3.2.1 函数的单调性与最值同步练习-2025-2026学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

3.2.1 函数的单调性与最值 一、基础巩固 1.(多选题)下列四个函数在定义域上单调递减的是( ) A.f(x)=-2x+1 B.f(x)= C.f(x)=x+1 D.f(x)=2x2(x<0) 2.函数f(x)=-x2+2x+3的单调递减区间是( ) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,2) D.(2,+∞) 3.定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有<0,则( ) A.f(3)<f(2)<f(1) B.f(1)<f(2)<f(3) C.f(2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(2) 4.已知定义在[0,+∞)上的减函数f(x),若f(2a-1)>f,则a的取值范围是( ) A.(-∞,) B.() C.(,+∞) D.[) 5.(多选题)已知函数f(x)=x2的值域是[0,4],则它的定义域可能是( ) A.[-1,2] B.[-3,2] C.[-1,1] D.[-2,1] 6.已知f(x)是定义在区间[a,b]上的函数,那么“函数f(x)在区间[a,b]上单调递减”是“函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为f(a)”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 7.已知f(x)在定义域内是减函数,且f(x)>0,在其定义域内,下列函数为增函数的是 .(填序号) ①y=a+f(x)(a为常数);②y=a-f(x)(a为常数);③y=;④y=[f(x)]2. 8.已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)单调递增,当x∈(-∞,-2)时,f(x)单调递减,则m= ,f(1)= . 9.证明函数f(x)=-在定义域上为减函数. 二、能力提升 10.(2025甘肃酒泉期末)已知函数f(x)=的值域为D,D⊆[,+∞),则实数a的取值范围是( ) A.(1,) B.(-∞,] C.[,+∞) D.[,+∞) 11.(多选题)在下列函数中,满足“∀x1,x2∈(0,+∞),都有<0”的有( ) A.f(x)=|x-1| B.f(x)=-5x+1 C.f(x)=x2+4x+3 D.f(x)= 12.(2025甘肃金昌高一期中)已知定义在区间[0,+∞)上的函数f(x)满足对∀x1,x2∈[0,+∞),x1≠x2,都有>2.若f(1)=2 024,则不等式f(x-2 024)>2(x-1 013)的解集为( ) A.(2 023,+∞) B.(2 024,+∞) C.(2 025,+∞) D.(1 012,+∞) 13.(多选题)已知函数y=-x(x>1),则该函数的( ) A.最大值为-3 B.最小值为1 C.没有最小值 D.最小值为-3 14.已知函数f(x)=x2-3(x>0). (1)判断函数的单调性,并证明; (2)用函数观点解不等式:f(x)>0. 15.在①∀x∈[-2,2],②∃x∈[1,3]这两个条件中任选一个,补充到下面问题的横线中,并求解该问题. 已知函数f(x)=x2+ax+4. (1)当a=-2时,求f(x)在[-2,2]上的值域; (2)若 ,f(x)≥0,求实数a的取值范围. 答案 1.AD 根据一次函数的性质,可得函数f(x)=-2x+1为减函数,故A符合题意;函数f(x)=在区间(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不是单调函数,不符合题意; 根据一次函数的性质,可得函数f(x)=x+1为增函数,不符合题意; 根据二次函数的性质,可得函数f(x)=2x2在区间(-∞,0)上单调递减,符合题意. 故选AD. 2.B 易知函数f(x)=-x2+2x+3是图象开口向下的二次函数,其对称轴为x=1,所以其单调递减区间是(1,+∞). 3.A 定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有<0,则函数f(x)在R上单调递减. ∵1<2<3,∴f(3)<f(2)<f(1),故选A. 4.D 根据题意,f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,若f(2a-1)>f(),则有0≤2a-1<,解得≤a<,即a的取值范围为[),故选D. 5.AD ∵f(x)的值域是[0,4],∴0≤x2≤4,∴-2≤x≤2. ∴f(x)的定义域可能是[-1,2],[-2,1]. ∵f(-3)=9,f(x)在[-1,1]上的最大值为1, ∴[-3,2]和[-1,1]不可能是f(x)的定义域.故选AD. 6.A 若函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,则函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为f(a),充分性成立;函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为f(a),则不一定有函数f(x)在区间[a,b]上单调递减,如f(x)=x2在区间[-2,1]上不单调,最大值为f(-2),必要性不成立.故选A. 7.②③ f(x)在定义域内是减函数,且f(x)>0时,-f(x),均为增函数,故选②③. 8.-8 13 ∵函数f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减,在区间[-2,+∞)上单调递增,∴x==-2, ∴m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.∴f(1)=13. 9.证明函数f(x)=-的定义域为[0,+∞). ∀x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2, f(x2)-f(x1)=(-)-(-)=. ∵x1-x2<0,>0,∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1).∴函数f(x)=-在定义域[0,+∞)上为减函数. 10.C 当x≤1时,f(x)=x2-2x+=(x-1)2+在区间(-∞,1]上单调递减,此时f(x)∈[,+∞).当x>1时,f(x)=x+-1.若a≤1,则f(x)=x+-1在区间(1,+∞)上单调递增,此时f(x)∈(a,+∞),又函数f(x)的值域D⊆[,+∞),所以不合题意;若a>1,则f(x)=x+-1≥2-1,当且仅当x=>1时,等号成立,又函数f(x)的值域D⊆[,+∞),则解得a≥.综上所述,a≥.故选C. 11.BD 因为∀x1,x2∈(0,+∞),都有<0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减.函数f(x)=|x-1|在(1,+∞)上单调递增,故A错误; f(x)=-5x+1在(0,+∞)上单调递减,故B正确;函数f(x)=x2+4x+3的对称轴x=-2<0,故f(x)=x2+4x+3在(0,+∞)上单调递增,故C错误;函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,故D正确. 12.C 由>2,得>0.令g(x)=f(x)-2x,则>0,因此函数g(x)在区间[0,+∞)上单调递增.由f(1)=2 024,得g(1)=2 022.由f(x-2 024)>2(x-1 013),得f(x-2 024)-2(x-2 024)>2 022,即g(x-2 024)>g(1),则x-2 024>1,解得x>2 025,所以原不等式的解集为(2 025,+∞).故选C. 13.AC 因为x>1,所以1-x<0,则y=-x=+1-x-1=-(+x-1)-1. 令g(x)=+x(x>0),下面证明g(x)在(0,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=+x1-(+x2)=+(x1-x2)=. ∵0<x1<x2<1, ∴x1x2-1<0,x1-x2<0,x1x2>0, ∴>0,即f(x1)>f(x2),故函数g(x)在(0,1)上单调递减,同理可证函数g(x)在[1,+∞)上单调递增. 故知h(x)=+x-1在(1,2)上单调递减,在[2,+∞)上单调递增. 所以y=-(+x-1)-1在(1,2)上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,当x=2时,函数取得最大值为-3,没有最小值.故选AC. 14.解(1)f(x)在(0,+∞)上单调递增. 证明如下:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2, 即x1>x2>0, f(x1)-f(x2)=(-3)-(-3)=()+()=(x1-x2)(x1+x2)+=(x1-x2)(x1+x2+), 因为x1>x2>0,则x1-x2>0,x1+x2+>0, 则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)=x2-3在区间(0,+∞)上单调递增. (2)由(1)可知函数f(x)=x2-3在区间(0,+∞)上单调递增,且f(2)=0,因此由f(x)>0=f(2)可得x>2. 因此不等式f(x)>0的解集为(2,+∞). 15.解(1)当a=-2时,f(x)=x2-2x+4=(x-1)2+3, 则f(x)在[-2,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增, ∴f(x)min=f(1)=3,f(-2)=12,f(2)=4, 故f(x)的值域为[3,12]. (2)选择条件①: 若a≥4,则f(x)在[-2,2]上单调递增, ∴f(x)min=f(-2)=8-2a≥0,解得a≤4. 又a≥4,∴a=4. 若-4<a<4,则f(x)在[-2,-)上单调递减,在(-,2]上单调递增, ∴f(x)min=f(-)=4-≥0,解得-4<a<4. 若a≤-4,则f(x)在[-2,2]上单调递减, ∴f(x)min=f(2)=8+2a≥0,解得a≥-4. 又a≤-4, ∴a=-4. 综上所述,a的取值范围是[-4,4]. 选择条件②: ∵∃x∈[1,3],f(x)≥0, ∴f(x)max≥0, 即f(1)≥0或f(3)≥0, 解得a≥-5或a≥-. ∴a≥-5,即a的取值范围为[-5,+∞). 学科网(北京)股份有限公司 $$