第7讲 三角函数基础公式集锦及其应用- 《温故知新》2025-2026学年高一数学上学期暑假复习课（人教A版2029必修第一册）

第7讲 三角函数基础公式集锦及其应用 考点一 三角函数的定义 【例1】（24-25高一下·江西宜春·期末）若角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川泸州·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南·阶段练习）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D．2 考点二 同角三角函数公式 【例2-1】（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高一下·河南南阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【例2-3】（24-25高二下·湖南·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【例2-4】（24-25高一下·江苏淮安·期末）（多选）已知，且，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南临沧·期末）若，则（  ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广西钦州·期末）已知，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 5（2024四川）（多选）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6.．（2026·陕西）已知，求下列各式值． (1) (2) 考点三 诱导公式 【例3-1】（24-25高一下·四川广安·阶段练习）平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 (1)求和的值 (2)若，化简并求值 【例3-2】（24-25高一下·贵州遵义·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【变式】 1（2025湖南）化简求值： (1)； (2)； (3)． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）求下列各三角函数值. （1） ； （2） . 3．（22-23高一下·海南海口·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 考点四 两角和差与二倍角 【例4-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高一下·全国·周测）（多选）下列等式成立的有（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（四川省绵阳市2024-2025学年高一下学期期末教学质量测试数学试卷）（多选）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏南通·期末）（多选）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·周测）（多选）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 考点五 角的拼凑 【例5-1】（24-25高一下·江西·期末）已知锐角满足，则 . 【例5-2】（24-25高二下·湖南岳阳·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【例5-3】（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025广西）已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 2．（四川省绵阳市2024-2025学年高一下学期期末教学质量测试数学试卷）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东深圳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）（多选）已知，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 考点六 辅助角 【例6】（2024云南）将下列式子化成y=Asin(wx+或y=Acos(wx+的形式 （1） （2） （3） （4） （5） 【变式】 （各地模拟节选）将下列式子化成y=Asin(wx+或y=Acos(wx+的形式 (1) （2） （3） （4） （5） （6） 考点七 恒等变化 【例7】（2025福建）化简下面式子 （1） ． （2） 【变式】 （1） ； （2） ． （3）＝ ； （4）－＝ . （5） ． 1． 单选题 1．（四川省内江市2024-2025学年高一下学期期末检测数学试题）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东广州·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D．或 3．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知为第一象限角，，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南·期末）若，是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·重庆北碚·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知点在角的终边上，且，则说法错误的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·湖北荆州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2． 多选题 9．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·全国·课后作业）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·山西·期末）已知，且，若，，则（    ） A． B． C． D． 3． 填空题 12．（24-25高二下·上海·期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，则 ． 13．（广东省肇庆市2024-2025学年高一下学期期末统一考试数学试卷）已知，其中，若，则 ． 14．（2025高一课时练习）已知，其中，，则 ， . 4． 解答题 15．（24-25高一下·四川成都·期末）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且. (1)求的值； (2)将的终边按顺时针方向旋转，此时终边所对应的角为，求的值. 16．（24-25高一下·湖北襄阳·阶段练习）已知 (1)若，求的值． (2)若，求的值． 17．（24-25高一下·辽宁·期中）已知． (1)求的值． (2)已知为第四象限角． ①求的值； ②求的值． 18．（24-25高一下·四川泸州·期中）在平面直角坐标系中，以轴的非负半轴为始边，角的终边经过点，且.将的终边沿逆时针方向旋转，得到角的终边. (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值. 19．（24-25高一下·湖南·期末）已知均为第一象限的角，且 (1)的值； (2)的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7讲 三角函数基础公式集锦及其应用 考点一 三角函数的定义 【例1】（24-25高一下·江西宜春·期末）若角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为角的终边经过点，所以.故选：D. 【变式】 1．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，则，故选：B． 2．（24-25高一下·四川泸州·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，且的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，故故选：C 3．（24-25高一下·河南·阶段练习）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】.故选：C 考点二 同角三角函数公式 【例2-1】（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，故是第一象限角，且，故，又， ，解得：，（舍去），故选：A． 【例2-2】（24-25高一下·河南南阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C. 【例2-3】（24-25高二下·湖南·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，可得，所以，故选：D． 【例2-4】（24-25高一下·江苏淮安·期末）（多选）已知，且，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，且，， 所以，， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD 【变式】 1．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以角在第二象限，则， 由  ①  ②联立解得：，故选：D. 2．（24-25高一下·云南临沧·期末）若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，故选：C 3．（24-25高一下·广西钦州·期末）已知，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解析】因，则. 故选：A 4．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， 由，所以，所以，所以，所以. 故选：A 5（2024四川）（多选）已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对A，，∵，则，∴，∴，A对； 对BCD，∵，，联立可解得，，BD对，C错. 故选：ABD. 6.．（2026·陕西）已知，求下列各式值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解析】（1）的分子和分母同除以得， 解得， 故； （2） 考点三 诱导公式 【例3-1】（24-25高一下·四川广安·阶段练习）平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 (1)求和的值 (2)若，化简并求值 【答案】(1)，； (2)，4. 【解析】（1）由题设，， 所以； （2）由题设. 【例3-2】（24-25高一下·贵州遵义·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）由题意得，，即， 若，则，不符合，故，则. （2）. （3）. 【变式】 1（2025湖南）化简求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1(2)(3) 【解析】（1）； （2）； （3）原式 ． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）求下列各三角函数值. （1） ； （2） . 【答案】(1) (2) 【解析】（1）原式. （2）原式. 3．（22-23高一下·海南海口·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以， 所以，， 根据诱导公式可知， 所以. 故选：C. 考点四 两角和差与二倍角 【例4-1】（24-25高一下·江苏南京·期末）（多选）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，， 又，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由， 所以，得，故D正确. 故选：ABD. 【例4-2】（24-25高一下·全国·周测）（多选）下列等式成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】A：，故A错误； B：，故B正确； C：，故C正确； D：，故D正确. 故选：BCD. 【变式】 1．（四川省绵阳市2024-2025学年高一下学期期末教学质量测试数学试卷）（多选）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 2．（24-25高一下·江苏南通·期末）（多选）下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，由两角和的正弦公式得 ，故A正确， 对于B，由二倍角的余弦公式得，故B错误， 对于C，由题意得， 由两角和的正切公式得， 则，代入可得 ，故C正确， 对于D，由题意结合两角差的正切公式得 ，故D错误. 故选：AC 3．（24-25高一下·全国·周测）（多选）下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：因为，所以， 解得或（舍去）， 所以，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选:AD． 考点五 角的拼凑 【例5-1】（24-25高一下·江西·期末）已知锐角满足，则 . 【答案】 【解析】因为锐角满足，所以.故答案为： 【例5-2】（24-25高二下·湖南岳阳·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则. 故选：A. 【例5-3】（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，所以， 又因为，所以，又， 所以，所以， 所以 . 故选：A. 【变式】 1．（2025广西）已知，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为.故选：B. 2．（四川省绵阳市2024-2025学年高一下学期期末教学质量测试数学试卷）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，， 所以. 故选：D 3．（24-25高二下·广东深圳·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知，根据二倍角公式，令，则可得： 根据三角函数诱导公式，对进行变形可得： 令，则 由，所以 故选：A. 4．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）（多选）已知，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A，因为，， 所以， 解得，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，为锐角，所以， 又因为，所以，所以， ，故C错误； 对于D，因为，为锐角，所以， 又因为，所以只能， 因为，解得，故D正确. 故选：BD. 考点六 辅助角 【例6】（2024云南）将下列式子化成y=Asin(wx+或y=Acos(wx+的形式 （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】见解析 【解析】（1） . （2） （3） （4）. （5）， 【变式】 （各地模拟节选）将下列式子化成y=Asin(wx+或y=Acos(wx+的形式 (1) （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】见解析 【解析】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 考点七 恒等变化 【例7】（2025福建）化简下面式子 （1） ． （2） 【答案】（1）（2） 【解析】（1）原式.故答案为：. （2） ， 又 ， 故. 故答案为： 【变式】 （1） ； （2） ． （3）＝ ； （4）－＝ . （5） ． 【答案】（1）4 （2）（3） （4） （5） 【解析】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）＝＝＝＝. （4）原式＝－sin10°·＝－sin10°· ＝－sin10°·＝－2cos10°＝＝ ＝＝＝. （5） . 1． 单选题 1．（四川省内江市2024-2025学年高一下学期期末检测数学试题）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以.故选：C. 2．（24-25高一下·广东广州·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】由可知，得， 因此， ，即，，， 又有，，因此解得.故选：B. 3．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知为第一象限角，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，解得或. 又为第一象限角，所以， 所以， .故C正确. 故选：C. 4．（24-25高一下·河南·期末）若，是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，是方程的两个根， 所以，， 所以，所以． 故选：C 5．（24-25高一下·重庆北碚·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以. 故选：A. 6．（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 所以， 所以. 故选：D 7．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知点在角的终边上，且，则说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于：，所以， 平方得，解得，故错误； 对于：，故正确； 对于：，故正确； 对于：，故正确. 故选：A 8．（24-25高一下·湖北荆州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以， 故选：A. 2． 多选题 9．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由条件可知，，所以，，，故A正确，B错误；所以，，故C正确，D错误.故选：AC 10．（25-26高一上·全国·课后作业）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】，A正确；，B正确；，C错误；，D正确． 11．（24-25高一下·山西·期末）已知，且，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】A选项，由，得， 所以，则， 所以，A正确； B选项，由，得， 即，又， 解得，B错误； C选项，， 又，故，所以，C错误； D选项，由，得， 所以， 与联立，得，D正确. 故选：AD. 3． 填空题 12．（24-25高二下·上海·期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，则 ． 【答案】/ 【解析】∵角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边上有一点，点到原点的距离， ∴根据三角函数的定义可知， ∴. 故答案为：. 13．（广东省肇庆市2024-2025学年高一下学期期末统一考试数学试卷）已知，其中，若，则 ． 【答案】/ 【解析】， 由，则， ，， . 故答案为： 14．（2025高一课时练习）已知，其中，，则 ， . 【答案】 / 【解析】因为， 所以， ， 因为，，所以， 所以， 故答案为：， 4． 解答题 15．（24-25高一下·四川成都·期末）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且. (1)求的值； (2)将的终边按顺时针方向旋转，此时终边所对应的角为，求的值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由三角函数定义可得，得， 则， ，， （2）因为，， 所以，， 所以. 16．（24-25高一下·湖北襄阳·阶段练习）已知 (1)若，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)3 (2)1 【解析】（1） ， ． （2）依题意，由，可得， ． 17．（24-25高一下·辽宁·期中）已知． (1)求的值． (2)已知为第四象限角． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)或3 (2)①；② 【解析】（1）由， 得，解得或3． （2）①由题意得，且． 由得 ② ． 18．（24-25高一下·四川泸州·期中）在平面直角坐标系中，以轴的非负半轴为始边，角的终边经过点，且.将的终边沿逆时针方向旋转，得到角的终边. (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）已知角的终边经过点，在平面直角坐标系中，对于角终边上一点，根据三角函数的定义 这里，则 所以. （2）由角的终边经过点，根据三角函数的定义， 可得 因为，根据两角和的余弦公式， 则. （3）因为，所以 已知，根据 可得 因为，根据两角差的余弦公式， 则. 把代入上式， 可得. 又因为，所以. 19．（24-25高一下·湖南·期末）已知均为第一象限的角，且 (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由均为第一象限的角，， 所以， 所以， 所以 （2）， 所以， 所以 1 学科网（北京）股份有限公司 $$