22.2 第1课时 直接开平方法和因式分解法 课件 2025--2026学年华东师大版九年级数学上册

第22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法和因式分解法 1 学习目标 1. 学会用直接开平方法及因式分解法解简单的一元二次方程； (重点) 2. 了解用直接开平方法及因式分解法解一元二次方程的解题步骤. (重点) 试一试 解下列方程： (1)x²= 4; (2)x²－1=0; 对于题(1)，有这样的解法： 方程 x²= 4 意味着x是4的平方根，所以 x = ± ， 即 x = ±2 一般地，对于形如 x2 = a (a≥0) 的方程，根据平方根的定义，可解得x1 = ，x2 = -，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 这里得到了方程的两个根，通常也表示成 x1 = 2，x2 = -2. 这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 (2) x²－1= 0 对于题(2)，有这样的解法： 将方程左边用平方差公式分解因式，得 (x－1)(x+1) =0， 必有 x－1= 0 或 x+1= 0 分别解这两个一元一次方程，得 x1=1, x2= -1 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 因式分解法的基本步骤 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零； 将方程的左边分解因式； 根据若 A·B = 0，则 A = 0 或 B = 0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程. 做一做 试用两种方法解方程： x2－900 =0 直接开平方法： 移项，得 x2 =900 得 x2 =±30， 所以x1 = 30，x2 = -30 因式分解法： 由题意，得 (x－30) (x＋30) =0 所以 x2－30=0 或 x＋30=0 所以 x1 = 30，x2 = -30 典例精析 例1 解下列方程： (1)x²－2= 0; (2)16x²－25=0; 解：移项，得 x² = 2 直接开平方，得 x = ± 即 x1 = ，x2 = - 解：移项，得 16x² = 25 方程两边都除以16，得x² = . 直接开平方, 得 x= ± 即 x1 =，x2 = - 例2 解下列方程： (1)3x²＋2x= 0; (2) x²=3x; 解：方程左边分解因式，得x (3x＋2) = 0. 所以 x=0 或 3x＋2 = 0 即 x1 = 0，x2 = - 解：移项，得 x²－3x = 0 方程左边分解因式，得 x(x－3) = 0 所以 x = 0 或 x－3= 0 即 x1 = 0，x2 = 3 练习 解下列方程： (1)x² = 169; (2) 45－x² = 0; 解：直接开平方，得 x = ±13 即 x1 = 13，x2 = -13 解：移项，得 x² = 45 直接开平方，得 x = ± 即 x1 = 3，x2 = - 解下列方程： (3)12y²－25 = 0; (4) x²－2x = 0; 解：移项，得 12y² = 25 方程两边都除以12，得y² = 直接开平方，得 y² = ± 即 y1 = ，y2 = - 解：方程左边分解因式，得x (x－2) = 0. 所以 x=0 或 x－2 = 0 即 x1 = 0，x2 = 2 解下列方程： (5)(t－2) (t＋1) = 0; (6) x(x＋1)－5x = 0; 解： t－2 = 0 或 t＋1= 0 即 t1 = 2，t2 = -1 解：整理，得 x²－4x = 0 方程左边分解因式，得 x (x－4) = 0. 所以 x=0 或 x－4 = 0 即 x1 = 0，x2 = 4 典例精析 例3 解下列方程： (1)(x＋1)²－4 = 0; (2)12(2－x)² －9 = 0; 解：原方程可以变形为(x＋1)² = 4 直接开平方，得 x＋1 = ±2 所以 x1 = 1，x2 = -3 解：原方程可以变形为 (x－2)² = 直接开平方，得 x－2 = ± 所以 x1 = 2＋，x2 = 2－ 你知道吗？ 小张和小林一起解方程 x(3x＋2)－6(3x＋2) =0. 小张将方程左边分解因式，得 (3x＋2)(x－6)=0, 所以 3x＋2=0 或 x－6=0. 得 x1 =-，x2 = 6 小林的解法是这样的： 移项，得 x(3x＋2)=6(3x＋2) 方程两边都除以(3x＋2)，得 x=6 小林说:“我的方法多简便!” 可另一个根x = - 哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？ 小林的解法不对。原因在于等式左右两边都除以(3x-2)时，没有考虑(3x+2)的值是不是 0,当 3x+2≠0时，解得x=6；而当 3x+2=0 时，左边=右边，此时 x= - 。 应用“方程两边都乘(或除以)同一个不为零的数(或式)，方程的解不变”时，应确保所乘(除以)的数(式)不为零，以免漏解。 练习 解下列方程: (1) (x＋2)²－16 = 0 (2) (2x＋3)²－25 = 0 解：原方程可以变形为(x＋2)² = 16 直接开平方，得 x＋2 = ±4 所以 x1 = 2，x2 = -6 解：原方程可以变形为(2x＋3)² = 25 直接开平方，得 2x＋3 = ±5 所以 x1 = 1，x2 = -4 解下列方程: (3) 4(1－3x)² = 1 (4) 3(x－1)² －18 = 0 解：原方程可以变形为(3x－1)² = 直接开平方，得 3x－1 = ± 所以 x1 = ，x2 = 解：原方程可以变形为 (x－1)² =6 直接开平方，得 x－1 = ± 所以 x1 = 1＋，x2 = 1－ 课堂小结 注意：当方程的一边为 0 时，另一边容易分解成两个一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便。 因式分解法解一元二次方程的基本步骤 （1）将方程变形，使方程的右边为零； （2）将方程的左边因式分解； （3）根据若 A·B = 0，则 A = 0 或 B = 0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程. 18 课后作业 完成课后相关习题 $$