精品解析：湖南省衡阳市常宁市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（直升班）

常宁市2025上学期期末监测2024级直升班试题卷 数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知在等差数列中，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 7 D. 10 2. 已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（ ） A. B. C. D. 4. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 6. 数列中，（），则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，在直线上存在点，使，则的最大值是（ ） A. 9 B. 11 C. 15 D. 19 8. 已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线AD，AB上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面PMG的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. 点在圆：上，点在圆：上，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线的方程为 10. 在平面直角坐标系中，已知直线（不同时为0），到直线的距离为，为直线的法向量；推广，在空间直角坐标系中，已知平面（不同时为0），到平面的距离为，为平面的法向量.若平面，点，则（ ） A. 点 B. 若为原点，则 C. 点到平面的距离为 D. 若，则 11. 在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于4，点的轨迹为曲线，则下列命题中正确的个数是（ ） A. 曲线关于x轴对称； B. 的最大值为2； C. 的最小值为； D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 抛物线的焦点坐标是______． 13. 已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆x2+y2=4上运动，则|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为_________ 14. 已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则的最小值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在等比数列中，，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； 16. 已知三个顶点分别为，，. （1）求边上的高线长； （2）过内一点有一条直线与边，分别交于点，，且点平分线段，求直线的方程. 17. 如图，三棱柱中，，. （1）求证：平面； （2）直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 如图1，设半圆的直径为 ，点、三等分半圆，点、分别是、的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题： （1）求圆锥中线段的长； （2）求四面体的体积； （3）求三棱锥与三棱锥公共部分的体积． 19. 已知动点M到直线的距离是M与点距离的倍，记M的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）动直线与C交于两点A，B，曲线C上是否存在定点P，使得直线的斜率和为零？若存在求出点P坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常宁市2025上学期期末监测2024级直升班试题卷 数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知在等差数列中，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 7 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质计算即得. 【详解】因为，所以. 故选：D. 2. 已知双曲线：的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的关系求，即可得其渐近线方程. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，可得， 故双曲线的渐近线方程为． 故选：A. 3. 已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为N为BC的中点，则，所以，， 则，因此，． 故选：D 4. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，结合斜率和倾斜角的关系分析求解. 【详解】当时，方程为，倾斜角为 当时，直线的斜率， 因为，则， 所以； 综上所述：线的倾斜角的范围是. 故选：C． 5. 斜率为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】联立直线与抛物线的方程，再根据抛物线的焦点弦公式求解即可. 【详解】由题意，抛物线的焦点为，， 故斜率为且过点的直线方程为， 设，， 联立，整理得， 根据韦达定理得， 所以. 故选：B. 6. 数列中，（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】探索数列奇数项的特点，可求的值. 【详解】令，则. 令，则， 所以. 又，所以，所以. 故选：A 7. 已知，，在直线上存在点，使，则的最大值是（ ） A. 9 B. 11 C. 15 D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】由题意分析可得以线段为直径的圆的方程，由于，得到，即可求出答案. 【详解】设以线段为直径的圆为圆，则圆心为，半径， 故圆的方程为. 因为， 所以点在圆上.因为点在直线l上， 所以圆心到直线的距离， 解得. 故选：B. 8. 已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线AD，AB上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面PMG的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，根据，得到，从而得到，再由向量模的坐标表示求出的最小值及此时、的值，最后利用空间向量法求出点到平面的距离. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则，， 设，，所以，， 因为，所以，即， 所以，又， 所以， 当且仅当时取等号，此时， 所以，，， 设平面PMG的法向量为，所以，取， 所以当取得最小值时，点到平面PMG的距离. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. 点在圆：上，点在圆：上，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的最大值为7 C. 两个圆心所在的直线斜率为 D. 两个圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】先求出两个圆的圆心坐标和半径，根据圆心距可得两圆相离，从而求得两圆上动点的距离最值，计算直线斜率公式判断各个选项； 【详解】对于A、B选项：由题意得：，半径为1， ：，，半径为1， 圆心距为，又点在圆上，点在圆上， ，，故A错误，B正确； 对于C选项：两个圆心所在直线斜率为，C正确； 对于D选项：圆心距，所以无公共弦，D错误； 故选：BC． 10. 在平面直角坐标系中，已知直线（不同时为0），到直线的距离为，为直线的法向量；推广，在空间直角坐标系中，已知平面（不同时为0），到平面的距离为，为平面的法向量.若平面，点，则（ ） A. 点 B. 