精品解析：辽宁省鞍山市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2024－2025学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试卷 （本试卷共21道题满分100分考试时间90分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求．） 1. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式．根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数不含能开方的因数；②分母不含根号逐项判断即可． 【详解】解：A、的被开方数，含平方因数，可化简为，不是最简二次根式． B：的分母含根号，可化为，不是最简二次根式． C：的被开方数是质数，无平方因数，且分母无根号，符合最简二次根式条件． D：的被开方数是完全平方数，可化简为，不是最简二次根式． 故选：C 2. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 6，7，8 D. 7，8，9 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2＝c2时，则三角形为直角三角形． 【详解】解：A、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，符合题意； B、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，不符合题意； C、52+62≠72，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，不符合题意； D、62+72≠82，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查的是勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足：a2+b2＝c2时，则三角形ABC是直角三角形．解答时，只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方． 3. 下列式子中，表示是的正比例函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正比例函数．根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，需满足：①是的一次函数；②无常数项；③与为直接的线性关系．逐项判断即可． 【详解】解：A：，含常数项，不符合正比例函数的形式，属于一次函数而非正比例函数． B：，的次数为2，不符合正比例函数的要求． C：，符合的形式（），是正比例函数． D：，被平方后导致每个对应两个值，因此y不是x的函数． 故选：C 4. 一组数据3，4，3，4，5，4的众数和中位数分别是（ ） A. 3，4 B. 4，3 C. 4，4 D. 4，5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数．众数是出现次数最多的数，中位数需将数据排序后取中间位置的数或中间两数的平均数．根据众数和中位数的定义求解． 【详解】解：数据中3出现2次，4出现3次，5出现1次．出现次数最多的是4，故众数为4． 将数据从小到大排列为3、3、4、4、4、5．共有6个数据（偶数个），中位数为第3、4个数的平均数，即． 综上，众数和中位数分别为4和4． 故选：C． 5. 如图，菱形中，对角线、交于点，点为中点，连接，过点作于点，若，，则菱形的面积为（ ） A. 24 B. 48 C. 80 D. 96 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形的性质求得． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，最后由菱形的面积公式求得面积． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点为中点，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴菱形的面积． 故选：D． 6. 在平行四边形中，用直尺和圆规作图的痕迹如图所示，若，则平行四边形的周长为（ ） A. 14 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，等腰三角形的判定，平行四边形的性质．由作图可得平分，结合平行四边形的性质可得到，从而，进而根据平行四边形的周长即可求解． 【详解】解：由作图可得平分， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D 7. 已知一次函数的图象如图所示，点在该函数图象上，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据一次函数图象与一元一次不等式的联系求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴由图象可得，关于的不等式的解集是． 故选：A 8. 如图1，点为平行四边形边上的点，点沿着的路径运动，设点运动的路径长为的面积为，如图2是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，根据点运动和三角形的面积变化得出线段长度是解题关键．根据点运动，可得，再根据三角形的面积公式可得出结论． 【详解】解：根据点运动，可得， 设与间的距离是， 当点在上时，， ∴， 解得， 故选：D． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 9. 使在实数范围内有意义的的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式和分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：， 即在实数范围内有意义的的取值范围是． 故答案为：． 10. 小敏同学参加英语比赛，口语成绩为92分，听力成绩为93分，笔试成绩为91分，若口语成绩、听力成绩、笔试成绩按的比计算总成绩，则小敏本次英语比赛的总成绩为_____分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，若个数的权分别是，，则叫做这个数的加权平均数．根据加权平均数的定义求解即可． 【详解】解：小敏本次英语比赛的总成绩为（分）． 故答案为：． 11. 某无人机从海拔处出发，以每分钟的速度上升，若无人机所在的海拔高度（单位：），关于上升时间（单位：）的函数关系式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了函数关系式，正确表示出上升的高度是解题关键． 直接利用原高度上升的时间海拔高度，进而得出答案． 【详解】解：无人机所在的海拔高度（单位：），关于上升时间（单位：）的函数关系式是：． 故答案为：． 12. 若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图像与系数的关系，关键是通过一次项系数和常数项的符号确定函数图像的走向及位置，从而建立不等式求解参数范围．根据一次函数的图像经过第一、二、三象限的条件，需满足，从而建立关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限， ，解得． 故答案为：． 13. 如图，中，点分别为边的中点，点为线段上一点，且，若，则线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质．掌握直角三角形斜边中线性质，三角形的中位线性质是解题的关键． 