广东省揭阳市真理中学2025-2026学年九年级上学期开学考数学模拟试卷1

真理中学2025-2026学年度第一学期九年级开学考数学模拟试卷1 一、选择题 1．汉字是中华文化的瑰宝，下列汉字是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．已知三个实数a、b、c满足，，则（    ） A．， B．， C． D． 3．把不等式组中的两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（   ） A． B． C． D． 4．为治理新疆土地沙漠化，改善生态，某地区计划在沙漠边缘植树30万棵．因当地风沙大、气候特殊，为赶在风沙季前完成种植以保障树苗存活，实际每天植树棵数比原计划增加，提前3天完工．若设实际每天植树万棵，根据题意可得方程为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在等腰直角△ABC中，，连接，若，则的长度为（   ） A．1 B． C． D． 568  9  10 6．如图，在△ABC中，设，，，且，平分，，交的延长线于点，平分，，连接并延长，交于点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 7．已知n为正整数，则四个连续正整数可表示为n，n+1，n+2，n+3，它们的乘积为，当时，n的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．，AC＝1，以BC为边作正方形BCED，当线段AC绕点A任意旋转时，正方形BCED也随之旋转，若x＝AD＋AE，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．如图，△ABC为等腰直角三角形，平分，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点，于点；下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 10．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点A，与轴相交于点，四边形是平行四边形，直线经过点，且与轴相交于点与相交于点，记四边形，的面积分别为，则等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若，则的值为 . 12．整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为 ． 13．如图，点，点，将点绕点逆时针旋转得到点，则点的坐标是 ． 13   15 14．若关于的不等式组无解，且关于的方程的解为正整数，则符合题意的所有整数的积为 ． 15．如图，已知，点C，D在线段上，且．P是线段上的动点，分别以，为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为G，则的最小值是 ． 三、解答题 16．（1）解方程：； （2）先化简，再求值：，请从，，，，中选择一个合适的数，求此分式的值． 17．求不等式组：的所有整数解． 18．例在中，点E为AB上一点，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线）    (1)如图1，E为边上一点，，画出∠D的角平分线； (2)如图2，E为边上一点，，画出∠B的角平分线． 19．如图，在中，分别平分，交于点． (1)求证：； (2)过点作，垂足为．若的周长为56，，求的面积． 20．如图所示，在△ABC中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点． (1)求证：四边形为平行四边形 (2)，求线段的长度．    21．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是a和b(a＞b)，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 22．为迎接春节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的恤衫共100件．已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍． (1)甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？ (2)商场决定购进甲、乙两种品牌恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌恤衫至少78件，求该商场有哪几种进货方案； (3)在（2）的条件下，商场决定甲品牌恤衫以每件50元出售，乙品牌恤衫以每件100元出售，若该商场推出促销活动：顾客购买一件恤衫持购物票据可抽奖一次，每人限购一件，一等奖共有1个，所购恤衫按标价返款100%；二等奖共有3个，所购恤衫按标价返款50%．该商场将这100件恤衫全部售出后共获利2220元，直接写出抽到的二等奖中，购买的乙种品牌恤衫有多少件． 23．综合与探究 【问题情境】在△ABC中，分别以和为边向外作等腰直角和等腰直角，其中，，，是边的中点． 【猜想验证】（1）如图1，若，，垂足分别是，，连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【深入探究】（2）如图2，连接，． ①试判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由． ②若，请直接写出四边形和的面积之和． 试卷第1页，共3页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C A B C A B D C 11．1 12．5 13． 14． 15． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 16．解：， ， 解得， 经检验，是原方程的根； 原式 ， 且，， ， 则原式． 17．解：， 解不等式①，得：；解不等式②，得：； ∴不等式组的解集为． ∴该不等式组的所有整数解是，，． 18．（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：即为所求．       19．（1）证明：在中， ∵， ∴， ∵分别平分，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． （2）如图，作， ∵的周长为56， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 20．（1）解：∵点D、E分别为的中点， ∴， ∵点G、F分别为、的中点． ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴． 21．解：（1）； （2）； （3） 根据题意得：，∴原式． 22．（1）解：设甲品牌恤衫每件的进价为元，则乙品牌恤衫每件的进价为元． 由题意得： 解得： 经检验是原分式方程的解，且符合题意． ， 答：甲品牌恤衫每件的进价为30元．乙品牌恤衫每件的进价为60元． （2）设该商场购进甲品牌恤衫a件，则购进乙品牌恤衫件． 根据题意得： 的整数值为78，79，80． 商场共有三种进货方案． 方案一：购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件； 方案二：购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件； 方案三：购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件． （3）设二等奖中购买乙品牌的有件，甲品牌的有件， ①购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件，一等奖为甲品牌， 解得：（舍）． 购进甲品牌恤衫78件，购进乙品牌恤衫22件，一等奖为乙品牌， 解得：（舍）． ②购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件，一等奖为甲品牌， 解得：． 购进甲品牌恤衫79件，购进乙品牌恤衫21件，一等奖为乙品牌， 解得：． ③购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件，一等奖为甲品牌， 解得：（舍）． 购进甲品牌恤衫80件，购进乙品牌恤衫20件，一等奖为乙品牌， 解得：（舍）． 因此，抽到的二等奖中，购买乙品牌有1件或3件． 23．解：（1）四边形是平行四边形．理由如下： ∵，，，， ∴，． ∵是的中点， ∴， ∴和都是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）①，．理由如下： 过点作，过点作，垂足分别是，，连接，，如图1所示： ∴，分别是，的中点， ∴，． 由（1）得四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， 即， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②延长到点，使得，连接，，，如图2所示： 由①，可得， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ∵， ∴，． ∵，， ∴． $$