精品解析：内蒙古自治区锡林郭勒盟锡林郭勒盟三县2024-2025学年七年级下学期7月期末考试数学试题

2024-2025学年度锡林郭勒盟三县联考 七年级数学期末考试卷 考试分数：100分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第I卷（选择题） 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若点在第二象限，则点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 《天工开物》中记载：“凡扎花灯，需竹篾八分，彩绢三尺．”某非遗工坊用竹篾和彩绢制作传统花灯，每盏大灯用竹篾米、彩绢米，每盏小灯用竹篾米、彩绢米．若工坊恰好用完了米竹篾和米彩绢，设制作大灯盏，小灯盏，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 4. 若关于x的不等式的最小整数解是，则m的取值范围是⋯（ ） A. B. C. D. 5. 某班35名学生共种87棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有人，女生有人．根据题意，所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，经过原点，并与两坐标轴交于两点，已知，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，是真命题是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 过一点有无数条直线与已知直线平行 C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 8. 如图，已知，，点E在上，点G，F在上，点H在之间，连接，，，．平分交于点K，，平分，平分，，交于点M，若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径作圆，是上一动点，连接，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，连接．若点从点出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动，则第2027秒时，点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中n为自然数，，，，均为绝对值小于的整数，且，满足．下列结论： ①满足条件的整式中只有个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件整式有且只有个； ③满足条件的整式一共有个． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为，顶点A、C分别在x轴，y轴上，顶点B在第三象限，对角线交于点D．若反比例函数的图象经过点D，则k的值为__________． 12. 实数的算术平方根的整数部分是 _____________． 13. 在平面直角坐标系中，对于任意三点、 、的“半矩面积”给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“半矩面积”．例如：三点的坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“半矩面积”．已知两点，，若点是轴上任意一点，则、、三点的“半矩面积”的最小值为__________． 14. 如图，直线l1//l2，AB⊥CD，∠1=40°，则∠2=__________． 15. 陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位．已知第一、二束气球的价格如图所示（图示：第一束气球价格14元，第二束18元），则第三束气球的价格为_____． 16. 定义表示不大于x的最大整数，例如：，，．有下列结论：①当时，的值为1；②；③；④是方程的唯一解，其中，正确的有______．（填序号） 三、解答题（共7小题，共52分） 17. 计算： （1）； （2）． 18 综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，点A、C分别在边和上，．三角尺中，，，．猜想与的数量关系，并说明理由． 问题初探： （1）若，则__________°； （2）小宇同学通过小组合作探究，发现了一种证明方法．如图2，过点C作，交于点H，请你根据小宇同学提供的辅助线，先确定与的数量关系，再说明理由； 类比再探： （3）如图3，把“”改为“”，其它条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 19. 一家电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． （1）已知购买2台型电脑和3台型电脑需要元，且购买3台型电脑和8台型电脑的费用刚好可以买20台型电脑．求型电脑和型电脑的售价． （2）这家电脑公司为提高型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买型电脑，拿出的旧电脑和购买的型电脑数量一共是台．若要使购买型电脑的数量是旧电脑数量的倍，且购买型电脑的实际总费用不少于元，则要在计划的基础上再多买台型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 20. 如图，直线，，的角平分线交于点P． （1）与相等吗？请说明理由． （2）若，求的度数． （3）点Q为射线上一点，连接，．若，且，求的度数． 21. 直线，一副三角尺中，，， （1）若如图1摆放，当平分时，求证：平分； （2）如图2，边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上． ①求的度数； ②将固定，沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，两线相交于点（图3），直接写出的度数． 