先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长，即得长，然后利用三角形的中位线求出长． 【详解】解：∵，点D为的中点，且， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴． 故答案为：8． 三、解答题（本题共8小题，共61分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 14. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质等知识点，掌握二次根式的相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，然后再按照二次根式的乘除的混合运算法则计算即可； （2）先根据二次根式的性质化简，然后再按照二次根式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 15. 已知：，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、代数式求值等知识点，掌握完全平方公式成为解题的关键． 先求出的值，然后根据完全平方公式将所求代数式化成，最后将的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 16. 在南北走向的河流一侧有一村庄，在河边有两个取水点，经测量，点到河岸的最短距离，求取水点之间的距离． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短，由垂线段最短得到，在中，，则；证明是等腰直角三角形，得到，则． 【详解】解：∵点到河岸的最短距离， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 答：取水点之间的距离为． 17. 如图，中，于点，点为中点，过点A作交延长线于点，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若是的平分线，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据证明得，再根据等腰三角形的性质可得，再证四边形是平行四边形，然后结合即可证明结论； （2）根据矩形的性质可得、，则，易得，，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵点E为边的中点， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵中，于点， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是的平分线， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 18. 某校为了了解七八年级学生英语听力训练情况，某周从这两个年级学生中各随机抽取了20名学生，进行英语听力测试（满分为30分），并对数据进行整理、描述和分析（得分用表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生得分为：，21，21，，24，24，，，，27，，，，，，，，30，30，30． 八年级20名学生得分在C组中的数据为：，，，，，，． 两个年级得分统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 30 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_____，_____； （2）根据以上数据分析，你认为七年级还是八年级的英语听力成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）已知七年级共有学生760人，八年级共有学生680人，估计这两个年级的学生中英语听力成绩为优秀（）的共有多少人？ 【答案】（1），15 （2）七年级的成绩更好，理由见详解 （3）七、八年级学生中英语听力成绩达到优秀的共有人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、统计表、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键． （1）根据题意求出组占比，即可得组占比，再根据中位数的定义求解即可； （2）利用中位数、众数作判断即可（答案不唯一）； （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：八年级 20 名学生竞赛成绩，组数据是，，，，，，共 7 人， 故组占， 故组占， ∴， 组占，则组人数为人； 组占，则组人数为人； 组人数为7人； 将八年级成绩从小到大排列，、、组共人， 中位数是第 10 和 11 个数据的平均数，这两个数据在组， 组数据排序后为，，，，，，，第 10 个是 ，第 11 个是， 所以， 故答案为：，15； 【小问2详解】 解：七年级的成绩更好，理由如下： 两个年级的平均数相同，但是七年级的中位数和众数比八年级高，故七年级的成绩更好；（理由不唯一，合理即可） 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计七、八年级学生中英语听力成绩达到优秀的共有人． 19. 2025年“五一”假期，各地推出丰富多彩的旅游产品、文化活动和惠民举措，着力满足群众多元化和个性化需求．某景区商店购进甲、乙两种纪念品，已知甲种纪念品的单价比乙种纪念品的单价少20元，花1800元购进甲种纪念品的数量是花2500元购进乙种纪念品数量的倍． （1）求甲、乙两种纪念品的单价； （2）某旅行社游客打算从该商店购买甲、乙两种纪念品共30件，且甲种纪念品的数量不超过乙种纪念品数量的，请设计一种购买方案，使得花费最少，并计算最少花费为多少元？ 【答案】（1）甲种纪念品的单价为30元，乙种纪念品的单价为50元 （2）购买甲种纪念品10件，乙种纪念品20件，花费最少，最少花费为1300元 【解析】 【分析】该题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲种纪念品的单价为元，则乙种纪念品的单价为元，根据“花1800元购进甲种纪念品的数量是花2500元购进乙种纪念品数量的倍”列方程求解即可； （2）设购买甲种纪念品件，则购买乙种纪念品件，总花费为元，列出关于和的函数关系式，再求出的范围即可求解． 【小问1详解】 解：设甲种纪念品的单价为元，则乙种纪念品的单价为元， 由题意可知， 解得：， 经检验是原分式方程的解． ， 答：甲种纪念品的单价为30元，乙种纪念品的单价为50元． 【小问2详解】 解：设购买甲种纪念品件，则购买乙种纪念品件，总花费为元， 依题意，得， 随的增大而减小， 甲种纪念品的数量不超过乙种纪念品数量的， ， 解得：， 当时，的值最小，元，此时， 答：购买甲种纪念品10件，乙种纪念品20件，花费最少，最少花费为1300元． 20. 根据学习一次函数的经验，数学社团的同学对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数．下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … 5 3 2 1 0 0 1 … 其中_____． （2）在图中的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象； （3）判断函数有最大值还是最小值？并直接写出当为何值时，的最大值或最小值是多少？ （4）已知函数（其中），当自变量的取值范围是时，该函数的最大值为，求的值． 【答案】（1）4 （2）见详解 （3）有最小值，当时，的最小值是 （4） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答． （1）将代函数解析式即可求出的值； （2）根据表格中的数据先描点，再画出相应的函数图象； （3）根据函数图象即可解答； （4）由题中规律可得函数有最小值，当时，有最小值，的最小值是，且当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大．