若为原点，则 C. 点到平面的距离为 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】把代入平面方程计算可判断A；求得平面法向量，可得与不共线判断B；利用点平面的距离公式求得点到平面的距离判断C；求得判断D. 【详解】对于A，因为，所以点，故A正确； 对于B，由平面，可得平面的法向量为， 又，，所以，又， 所以与不共线，故不垂直于平面，故B错误； 对于C，由点到平面的距离公式可得点到平面的距离，故C错误； 对于D，由，，所以， 所以，所以， 又，所以，所以，故D正确. 故选：AD. 11. 在平面直角坐标系中，动点到两个定点，的距离之积等于4，点的轨迹为曲线，则下列命题中正确的个数是（ ） A. 曲线关于x轴对称； B. 的最大值为2； C. 的最小值为； D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知，代入点，即可判断A；利用换元法及二次函数的性质判断B；利用基本不等式判断C；结合两点间的距离公式及B，即可判断D. 【详解】解：由已知， 对于A，代入点， 则，故A正确； 对于B，化简， 可得， 即， 又， 即，解得， 即， 设，则，， 所以， 即，故B错误； 对于C，则， 当且仅当，即点时，等号成立，故C错误； 对于D，因为， 结合B可知，， 即，D正确. 故选：AD． 【点睛】难点点睛：本题的难点是在选项B中，利用换元法及二次函数的性质求解范围. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 抛物线的焦点坐标是______． 【答案】 【解析】 【详解】抛物线即， ，所以焦点坐标为. 13. 已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆x2+y2=4上运动，则|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为_________ 【答案】88 【解析】 【详解】试题分析：∵点A（-2，-2），B（-2，6），C（4，-2），∴设P（a，b），则 |PA|2+|PB|2+|PC|2=（a+2）2+（b+2）2+（a+2）2+（b-6）2+（a-4）2+（b+2）2=3a2+3b2-4b+68， ∵点P在圆x2+y2=4上运动，∴a2+b2=4，a2=4-b2≥0，所以b2≤4，∴-2≤b≤2． 把a2=4-b2代入3a2+3b2-4b+68=12-3b2+3b2-4b+68=-4b+80， ∵-2≤b≤2，所以当b=-2时，|PA|2+|PB|2+|PC|2取得最大值是88 考点：直线与圆的位置关系 14. 已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，令在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出，由此能求出的最小值． 【详解】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为， 令在双曲线的右支上， 由双曲线的定义， 由椭圆定义， 可得，， 又， ， 可得， 得， 即， 可得， 则 ， 当且仅当，上式取得等号， 可得的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，主要是离心率，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在等比数列中，，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的概念，建立方程组，求得公比与首项，可得答案； （2）根据对数的运算律，可得数列的通项公式，结合等差数列的概念，可得答案； 【小问1详解】 设等比数列的公比为，则， 化简可得，整理可得， 由，则，由方程解得， 由，则. 由数列是以为首项，以为公比的等比数列，则. 【小问2详解】 由，则，， 由数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则. 16. 已知三个顶点分别为，，. （1）求边上的高线长； （2）过内一点有一条直线与边，分别交于点，，且点平分线段，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线AB的方程，利用点到直线距离公式求出点C到直线AB的距离可得答案； （2）求出直线AC的方程，设，则，根据点M，N分别在直线AB，AC上，可得，再利用点斜式方程可得答案. 【小问1详解】 ，，， 直线的斜率， 直线的方程为化为， 点C到直线的距离， 即边上的高线长为； 【小问2详解】 由题知，直线的斜率， 直线的方程为，即， 设，因为点平分线段，则， ∵点M，N分别在直线，上， ，解得， 直线l的斜率， 直线l的方程为，即． 17. 如图，三棱柱中，，. （1）求证：平面； （2）直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 在中，，， 由余弦定理可得， 则，解得， 由，则在中，， 因为，平面，， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理以及勾股定理，可得线线垂直，结合线面垂直判定定理，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，利用线面角的向量公式建立方程，求得点的坐标，根据面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）及，则两两相互垂直，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图： 设，由（1）知， 则，，，， 则，，， 设平面的一个法向量，则，可得， 令，则，，所以平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 则，解得，则， 在三棱柱中，，则， 设平面的一个法向量， 则，可得，令，则，， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则. 18. 如图1，设半圆的直径为 ，点、三等分半圆，点、分别是、的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题： （1）求圆锥中线段的长； （2）求四面体的体积； （3）求三棱锥与三棱锥公共部分的体积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出圆锥的底面圆半径，再利用正弦定理求出，进而可得出答案； （2）根据求解即可； （3）连接交于点，连接并延长交于点，由此得到三棱锥与三棱锥公共部分即为三棱锥，由题得，则，得解. 【小问1详解】 在图中，设圆锥的底面圆半径为，则，解得. 因为在图1中，点、三等分半圆， 所以在图2中，点、为圆锥的底面圆周的三等分点，则为等边三角形， 所以，所以. 又因为点、分别是、的中点， 所以. 【小问2详解】 因为，圆锥的高， 所以， 所以， 即四面体的体积为. 【小问3详解】 连接交于点，连接并延长交于点， 则三棱锥与三棱锥公共部分即为三棱锥. 因为点、分别是、的中点， 所以为的中点，且， 所以， 所以三棱锥与三棱锥公共部分的体积为. 19. 已知动点M到直线的距离是M与点距离的倍，记M的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）动直线与C交于两点A，B，曲线C上是否存在定点P，使得直线的斜率和为零？若存在求出点P坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，定点或. 【解析】 【分析】(1)根据给定条件列出方程，再化简作答. (2)把直线l与曲线C的方程联立，设出点P的坐标，结合韦达定理、斜率坐标公式计算，再借助恒成立列式计算作答. 【小问1详解】 设动点M的坐标为，由已知得，化简整理得， 所以曲线C的方程为. 【小问2详解】 由已知与联立，消去y整理得：， 由已知得，且，解得： 设，则，， 假定曲线C上存在定点使得直线的斜率和为零，即， 则，整理得， 则有，整理得：， 因当时恒有成立，则， 解得 或，显然点或在椭圆C上， 所以曲线C上存在定点或，使得直线的斜率和为零. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $