5.5 数列与其他知识的综合应用（精练）（试卷版）-2026年高考数学一轮复习系列（新高考新题型）

5.5数列与其他知识的综合应用（精练试卷版） 1． 单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。 1．（2025·广东惠州·模拟预测）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设的公差为，则，，故.故选：B. 2．（2025·重庆·三模）已知，则数列前2025项的第1百分位数是（    ） A．-1 B．1 C．0 D． 【答案】A 【解析】因为，故所求为数列的前2025项从小到达排列后的第21项， 当时，， 当时，， 故数列的前2025项有个，个， 所以数列的前2025项从小到达排列后的第21项为. 故选：A. 3．（2025·山东济南·模拟预测）将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】数列是以1为首项的奇数列，即， 数列是以1为首项，公差为3的奇偶交错的等差数列，即， 故数列与的公共项所构成的新数列为，即首项为，公差为的等差数列，即， . 故选：A. 4．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 【答案】B 【解析】因为数列的通项公式为，所以数列为等差数列， 所以数列的前项和为， 数列的通项公式为，所以数列为等比数列， 所以数列的前项和为， 所以 ， ， 当时，. 故选：B. 5．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）将正整数集中所有与21不互素的数划掉，记剩下的数由小到大排成数列，再按照两项，一项，两项，一项的顺序循环分组：，那么在第（   ）组． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】正整数集中，划掉所有与21不互素的数等价于划掉3或7的倍数， 余下的数按题设要求可分组如下： ，，，，，，，； ，，，，，，，， 每行均有组（共个元素），且各组中的元素除以后余数相异， 而，故在第行， 而第行的第一组为， 第二组为，第三组为， 故为第行的第组．则在第组． 故选：A. 6．（2025·海南·模拟预测）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意令，所以，对比，可得， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以， 所以， 对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立， 显然当增大时，减小，此时增大， 所以. 故选：A. 7．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（   ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】 中只有一个奇数，其余四个均为偶数。取到奇数的概率为 ，取到偶数的概率为 ， 的奇偶性取决于奇数项的数量，因为偶数项的和不改变奇偶性. 设 ，，有 ； 考虑递推关系： 代入 ，， ， 当时， ，为奇数的概率为 ，故 . 所以是以为首项，为公比的等比数列； 所以， 当时，， 当时，. 故选：A 8．（2025·贵州黔南·模拟预测）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），即．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，前项和为．则下列结论不正确的是（   ） A．时，使得要6步雹程 B．时， C．时， D．使得的的值有6个 【答案】B 【解析】若，则， 则需要6步雹程，故A正确； 若，则， 因，则，故B错误； 若，则， ， 则，故C正确； 若，则或， 若，则，，，； 若，则，，，； 若，则，，，； 若，则，，，； 若，则，，，； 若，则，，，； 故的所有取值为，共个，故D正确. 故选：B 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2025·四川成都·模拟预测）已知随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 4 5 其中成等比数列，则下列结论正确的是（    ） A．成等差数列 B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，由，得，则成等差数列，A正确； 对于B，由成等比数列，得，而，解得，B错误； 对于C，，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 10（2025·山东·模拟预测）已知数列的通项公式为，将按照从小到大的顺序排列起来构成数列，其中，数列中落在区间内项的个数记为数列，则（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BCD 【解析】由， 则 则的最小项为：， ， ， ，故A错误； 是数列中落在区间内的项的个数，对于，区间为， 则中落在区间的项为； ，， ，， ，， ，， ，， 因此共有项，则，故B正确； 确定，则数列的项是，为非负整数，且， 相当于在中选择个不同的元素,则,, 所以是最大的和,其中最大的元素为 则是下一个和,即,所以,故C正确. 确定，数列的项可以表示为, 因此由组合. 因此，故D正确. 故选：BCD 11．（2025·湖北武汉·三模）某乒乓球比赛采用单淘汰制，即参赛选手按照随机组合方式逐轮进行比赛，每场比赛负方淘汰，胜方晋级到下一轮，直到最终决出冠亚军．现有运动员（且）名，随机编号到对阵位置，且所有运动员在任何一场比赛中获胜的概率均为．若甲、乙是其中的两名运动员，则下列结论中正确的有（   ） A．若，则甲、乙在第1轮比赛中相遇的概率为 B．若，则甲、乙在第2轮比赛中相遇的概率为 C．若（且），则甲、乙两人在第4轮比赛中相遇的概率为 D．若，则甲、乙两人在比赛中相遇的概率为 【答案】ACD 【解析】对于A，时，甲的位置确定后，乙需在剩余7个位置中选择同一组的1个位置，概率为，故A正确； 对于B，当时，甲、乙在第2轮相遇，则甲、乙需在第一轮均晋级概率为，又在第2轮同一组的概率为，故所求概率为，故B错误； 对于C，当时，甲、乙两人在第m轮比赛中相遇的概率为， 所以甲、乙两人在第4轮比赛中相遇的概率为，故C正确； 对于D，当时，甲、乙两人在比赛中相遇的概率为 ，故D正确； 故选：ACD. 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025·贵州遵义·模拟预测）设为正整数，数列，，…，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，每组的4个数都能构成等差数列，且公差与原数列的公差相同，则取法有 种．（用含的代数式作答） 【答案】 【解析】从项的等差数列中删除2项等价于该等差数列是由其中的项增加2项构成的， 把项按每相邻4项为一组分成组，共有个间隙， 若插入相邻2项，则有种方法；若插入不相邻项，则有种方法， 所以不同取法种数是. 故答案为： 13．（2025·山东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，满足，则 . 【答案】 【解析】因为，所以. 令，则的定义域为，且，所以为奇函数.又因为，所以在上单调递增. 令，则，故，即，则， 故. 故答案为：. 14．（2025·江苏苏州·三模）已知数列是公比不为1的等比数列，从中任取四项，则这四项依然构成等比数列的概率为 ． 【答案】 【解析】从20项中任取4项，共有种情况， 假设任取的4项为 ， 若这四项依然构成等比数列，则构成等差数列， 设公差为，则满足， 对公差进行一一列举： 当时，的范围是，共有17种； 当时，的范围是，共有14种； 当时，的范围是，共有11种； 当时，的范围是，共有8种； 当时，的范围是，共有5种； 当时，的范围是，共有2种， 所以共有种情况， 所以这四项依然构成等比数列的概率为. 故答案为：. 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列中，，，设. (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解析】（1）由，，得，则， 即，又，于是，而， 所以数列 为首项为3公比为3的等比数列，. （2）由（1）知，数列，都是递增数列， ，即， 因此数列的前50项包含中的前46项与中的前4项， 所以. 16．（2025·湖南邵阳·三模）如图，过点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点，再过点作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程，得到一系列点：；；；；；，记点的坐标为，其中． (1)记组成一个数列，求的通项公式； (2)令，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）因为，所以，因为在处的切线为， 所以切线的斜率，所以切线的方程为， 又因为点在切线上，所以，即， 所以，所以，因为，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以； （2） . 17．（2025·湖北十堰·模拟预测）某微信群群主统计了本群最近一周内随机红包（假设每个红包的总金额均相等）的金额数据（单位：元），绘制了如下频率分布直方图. (1)群主预告今天晚上6点将有2个随机红包，每个红包的总金额均相等且每个人都能抢到红包．小李是该群的一位成员，以频率作为概率，求小李至少一次抢到5元以上金额的红包的概率； (2)群主为了活跃气氛，在群内开展“红包接龙游戏”， 规则如下：第一个红包由群主发，抢到“手气最佳”者发下一轮，每个红包发出后，所有人都参与抢红包，群主发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为；其他成员发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为．设前轮中群主发红包的次数为，第轮由群主发红包的概率为．求及的期望． 【答案】(1)0.8911； (2)，. 【解析】（1）由题知，每个红包抢到5元以上金额的概率为，且2次红包相互独立， 由独立重复试验概率公式，至少一次抢到5元以上金额的概率为. （2）由题意，， 由，又， 是以为首项，为公比的等比数列， ，即， 定义为第轮群主不发红包，为第轮群主发红包， 故服从两点分布：， ，由已知， 则 . 18．（2025·江苏连云港·模拟预测）中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，推导出了三角垛、方垛、刍甍多、刍童垛等的公式．我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”．定义：若数列是“阶等差数列”，则称原数列为“阶等差数列”．例如：数列，它的后项与前项之差组成新数列，新数列是公差为的等差数列，则称数列为二阶等差数列． (1)若数列满足，，且，求证：数列为二阶等差数列； (2)若三阶等差数列的前项依次为，求的前项和； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】（1）因为，所以， 所以是首项为，公差为的等差数列， 则是一阶等差数列，数列为二阶等差数列 （2）因为是“三阶等差数列”，所以是“二阶等差数列”， 设，所以是“一阶等差数列”． 由题意得，，，所以， 所以是首项为，公差为的等差数列，根据累加法有： ， 满足上式，所以 ， 因为满足上式， . 19．（2025·山西·三模）已知函数，从点作轴的垂线，交的图象于点，过点作曲线的切线交轴于点，再过点作轴的垂线，交的图象于点，重复这一过程，得到两个点列，，，点的坐标记作． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)证明：．(切线不等式) 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解析】（1），， 记，，， 切线，有， 代入坐标可得，，即，可得， 故为公比为2的等比数列，由于，， 故，得； （2）由， 记，有， 作差有，有， 有， 故； （3）因为， 由于，故，故，右边证毕； 因为，故， 故，又根据切线不等式，故，故有， 综上所述：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.5数列与其他知识的综合应用（精练试卷版） 1． 单选题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。 