从而得出当时，在时取得最大值，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入，得， 故答案为：4． 【小问2详解】 解：如下图所示， 【小问3详解】 解：由函数图象可得，函数有最小值，当时，有最小值，的最小值是． 【小问4详解】 解：由题中规律可得函数有最小值，图象的对称轴为直线，当时，有最小值，的最小值是，且当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． ∵， ∴， 到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴当时，在时取得最大值， ∴， 解得：． 21. 正方形中，为对角线，点为射线上一点，点为直线上一点，连接，过点作交直线于点． （1）如图1，当点在线段上，点在线段延长线上时，与的数量关系为：_____； （2）如图2，当点在线段上，点在线段延长线上时，请判断，，之间的数量关系，并说明理由； （3）当，时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） ，理由如下， 如图，过作于点，作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 即； （3）或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作于点，作于点，则，然后证明四边形是矩形，故有，由，则，证明即可求证； （）过作于点，作于点，同（）理证明，根据性质可得四边形是正方形，所以，则，即，得出，最后通过线段和差即可求解； （）分当在延长线上时，当在上时两种情况，然后通过正方形的性质和勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过作于点，作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当在延长线上时， 由（）得四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， 由（）得：， ∴， ∴的面积为； 如图，当在上时， 由（）得四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， 同（）得：， ∴， ∴的面积为； 综上可知：的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试卷 （本试卷共21道题满分100分考试时间90分钟） 考生注意：请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题都有四个选项，只有一个最佳选项符合题目要求．） 1. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 6，7，8 D. 7，8，9 3. 下列式子中，表示是的正比例函数关系的是（ ） A. B. C. D. 4. 一组数据3，4，3，4，5，4的众数和中位数分别是（ ） A. 3，4 B. 4，3 C. 4，4 D. 4，5 5. 如图，菱形中，对角线、交于点，点为中点，连接，过点作于点，若，，则菱形的面积为（ ） A. 24 B. 48 C. 80 D. 96 6. 在平行四边形中，用直尺和圆规作图的痕迹如图所示，若，则平行四边形的周长为（ ） A. 14 B. 18 C. 20 D. 22 7. 已知一次函数的图象如图所示，点在该函数图象上，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，点为平行四边形边上的点，点沿着的路径运动，设点运动的路径长为的面积为，如图2是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 9. 使在实数范围内有意义的的取值范围是_____． 10. 小敏同学参加英语比赛，口语成绩为92分，听力成绩为93分，笔试成绩为91分，若口语成绩、听力成绩、笔试成绩按的比计算总成绩，则小敏本次英语比赛的总成绩为_____分． 11. 某无人机从海拔处出发，以每分钟的速度上升，若无人机所在的海拔高度（单位：），关于上升时间（单位：）的函数关系式是_____． 12. 若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是_____． 13. 如图，中，点分别为边的中点，点为线段上一点，且，若，则线段的长为_____． 三、解答题（本题共8小题，共61分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 14. 计算： （1） （2） 15. 已知：，求代数式的值． 16. 在南北走向的河流一侧有一村庄，在河边有两个取水点，经测量，点到河岸的最短距离，求取水点之间的距离． 17. 如图，中，于点，点为中点，过点A作交延长线于点，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若是的平分线，，求的长． 18. 某校为了了解七八年级学生英语听力训练情况，某周从这两个年级学生中各随机抽取了20名学生，进行英语听力测试（满分为30分），并对数据进行整理、描述和分析（得分用表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生得分为：，21，21，，24，24，，，，27，，，，，，，，30，30，30． 八年级20名学生得分在C组中的数据为：，，，，，，． 两个年级得分统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 30 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的_____，_____； （2）根据以上数据分析，你认为七年级还是八年级的英语听力成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）已知七年级共有学生760人，八年级共有学生680人，估计这两个年级的学生中英语听力成绩为优秀（）的共有多少人？ 19. 2025年“五一”假期，各地推出丰富多彩的旅游产品、文化活动和惠民举措，着力满足群众多元化和个性化需求．某景区商店购进甲、乙两种纪念品，已知甲种纪念品的单价比乙种纪念品的单价少20元，花1800元购进甲种纪念品的数量是花2500元购进乙种纪念品数量的倍． （1）求甲、乙两种纪念品的单价； （2）某旅行社游客打算从该商店购买甲、乙两种纪念品共30件，且甲种纪念品的数量不超过乙种纪念品数量的，请设计一种购买方案，使得花费最少，并计算最少花费为多少元？ 20. 根据学习一次函数的经验，数学社团的同学对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量的取值范围是全体实数．下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 … … 5 3 2 1 0 0 1 … 其中_____． （2）在图中的平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象； （3）判断函数有最大值还是最小值？并直接写出当为何值时，的最大值或最小值是多少？ （4）已知函数（其中），当自变量的取值范围是时，该函数的最大值为，求的值． 21. 正方形中，为对角线，点为射线上一点，点为直线上一点，连接，过点作交直线于点． （1）如图1，当点在线段上，点在线段延长线上时，与的数量关系为：_____； （2）如图2，当点在线段上，点在线段延长线上时，请判断，，之间的数量关系，并说明理由； （3）当，时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $