，要测量A、B两点间距离，在O点设桩，取的中点C，的中点D，测得，则A、B两点间的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，三角形中位线等于第三边长的一半，据此求解即可． 【详解】解：∵点C和点D分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴A、B两点间的距离是， 故答案为：． 14. 如图，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，若，，则关于的方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即一次函数的图象轴交点坐标为， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 15. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点处，若，则________°． 【答案】111 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后根据平行线的性质得出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 由折叠的性质得： ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 已知抛物线L：下列结论：①抛物线L的对称轴为直线；②抛物线L必过点和点；③当时，y的值随x值的增大而增大；④当时，已知，是抛物线上的两点，则；⑤当时，对于任意的实数m，不等式恒成立．其中结论正确的有________（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数性质，熟练掌握二次函数性质是解题关键，根据对称轴公式计算判断①；根据二次函数性质计算当和时的函数值进而判断②；根据二次函数性质判断增减性及函数值大小即可判断③④；根据二次函数性质判断最值进而判断⑤． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，故①正确； 当时，；当时，， 则抛物线L必过点和点，故②正确； 抛物线L的对称轴为直线， 则当时，y的值随x值的增大而增大；当时，y的值随x值的增大而减小，故③错误； 当时，已知，是抛物线上的两点， 点到对称轴距离为3，点到对称轴距离为2， ，故④正确； 当时，；当时，， 抛物线L的对称轴为直线，， 不等式恒成立，故⑤错误； 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的意义，先算开方，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，再算加减． 【详解】解：原式 . 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： 解得； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∴， ∴， 解得，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线交直线于点，交x轴于点． （1）求直线的解析式； （2）当时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的解析式，直线的交点问题，一次函数与不等式的解集，熟练掌握待定系数法，数形结合思想是解题的关键． （1）把代入求出点，把，坐标分别代入计算即可； （2）根据，利用数形结合思想计算即可 【小问1详解】 ∵直线交直线于点， ∴， 解得：， ∴， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 由图象可知，当时，x的取值范围是． 20. 某校倡议学生利用双休日在各自社区参加义务劳动．为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图，根据图中信息回答下列问题： （1）将条形统计图补充完整；扇形图中的“小时”部分圆心角是______度； （2）抽查的学生劳动时间的众数是________小时，中位数是________小时； （3）若该校有名学生，请你估算该校学生参加义务劳动小时的有多少人？ 【答案】（1）见解析，； （2）；； （3）该校学生参加义务劳动小时的约有人． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图，中位数、众数，样本估计总体，读懂题意，从统计图中获取信息是解题的关键． （）根据学生劳动“小时”的人数除以占的百分比，求出总人数，利用学生劳动“小时”的人数所占比乘以，即可得到圆心角的大小； （）根据统计图中的数据确定出学生劳动时间的众数与中位数即可； （）利用乘以学生劳动“小时”的人数所占比即可． 【小问1详解】 解：学校随机调查的人数为：（人）， ∴学生劳动“小时”的人数为（人）， 扇形图中的“小时”部分圆心角是， 补全的条形统计图如图所示： 故答案为： ； 【小问2详解】 解：由条形统计图可知抽查的学生劳动时间“小时”的人数最多， ∴抽查学生劳动时间的众数是小时， ∵将个数字按从大到小排列，第，两个数都是， ∴中位数是， 故答案为：；； 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校学生参加义务劳动小时的约有人． 21. 已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求实数k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程的根的判别式大于或等于0求解即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再代入计算即可得． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴这个方程的根的判别式， 解得， 所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得． 22. 文创产业蓬勃发展，成为新时代文艺的一大亮点．某商店决定购进两款文创帆布包，已知款帆布包的单价比款帆布包的单价高元．用元购进款帆布包的数量和用元购进款帆布包数量相同． （1）求款帆布包和款帆布包的单价； （2）若该商店计划购进，两款帆布包共件，且A款帆布包数量不少于款帆布包数量的．商店如何购进两款帆布包才能使总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）每件款帆布包的单价是元，每件款帆布包的单价是元； （2）商店购进件款帆布包，件款帆布包，才能使这件帆布包总费用最少，最少费用是元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）设款帆布包的单价是元，则每件款帆布包的单价是元，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设购进件款帆布包，这200件帆布包总费用为元，则购进件款帆布包，根据题意得，求出，则有，然后根据一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设款帆布包的单价是元，则每件款帆布包的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：每件款帆布包的单价是元，每件款帆布包的单价是元； 【小问2详解】 解：设购进件款帆布包，这200件帆布包总费用为元，则购进件款帆布包， 根据题意得：， ∴， 由， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值，最小值为（元），此时（件）， 答：商店购进件款帆布包，件款帆布包，才能使这件帆布包总费用最少，最少费用是元． 23. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质先判断四边形是平行四边形，再根据垂直的定义，得到一个角是直角，进而可得到答案； （2）根据菱形的性质和勾股定理可以算出的长度，再运用勾股定理即可得到的长，运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题； 【小问1详解】 证明：∵四边形菱形， ∴且， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：在菱形中，设，则 ∵， ∴ ∵在矩形中，， ∴在中， 解得： ∴ ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查矩形的判定，菱形的性质，勾股定理和直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，解决此题的关键是熟练运用各个知识点． 24. 对凸四边形我们不妨约定：若四边形对角线垂直，叫做“垂对”四边形；若四边形对角线相等，叫做“等对”四边形． （1）判断下列说法的正确性，正确的请在横线处打“√”，错误的打“×”． ①平行四边形一定不是“垂对”四边形；______ ②一组邻边相等的平行四边形一定是“等对”四边形；______ ③顺次连接“垂对”四边形各边中点所得的四边形是“等对”四边形．______ （2）如图1，在四边形中，，、的垂直平分线恰好交于边上一点P，连结、，求证：四边形是“等对”四边形． （3）如图2，在正方形中，点E、点M分别在边、上，点F在的延长线上，且四边形是“垂对”四边形，对角线、相交于点H，与边交于点N． ①若，，，求的长； ②连接，若点M是的中点，且正方形边长为4，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①×②×③√ （2）见解析 （3）①2；② 【解析】 【分析】（1）①根据菱形、正方形的性质判断即可； ②根据菱形的判定和性质判断即可； ③根据中位线定理得到，，证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的判定和性质得到，即可证明平行四边形是矩形，进而判断即可； （2）连接，，根据垂直平分线的性质得到，，根据等边对等角得到，，根据三角形外角的性质得到，，可知，证明，得到，即可得到四边形是“等对”四边形； （3）①连接，根据正方形的性质得到，，可得，证明，进而证明，得到，即可求出的长； ②过点E作，过点M作，可知四边形是平行四边形，进而得到，当D，E，K三点共线时，的值最小，作交于点G，证明，得到，根据勾股定理求出，进而求出即可． 【小问1详解】 解：①特殊的平行四边形即菱形、正方形对角线垂直，是“垂对”四边形，原说法错误， 故答案为：×； ②一组邻边相等的平行四边形是菱形，菱形对角线不一定相等，原说法错误， 故答案为：×； ③构造如图所示“垂对”四边形和其中点四边形， ∵是边中点， ∴是中位线， ∴， 同理可得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是“垂对”四边形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， 矩形对角线相等， 故答案为：√； 【小问2详解】 证明：连接，，如图所示： ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∵ ∴， ∴（）， ∴，即四边形是“等对”四边形； 小问3详解】 ①解：连接，在正方形中，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴ ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 在和中，， ∴（）， ∴， ∴； ②解：过点E作，过点M作， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴当D，E，K三点共线时，的值最小， ∵四边形是“垂对”四边形， ∴，即， 作交于点G， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，正方形的性质，中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 25. 已知二次函数． （1）求出该二次函数的顶点坐标（用含t的式子表示）； （2）当时，y的最小值为，求出t的值； （3）如图，若该二次函数的图象过点，且与x轴交于另一点A，与y轴交于点C，在对称轴上是否存在点P，使得，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）顶点坐标为 （2）的值为1 （3）存在点坐标为或时，为 【解析】 【分析】（1）将化为顶点式即可解答． （2）根据抛物线得对称轴为．分为若，当时函数取最小值；若，当时函数取最小值．若，当时函数取最小值，列方程求出即可； （3）由题意得：抛物线解析式为：，则抛物线图象的对称轴为，，根据题意，设，求出直线的解析式为，过点作交于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，分为当点在轴上方时，和当点在轴下方时，分别画图求解即可． 【小问1详解】 解：， 则该二次函数的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：抛物线对称轴为． 若，当时函数取最小值， ∴，解得：（不符合题意，舍去）； 若，当时函数取最小值， ∴，解得：，； ∵， ∴． 若，当时函数取最小值， ∴，解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为1． 【小问3详解】 解：存在点坐标为或时，为， 理由如下： 由题意得：，解得：， 故抛物线解析式为：， 则抛物线图象的对称轴为，， 根据题意，设，直线的解析式为， 将，代入， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作交于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，， 当点在轴上方时，如图， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 将代入，则， 解得：或（舍去）； 当点在轴下方时，如图， 同理， ∴，， ，， ，， ， ， 将， 代入则， 解得：（舍去）或； 综上，当点坐标为或时，为． 【点睛】该题是二次函数综合题，涉及二次函数的图象和性质、二次函数最值、一次函数解析式、等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$