22. 如图①，平面直角坐标系中，，直线轴交y轴于点E，点F在直线之间（不在直线上）． （1）连接，，求的度数． （2）若，在y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图②，点H在射线上运动，M为x轴上点B右侧的一点，连接，若始终平分，且，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 23. 如图，中，若 ，，则 ，． 对于所在平面内的点，若边上存在不同的两点，，使点关于直线的对称点在上或其内部，则称点 是的“关联点”． 在平面直角坐标系中，，是等边三角形，点 是的中点，点是边上任意一点． （1）如图，当点是边的中点时，在点，，中，点 是的“关联点”； （2）如图，当点在边上运动时，若点 是的“关联点”， 则所有点 的纵坐标的取值范围是 ； 则所有点构成图形周长是 ； （3）当点在边上运动时，若是的“关联点”，且是等边三角形，点 的坐标为，则和的取值范围是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度锡林郭勒盟三县联考 七年级数学期末考试卷 考试分数：100分；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息． 2．请将答案正确填写在答题卡上． 第I卷（选择题） 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若点在第二象限，则点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了象限内点坐标特征，根据第二象限的点横坐标是负数，判断出，结合选项即可得出答案． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴只有D符合条件， ∴点的坐标可能为， 故选：D． 2. 如果，那么下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴，正确，符合题意； B．∵，∴，∴，故不正确，不符合题意； C．∵，∴，∴，故不正确，不符合题意； D．∵，∴，故不正确，不符合题意； 故选A． 3. 《天工开物》中记载：“凡扎花灯，需竹篾八分，彩绢三尺．”某非遗工坊用竹篾和彩绢制作传统花灯，每盏大灯用竹篾米、彩绢米，每盏小灯用竹篾米、彩绢米．若工坊恰好用完了米竹篾和米彩绢，设制作大灯盏，小灯盏，则可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设制作大灯盏，小灯盏，由题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设制作大灯盏，小灯盏， 由题意得，， 故选：． 4. 若关于x的不等式的最小整数解是，则m的取值范围是⋯（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解关于的不等式求得，根据不等式的最小整数解是即可作答． 【详解】解：， 移项，得：， 不等式的最小整数解是， ， 故选：B． 5. 某班35名学生共种87棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有人，女生有人．根据题意，所列方程组正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．正确得出等量关系是解题的关键． 根据题意可得等量关系：①男生人数+女生人数=35；②男生种树的总棵树+女生种树的总棵树=87棵，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】该班男生有人，女生有人， ∵该班共35名学生共种87棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵， ∴得． 故选：D． 6. 如图，经过原点，并与两坐标轴交于两点，已知，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理解直角三角形，以及坐标与图形，解决本题的关键是要正确添加辅助线，将已知条件集中到中解直角三角形． 连接，根据直角坐标系的两坐标轴的垂直关系可证为直径，由圆周角定理得到，在中，根据勾股定理计算可得的长，得到点A的坐标，根据圆心C为直径的中点，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴为的直径，即点C在上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， 即， ∴， ∴ ∵圆心C为直径的中点， ∴圆心C的坐标为，即． 故选：B 7. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 过一点有无数条直线与已知直线平行 C. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D. 直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理、平行线的判定、点到直线的距离等知识点，掌握相关的性质定理是判断命题的真假关键． 根据平行线的性质、平行公理的推论、平行线的判定、点到直线的距离的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故本选项命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 8. 如图，已知，，点E在上，点G，F在上，点H在之间，连接，，，．平分交于点K，，平分，平分，，交于点M，若，，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．过点作．可设，则，根据平行线的性质和角平分线的定义可得方程组，求解即可． 【详解】解：如图，过点作． 由题意可设，则． ∵，平分， ∴，． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴，即． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即，解得：， ∴． 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径作圆，是上一动点，连接，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，连接．若点从点出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动，则第2027秒时，点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，由题意可得点每秒运动一周，即得第秒时与第秒时的位置相同，过点作轴，垂足为点，证明可得，可得，，再根据点的坐标即可求解，由题意判断出点的位置是解题的关键． 【详解】解：如图，点沿逆时针方向运动，每秒走个单位长度，每秒运动一周， ， ∴第秒时与第秒时的位置相同， 过点作轴，垂足为点，则， ∴， 由旋转可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：D． 10. 已知整式，其中n为自然数，，，，均为绝对值小于整数，且，满足．下列结论： ①满足条件的整式中只有个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个； ③满足条件的整式一共有个． 其中正确的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列代数式，不等式的性质，熟练根据题意正确列出代数式是解题的关键．先利用，，确定，再分别讨论，，，时，结合和，，，均为绝对值小于的整数，且，一一枚举出来所有情况，再进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∵，，，均为绝对值小于的整数，且， ∴或， 即或， 共种，其中单项式有个； 当时，， ∵， ∴， ∵，，，均为绝对值小于的整数，且， ∴或或或或或， ∴或或或或或， 共种，其中单项式有个； 当时，， ∵， ∴， ∵，，，均为绝对值小于的整数，且， ∴或或或或或或或或或， ∴或或或或或或或或或， 共种，其中单项式有个； 当时，， ∵， ∴， ∵，，，均为绝对值小于的整数，且， ∴或， ∴或， 共种，其中单项式有个； 综上， 满足条件的整式中，有个单项式， 故①错误； 当时，满足条件的整式有且只有个， 故②错误； 满足条件的整式一共有个， 故③错误； 故正确的个数是个， 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的面积为，顶点A、C分别在x轴，y轴上，顶点B在第三象限，对角线交于点D．若反比例函数的图象经过点D，则k的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求解反比例函数的比例系数．设点，由矩形的面积可得；根据矩形的对角线互相平分可得，据此即可求解． 【详解】解：设点， ∵矩形的面积为， ∴， 即：， ∵对角线交于点D． ∴， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， 故答案为：． 12. 实数的算术平方根的整数部分是 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算， 设，可得，再确定的取值范围，即可得出答案. 【详解】解：设，则． 那么． 因为． 这里， 所以， 即， 所以的整数部分是20240425． 故答案为：20240425． 13. 在平面直角坐标系中，对于任意三点、 、的“半矩面积”给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“半矩面积”．例如：三点的坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“半矩面积”．已知两点，，若点是轴上任意一点，则、、三点的“半矩面积”的最小值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，读懂题意是解题的关键．由题意得，，可知的最小值为，继而即可求解． 【详解】解：由题意得，， 可知的最小值为， ∴、、三点的“半矩面积”的最小值为：， 故答案为：2． 14. 如图，直线l1//l2，AB⊥CD，∠1=40°，则∠2=__________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】由可得，由可得． 【详解】解：如图：， ， 又， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线性质、垂直的定义等知识点，掌握两直线平行、同位角相等是解答本题的关键． 15. 陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位．已知第一、二束气球的价格如图所示（图示：第一束气球价格14元，第二束18元），则第三束气球的价格为_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、代数式求值等知识点，审清题意、列二元一次方程组是解题的关键， 设笑脸形的气球x元一个，爱心形的气球y元一个，然后根据第一、二束列出方程组求得x、y的值，最后根据第三束气球状况列代数式并求值即可． 【详解】解：设笑脸形的气球x元一个，爱心形的气球y元一个， 由题意得：，解得：， ∴第三束气球的价格为（元）． 故答案为16． 16. 定义表示不大于x的最大整数，例如：，，．有下列结论：①当时，的值为1；②；③；④是方程的唯一解，其中，正确的有______．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用，解一元一次不等式组的应用．理解题意，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式组是解题的关键．