1．（2025·广东惠州·模拟预测）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·三模）已知，则数列前2025项的第1百分位数是（    ） A．-1 B．1 C．0 D． 3．（2025·山东济南·模拟预测）将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 5．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）将正整数集中所有与21不互素的数划掉，记剩下的数由小到大排成数列，再按照两项，一项，两项，一项的顺序循环分组：，那么在第（   ）组． A． B． C． D． 6．（2025·海南·模拟预测）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·天津南开·模拟预测）“……《春天的21840种可能》，但这比起你们的未来，都还远远不及，因为你们未来的可能是无穷尽．”这是毕业典礼上老师送给同学们的一段寄语，H老师借“21840”与“无穷尽”命题如下：设集合，，为数列的前项和，若取中每个数字的概率相同．记为事件“等于奇数”的概率，当趋近于无穷大时，的近似值为，则（   ）． A．， B．， C．， D．， 8．（2025·贵州黔南·模拟预测）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），即．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，前项和为．则下列结论不正确的是（   ） A．时，使得要6步雹程 B．时， C．时， D．使得的的值有6个 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（2025·四川成都·模拟预测）已知随机变量X的分布列如下表： X 1 2 3 4 5 其中成等比数列，则下列结论正确的是（    ） A．成等差数列 B． C． D． 10（2025·山东·模拟预测）已知数列的通项公式为，将按照从小到大的顺序排列起来构成数列，其中，数列中落在区间内项的个数记为数列，则（    ） A． B． C． D．若，则 11．（2025·湖北武汉·三模）某乒乓球比赛采用单淘汰制，即参赛选手按照随机组合方式逐轮进行比赛，每场比赛负方淘汰，胜方晋级到下一轮，直到最终决出冠亚军．现有运动员（且）名，随机编号到对阵位置，且所有运动员在任何一场比赛中获胜的概率均为．若甲、乙是其中的两名运动员，则下列结论中正确的有（   ） A．若，则甲、乙在第1轮比赛中相遇的概率为 B．若，则甲、乙在第2轮比赛中相遇的概率为 C．若（且），则甲、乙两人在第4轮比赛中相遇的概率为 D．若，则甲、乙两人在比赛中相遇的概率为 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2025·贵州遵义·模拟预测）设为正整数，数列，，…，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，每组的4个数都能构成等差数列，且公差与原数列的公差相同，则取法有 种．（用含的代数式作答） 13．（2025·山东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，满足，则 . 14．（2025·江苏苏州·三模）已知数列是公比不为1的等比数列，从中任取四项，则这四项依然构成等比数列的概率为 ． 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2025·山东泰安·模拟预测）已知在数列中，，，设. (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)设，将数列和数列的所有项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求数列的前50项和. 16．（2025·湖南邵阳·三模）如图，过点作轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点，再过点作轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程，得到一系列点：；；；；；，记点的坐标为，其中． (1)记组成一个数列，求的通项公式； (2)令，求证：． 17．（2025·湖北十堰·模拟预测）某微信群群主统计了本群最近一周内随机红包（假设每个红包的总金额均相等）的金额数据（单位：元），绘制了如下频率分布直方图. (1)群主预告今天晚上6点将有2个随机红包，每个红包的总金额均相等且每个人都能抢到红包．小李是该群的一位成员，以频率作为概率，求小李至少一次抢到5元以上金额的红包的概率； (2)群主为了活跃气氛，在群内开展“红包接龙游戏”， 规则如下：第一个红包由群主发，抢到“手气最佳”者发下一轮，每个红包发出后，所有人都参与抢红包，群主发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为；其他成员发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为．设前轮中群主发红包的次数为，第轮由群主发红包的概率为．求及的期望． 18．（2025·江苏连云港·模拟预测）中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，推导出了三角垛、方垛、刍甍多、刍童垛等的公式．我们把公差不为0的等差数列称为“一阶等差数列”，若数列是“一阶等差数列”，则称数列是“二阶等差数列”．定义：若数列是“阶等差数列”，则称原数列为“阶等差数列”．例如：数列，它的后项与前项之差组成新数列，新数列是公差为的等差数列，则称数列为二阶等差数列． (1)若数列满足，，且，求证：数列为二阶等差数列； (2)若三阶等差数列的前项依次为，求的前项和； 19．（2025·山西·三模）已知函数，从点作轴的垂线，交的图象于点，过点作曲线的切线交轴于点，再过点作轴的垂线，交的图象于点，重复这一过程，得到两个点列，，，点的坐标记作． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)证明：．(切线不等式) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$