暑假作业01 三角函数的图象与性质-【暑假分层作业】2024年高一数学暑假培优练（人教A版2019必修第一册）

完成时间： 月 日 天气： 作业01 三角函数的图象与性质 图象 定义域 值域 最值 当时，；当 时，． 当时， ；当 时，． 既无最大值也无最小值 周期性 最小正周期 最小正周期 最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 上是增函数； 在 上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 在 上是增函数． 对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 无对称轴 一、单选题 1．函数的最小正周期为（    ） A． B． C．2 D．4 2．函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．设函数在区间上是单调函数，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的周期为 B．函数的图象关于对称 C．函数在区间上的最大值为2 D．直线与的图象所有交点的横坐标之和为 7．若函数在上单调，则的取值可能为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则（    ） A．的对称轴为 B．的最小正周期为 C．的最大值为1，最小值为 D．在上单调递减，在上单调递增 三、填空题 9．已知函数，且在区间上的最大值为，则的最小值为 ． 10．函数的值域为 . 四、解答题 11．已知函数． (1)求函数的最小正周期和对称中心； (2)求函数的单调递减区间； (3)当时，求函数的最值及此时x的值． 12．函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式； (2)若，求的值； (3)若恒成立，求的取值范围. 1．函数 的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．是周期函数 C． D．在区间内单调递增 4．已知三角函数，又已知函数满足如下条件为的一个零点，为的一条对称轴，且在区间上单调.则的最大值为 5．已知函数，满足 (1)求的值 (2)若存在，使得等式成立，求实数的取值范围； (3)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 1．已知函数，现给出下列四个选项正确的是（    ） A．为奇函数 B．的最小正周期为 C．是的一条对称轴 D．在上单调递增 2．已知函数，，为的零点，且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的取值可以是（    ） A．7 B．3 C．5 D．11 3．（多选）已知函数，则（    ） A．是周期函数 B．的图象必有对称轴 C．的增区间为 D．的值域为 1．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 2．（2020·全国·高考真题）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3．（2021·全国·高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则 . 4．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ． 5．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 三角函数的图象与性质 图象 定义域 值域 最值 当时，；当 时，． 当时， ；当 时，． 既无最大值也无最小值 周期性 最小正周期 最小正周期 最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 上是增函数； 在 上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 在 上是增函数． 对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 无对称轴 一、单选题 1．函数的最小正周期为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用诱导公式及正切函数的周期公式计算即可. 【详解】易知，则其最小正周期为. 故选：C 2．函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用代入验证法求出对称中心即可. 【详解】函数，， 因此点是函数图象的对称中心，点不是； ，则点及都不是函数图象的对称中心. 故选：B 3．已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据函数图象，由，求得周期，进而得到，再根据点在图象上即可求解． 【详解】由图象知，，即，则， 所以， 因为点在图象上，所以，即， 因为，所以， 故选：C． 4．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数的单调性解不等式即得. 【详解】依题意，得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 5．设函数在区间上是单调函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由在区间上是单调函数得出，由分析出的值，即可计算出． 【详解】因为在区间上是单调函数，且， 所以，解得， 又因为， 所以是的一条对称轴，是的一个对称中心， 若和是同一周期中相邻的对称轴和对称中心， 则，即，符合题意 若和是同一周期不相邻的对称轴和对称中心， 则，即，不合题意， 又，所以， 故选：A． 二、多选题 6．已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数的周期为 B．函数的图象关于对称 C．函数在区间上的最大值为2 D．直线与的图象所有交点的横坐标之和为 【答案】ACD 【分析】根据给定函数的图象，结合五点法作图求出解析式，再逐项分析求解即可. 【详解】观察函数图象，，函数的周期为，， 由，得，而，则，， 对于A，函数的周期为，A正确； 对于B，，函数的图象关于不对称，B错误； 对于C，当时，，当，即时，取得最大值2，C正确； 对于D，当时，，由，即， 得或，解得或，显然，D正确. 故选：ACD 7．若函数在上单调，则的取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据余弦函数只能在半个周期内单调可得，再通过整体法确定的取值范围，最后求解取值范围即可. 【详解】由题意函数的最小正周期为， 因为函数在区间上单调， 可得， 则． 因为， 所以． 因为， 所以． 因为在上单调， 所以或 解得或． 故选：AB. 8．已知函数，则（    ） A．的对称轴为 B．的最小正周期为 C．的最大值为1，最小值为 D．在上单调递减，在上单调递增 【答案】AD 【分析】作出函数的图象，对于A，验算是否成立即可；对于B，由即可判断；对于CD，借助函数单调性，只需求出函数在上的最大值和最小值验算即可判断CD. 【详解】作出函数的图象如图中实线所示． 对于，由图可知，函数的图象关于直线对称， 对任意的， ， 所以函数的对称轴为，A正确； 对于，对任意的， 结合图象可知，函数为周期函数，且最小正周期为，故B错误； 对于C，由选项可知，函数的对称轴为，且该函数的最小正周期为， 要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 因为， 所以，因此的最大值为，最小值为-1，故C错误； 对于，由C选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，正确， 故选：AD． 【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是求出函数在上的最大值和最小值即可，由此即可顺利得解. 三、填空题 9．已知函数，且在区间上的最大值为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用整体法，求解，即可结合正弦函数的性质求解. 【详解】由于，则， 由于在区间上的最大值为，则在区间上的最大值为1， 故，解得，故的最小值为 故答案为： 10．函数的值域为 . 【答案】 【分析】由已知可知，，利用同角平方关系对已知函数进行化简，然后结合二次函数的性质可求函数的最大与最小值，则值域可得. 【详解】由正弦函数的性质可知，当， 当时，；当或时，，故值域为. 故答案为： 四、解答题 11．已知函数． (1)求函数的最小正周期和对称中心； (2)求函数的单调递减区间； (3)当时，求函数的最值及此时x的值． 【答案】(1)最小正周期为，对称中心为 (2)单调递减区间为 (3)当时有最小值为，当时最大值为. 【分析】（1）利用周期公式求周期，根据整体代入法结合正弦函数的对称性求解可得对称中心； （2）根据整体代入法，利用正弦函数的单调递减区间可解； （3）根据的范围求出的范围，利用正弦函数性质求解可得. 【详解】（1）， 函数的最小正周期为． 令，则， 函数的对称中心为． （2）令， 则， 函数的单调递减区间为． （3），． ，． 当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值. 12．函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式； (2)若，求的值； (3)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图象中特殊点的坐标，结合余弦型函数的周期公式进行求解即可； （2）根据诱导公式可求解； （3）根据函数零点的定义，结合余弦型函数的有界性分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由图可得， 函数过点， 所以，则， 解得， 又，则，所以； （2）若，即， 而； （3）因为，所以， 则，令， 设，则恒成立， 由二次函数的图象性质可知，只需， 解得，故的取值范围为. 1．函数 的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦函数和对数函数的单调性求出即可. 【详解】由题意可得， 所以函数 的单调递增区间为， 故选：A. 2．已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数性质，再进行分情况讨论，最后对得出的不同取值范围取并集即可. 【详解】若函数在区间内无零点，则 此时需要分情况讨论: 当时，解得， 又因为，所以当时，可得. 当时，解得. 又因为所以当时，可得， 综上可知，的取值范围为 故选：D. 3．（多选）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B．是周期函数 C． D．在区间内单调递增 【答案】ABD 【分析】根据函数奇偶性、周期性的定义可判断A、B；由，可判定C；由与在上的单调性和值域，再结合奇函数的性质，可判断的单调性. 【详解】易知的定义域为， 又， 所以是奇函数，A正确； 由， 所以是周期函数，B正确； 由，C错误； 当时，，且单调递增， 此时，时，，且单调递减， 所以函数在上单调递增， 又由是奇函数，所以函数在上单调递增， 所以在区间内单调递增，D正确. 