当时，，可判断①的正误；设，则，，，可得，可判断②的正误；由题意知，的整数部分为，则小数部分为， 由，可求，可判断③的正误；由，可得，的整数部分为，则小数部分为，且，可求，然后分情况求解，进而可判断④的正误． 【详解】解：当时，，①正确，故符合要求； 设，则， ∴， ∴， ∴，②正确，故符合要求； 由题意知，的整数部分为，则小数部分为， ∴， 解得，，③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴的整数部分为，则小数部分为，且， 解得，， 当时，， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 解得，； 当时，， ∴， 解得，； 综上所述，或或是的解，④错误，故不符合要求； 故答案为：①②③． 三、解答题（共7小题，共52分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）20 （2）0 【解析】 【分析】此题主要考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）根据乘法的分配律简化计算即可求解； （2）根据实数的性质进行化简即可求解． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，将含的三角尺如图方式摆放，点A、C分别在边和上，．三角尺中，，，．猜想与的数量关系，并说明理由． 问题初探： （1）若，则__________°； （2）小宇同学通过小组合作探究，发现了一种证明方法．如图2，过点C作，交于点H，请你根据小宇同学提供的辅助线，先确定与的数量关系，再说明理由； 类比再探： （3）如图3，把“”改为“”，其它条件不变，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）60；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质．辅助线的添加是解题的关键也是解题的难点． （1）过点C作，交于点H，利用平行线的判定和性质求解即可； （2）过点C作，交于点H，设，利用平行线的判定和性质求解即可； （3）过点C作，交于点H，设，同样的方法求解即可． 【详解】解：（1）过点过点C作，交于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：60； （2）过点C作，交于点H， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点C作，交于点H，设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即； 19. 一家电脑公司有型、型、型三种型号的电脑，其中型每台元．某中学计划从这家电脑公司购进电脑． （1）已知购买2台型电脑和3台型电脑需要元，且购买3台型电脑和8台型电脑的费用刚好可以买20台型电脑．求型电脑和型电脑的售价． （2）这家电脑公司为提高型电脑销量，设计了旧电脑抵值活动：购买一台型电脑时，可以用一台旧电脑抵值1000元．该中学计划只购买型电脑，拿出的旧电脑和购买的型电脑数量一共是台．若要使购买型电脑的数量是旧电脑数量的倍，且购买型电脑的实际总费用不少于元，则要在计划的基础上再多买台型电脑，此时该中学需要再拿出台的旧电脑参加抵值活动，求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值？ 【答案】（1）型每台元、型每台元 （2）该中学至少需要再拿出6台旧电脑进行抵值 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设型每台元、型每台元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． （2）设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑，根据购买型电脑的数量是旧电脑数量的2倍，可列出关于，的二元一次方程，变形后可得出，利用总价单价数量，结合购买型电脑的实际总费用不少于100000元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合，均为正整数，即可找出的最小值为6． 【小问1详解】 解：设型每台元、型每台元，根据题意得， 解得： 答：型每台元、型每台元 【小问2详解】 解：设原计划购买台型电脑，则原计划拿出台旧电脑， 根据题意得：， ． 购买型电脑的实际总费用不少于元， ， 即， 解得：， 又∵是正整数，则是9的倍数，的最小值为 ∴的最小值为 答：该中学至少需要再拿出台旧电脑进行抵值． 20. 如图，直线，，的角平分线交于点P． （1）与相等吗？请说明理由． （2）若，求的度数． （3）点Q为射线上一点，连接，．若，且，求的度数． 【答案】（1）与相等，理由见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据角平分线得，再根据得，由此可得出结论； （2）设，则，由（1）可知，根据得，然后根据得，由此解出即可得出的度数； （3）设，则，分两种情况讨论如下：①当点Q在线段上时，证明， ，根据得，则，再根据平行线的性质得，由此解出即可得出的度数；②当点Q在线段的延长线上时，过点Q作交的延长线于R，证明，，则，进而得，由此解出即可得出的度数；综上所述即可得出答案． 【小问1详解】 解：与相等，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴， ∵点Q为射线上一点， ∴有以下两种情况： ①当点Q在线段上时，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即； ②当点Q在线段延长线上时， 过点Q作交的延长线于R，如图2所示： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述：的度数为或． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 21. 直线，一副三角尺中，，， （1）若如图1摆放，当平分时，求证：平分； （2）如图2，的边在直线上，的顶点恰好落在直线上，且边与边在同一直线上． ①求的度数； ②将固定，沿着方向平移，使边与直线相交于点，作和的平分线，两线相交于点（图3），直接写出的度数． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键． （1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）②如图，过E作，运用平行线判定与性质即可得出答案 ②如图，分别过点作，，运用平行线判定与性质和角平分线定义即可得出答案． 【小问1详解】 证明：在中，，， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 平分； 【小问2详解】 解：①如图，过E作， ， 又， ， ，， ， ； ②如图，分别过点，作， ， ，， ，，， ， ， 和的角平分线，，两线相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ． 22. 如图①，平面直角坐标系中，，直线轴交y轴于点E，点F在直线之间（不在直线上）． （1）连接，，求的度数． （2）若，在y轴上是否存在点P，使得？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图②，点H在射线上运动，M为x轴上点B右侧的一点，连接，若始终平分，且，则的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 （3）的值不会变化，其值为 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，平行线的性质，一元一次方程，解题的关键是运用方程思想解决几何问题； （1）过点F作，根据平行线的性质求解即可； （2）先求出，再分类讨论，当点P在y轴正半轴上时，当点P在y轴负半轴上时，再根据面积关系列方程求解即可； （3）设，，，则，，根据平行线的性质可得，由（1）可知，即可求出n值，进而得解． 【小问1详解】 解：过点F作， ， ，， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在y轴正半轴上时，如图，过点P，A，F作轴，轴，轴， 设， ， ， 解得， 当点P在y轴负半轴上时，如图， ， ， 解得， 或； 【小问3详解】 解：的值不会变化，理由如下： 设，，，则，， 始终平分， ， ， ， ，即， 由（1）可知，， ，即， ， ， ， ， 所以的值不会变化，其值为． 23. 如图，中，若 ，，则 ，． 对于所在平面内的点，若边上存在不同的两点，，使点关于直线的对称点在上或其内部，则称点 是的“关联点”． 在平面直角坐标系中，，是等边三角形，点 是的中点，点是边上任意一点． （1）如图，当点是边的中点时，在点，，中，点 是的“关联点”； （2）如图，当点在边上运动时，若点 是的“关联点”， 则所有点 的纵坐标的取值范围是 ； 则所有点构成图形的周长是 ； （3）当点在边上运动时，若是的“关联点”，且是等边三角形，点 的坐标为，则和的取值范围是 ． 【答案】（1） （2）①；② （3），或 【解析】 【分析】（1）根据新定义，作关于的轴对称图形，可得的“关联点”在内，进而即可求解； （2）①作关于的轴对称图形，得出当轴时，点的纵坐标最大，同理可得，当轴时，点的纵坐标最小，根据点是的“关联点”则点在的内部，即可求解； ②根据，，得出在以为圆心为半径的半圆上运动，分别在为圆心为半径的圆弧上运动，进而得出运动轨迹，根据坐标结合图形求得周长，即可求解； （3）分当点在的上方时，当在的下方时，根据等边三角形的性质，全等三角形的性质得出点的运动轨迹，结合（1）②中的轨迹范围确定的横纵坐标取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，是等边三角形， ∴， 过点作的高，如图所示， 依题意，， ∴， ∵点 是的中点， ∴； 当点是边的中点时， ∴ ∴， 如图所示，作关于的轴对称图形 根据定义，可得的“关联点”在内， 在点，，中，在内， ∴点是的“关联点”， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示，作关于的轴对称图形 连接， ∵是的中点，是等边三角形，依题意 ∵关于对称， ∴， 又 ∴当轴时，点的纵坐标最大，最大为， 如图所示， 同理可得，当轴时，点的纵坐标最小， ∵ ∴此时 ∵点是的“关联点” ∴所有点 的纵坐标的取值范围是 ②∵, 当点在边上运动时，当点与重合，则与重合， 当点与重合时，如图所示，与重合，则三点共线，此时 又∵ ∴在以为圆心为半径的半圆上运动，分别在为圆心为半径的圆弧上运动， 其中，，则为等边三角形， ∴ ∵在内部， 如图所示，阴影部分即为所有点的轨迹， ∴所有点构成图形的周长是 【小问3详解】 如图所示，取的中点，连接， 当点在的上方时， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴是等边三角形， 又∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴，即的纵坐标为，即 ∵在上运动，，当时，， ∴在以为中点，长度为的线段上运动，即的横坐标范围为，结合（2）可知符合题意， 当在的下方时，如图所示，连接， ∵，同理可得都是等边三角形，且边长都为 ∴，则 又，则， ∴是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴， ∴点在上运动， 由（2）可得点的轨迹在点右侧时，在轴的上方， ∴当点在上运动时，点在第四象限，不合题意， ∴在上运动时，点在上运动， ∵， ∴， 综上所述，，或 【点睛】本题考查了坐标与轴对称，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，理解新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$