故选：ABD. 4．已知三角函数，又已知函数满足如下条件为的一个零点，为的一条对称轴，且在区间上单调.则的最大值为 【答案】 【分析】由零点和对称轴可构造方程组求得和，由此可得为奇数，利用在上单调，可得，对范围内的逐个验证可得的最大值. 【详解】因为是的一个零点，所以； 因为是的一条对称轴，所以； 由得：，所以， 因为在区间上单调，设函数的周期为， 则，所以， 所以，所以的可能取值为， 当时，，， 因为， 为的一个零点，为的一条对称轴， 由，可得， 函数在不单调， 所以函数在上不单调，不满足要求， 当时，，， 因为， 为的一个零点，为的一条对称轴， 由，可得， 函数在不单调， 所以函数在上不单调，不满足要求， 当时，，， 因为， 为的一个零点，为的一条对称轴， 由，可得， 函数在单调递减， 所以函数在上单调，满足要求， 所以的最大值为. 故答案为：. 5．已知函数，满足 (1)求的值 (2)若存在，使得等式成立，求实数的取值范围； (3)若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解三角方程即可，注意的范围； （2）求出解析式，利用正弦函数的性质求出的范围，再分离参数求解作答； （3）代入化简得，对任意恒成立，换元后利用基本不等式求出最值得解． 【详解】（1）由题意可得， 即，解得， 又； （2）由（1）知， 令，则， 存在，使得等式成立， 即存在，使，则存在，使成立， 令，则的值域是 所以实数的取值范围为； （3）即， 化简整理得，，对任意恒成立， 令，则恒成立， 即，对任意恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ， 所以实数的取值范围为． 1．已知函数，现给出下列四个选项正确的是（    ） A．为奇函数 B．的最小正周期为 C．是的一条对称轴 D．在上单调递增 【答案】C 【分析】由函数奇偶性的验证可判断A，根据周期定义及诱导公式判断B，根据函数的对称性可判断C，根据正弦型函数的单调判断D. 【详解】因为的定义域为，所以为偶函数，错误； 由，可得的最小正周期为，B错误； ， ， 因为，所以是的一条对称轴，C正确； 当时，函数单调递增，值域为， 当时，函数单调递增，故在上单调递增. 当时，函数单调递增，值域为， 当时，函数单调递减，故在上单调递减，D错误. 故选：C. 2．已知函数，，为的零点，且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的取值可以是（    ） A．7 B．3 C．5 D．11 【答案】A 【分析】依题意可得，即可得到，再由在区间上有最小值无最大值求出，从而确定的可能取值，再代入检验即可. 【详解】因为为的零点，所以， 所以，①； 又恒成立，所以， 所以，②； ①②得，，所以，， 又，所以，解得， 又在区间上有最小值无最大值，所以，所以，解得， 所以的可能取值为、、、、、， 当时，由，且， 所以，所以， 又，当在上单调递增，故不存在最值，不符合题意； 当时，由，且， 所以，所以，显然，不符合题意； 当时，由，且， 所以，所以， 又，当，则， 当，即时取值最小值， 所以在区间上有最小值无最大值，符合题意； 当时，由，且， 所以，所以，又，不符合题意； 当时，由，且， 所以，所以， 又，当，则， 当，即时取值最小值， 所以在区间上有最小值无最大值，符合题意； 当时，由，且， 所以，所以，又，不符合题意； 综上可得或. 故选：A 3．（多选）已知函数，则（    ） A．是周期函数 B．的图象必有对称轴 C．的增区间为 D．的值域为 【答案】AB 【分析】由可判断A；由可判断B；根据和的大小可判断C；推导出，即可判断D. 【详解】对于A：， 故是的周期，故A正确； 对于B：， 故关于轴对称，故B正确； 对于C： ，， 故在不单调递增，故C错误； 对于D：因为，， 要使，当且仅当且， 若，则，又，此时， 同理，若，此时， 即与不能同时取等号， 所以，故D错误. 故选：AB. 1．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论. 【详解】因为函数的单调递增区间为， 对于函数，由， 解得， 取，可得函数的一个单调递增区间为， 则，，A选项满足条件，B不满足条件； 取，可得函数的一个单调递增区间为， 且，，CD选项均不满足条件. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数． 2．（2020·全国·高考真题）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解. 【详解】由图可得：函数图象过点， 将它代入函数可得： 又是函数图象与轴负半轴的第一个交点， 所以，解得： 所以函数的最小正周期为 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 3．（2021·全国·高考真题）已知函数的部分图像如图所示，则 . 【答案】 【分析】首先确定函数的解析式，然后求解的值即可. 【详解】由题意可得：， 当时，， 令可得：， 据此有：. 故答案为：. 【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 4．（2022·全国·高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解； 【详解】解： 因为，（，） 所以最小正周期，因为， 又，所以，即， 又为的零点，所以，解得， 因为，所以当时； 故答案为： 5．（2023·全国·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$