精品解析：福建省南平市2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试题

南平市2024-2025学年高二下学期期末质量检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某物体做直线运动，其位移关于时间的函数是，则该运动物体在时的瞬时速度为（ ） A. 50 B. 60 C. 35 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】对已知位移函数求导，则导数为瞬时速度函数，即位移关于时间的导数在特定时刻的值，代入计算即可. 【详解】对位移函数求导得，代入得 故选：B. 2. 甲班1人、乙班2人、丙班3人站成一排拍照，要求同班的同学相邻，则不同的排法总数为（ ） A. 36 B. 30 C. 72 D. 60 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理结合排列数计算即可. 【详解】三个班级的同学先整体排，同班的同学再内部调整，共有种排 法. 故选：C. 3. 一批零件共有10个，其中有2个不合格，随机抽取3个零件进行检测，则至少取到1件不合格的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法1：由超几何分布中求解；解法2：由超几何分布中求解. 【详解】设表示抽取的3个零件中不合格品数，则服从超几何分布，且， ，.因此，分布列为，. 解法1：. 解法2：. 故选：A. 4. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.7 B. 0.65 C. 0.35 D. 0.15 【答案】C 【解析】 【分析】正态分布的计算，利用对称思想解题. 【详解】. 故选：C. 5. 已知函数，若曲线在点处的切线方程，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据切点坐标满足原函数，得出，把切点坐标代入原函数得出，对原函数求导，根据切线斜率等于导数在该点得值计算出，从而得出. 【详解】把代入切线方程，所以切点坐标为，即. 代入函数. 求导得：，又切线斜率为2，所以 . 所以 故选：A. 6. 将4人分配到2个学校实习，每人分配到1个学校，每个学校至少1人，则不同的分配方案的种数为（ ） A. 12 B. 14 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论所有的排列组合的方式，最后相加. 【详解】先将4人分成2组，每组2个人或者一组3人一组1人， 若每组2个人，分别分配给2个学校，则有种分法， 若一组3人一组1人，则有种分法， 因此不同的分配方案共14种. 故选：B. 7. 抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（六个面上的数字分别为1，2，3，4，5，6），如果抛掷后两枚骰子向上一面的点数不相同，则继续抛掷，直至两枚骰子向上一面的点数相同时停止.那么抛掷3次后停止的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】抛掷3次后停止，即第1、2次所得点数不同，且第3次所得点数相同. 因为每次抛掷之间是相互独立的， 所以每次抛掷两枚骰子向上一面的点数相同概率都为，点数不同的概率都为， 所以抛掷3次后停止的概率为. 故选：D. 8. 如图，用，，，四个不同元件连接成一个系统，当和正常工作且和至少有一个正常工作时系统正常.已知，，，正常工作的概率分别为，，，，则在系统正常工作条件下，，同时正常工作的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率求概率公式结合相互独立事件的乘法公式即可求解. 【详解】设事件为“系统正常工作”，事件为“和同时正常工作”，则 ， . 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 经验回归直线必过样本数据的中心点 B. 当样本相关系数时，两个变量负相关 C. 甲、乙两个回归模型的决定指数分别为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好 D. 残差的散点图所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高 【答案】AC 【解析】 【分析】根据回归直线方程的性质与相关系数的概念及相关指数的概念判断即可； 【详解】对于A，线性回归直线必过样本数据的中心点，所以A正确； 对于B，当相关性系数时，两个变量正相关，所以B不正确； 对于C，甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好，所以C正确； 对于D，残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高，所以D不正确. 故选：AC. 10. 如图，在平面直角坐标系中，设，从集合中任取两个不同的点，用随机变量表示他们之间的距离，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于ABD，利用古典概型求概率，从而得到分布列及期望，对于C，根据概率加法公式即可. 【详解】依题意，的可能取值为， 则，，， ，， ， . 故选：ABC. 11. 甲、乙两人进行比赛，每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为.现比赛局，若约定甲获胜的局数多于乙，则甲赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题目中概率的定义可直接计算出A错误，B正确，结合二项式系数和公式化简计算可得C正确，求出的单调性即可判断D正确. 【详解】对于A，若比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局， 所以，故A不正确； 对于B，若比赛6局甲获胜，则甲在6局比赛中至少胜4局， 所以，故B正确； 对于C，若比赛局甲获胜，则甲在局比赛中至少胜局， 所以 ，故C正确； 对于D，因为， 又， 故，所以递增，所以当时，取得最小值为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙两人同时抢答一道问题，他们抢到答题机会是等可能的.已知甲正确回答的概率为，乙正确回答的概率是，则这道问题被正确回答的概率是________. 【答案】## 【解析】 【分析】记事件“甲抢答这道题”，事件“乙抢答这道题”，记事件“这道题被答对”，由已知可知，，，，再由全概率公式计算即可. 【详解】记事件“甲抢答这道题”，事件“乙抢答这道题”，记事件“这道题被答对”， 则，，且，， 由全概率公式可得. 故答案为：. 13. 已知，则________；被4除的余数为________. 【答案】 ①. 1 ②. 0 【解析】 【分析】利用赋值法求出；利用二项式定理可得，再按展开求出除以4的余数即可.. 【详解】令，得； 令，得， 即. 而 ， 所以被4除的余数为1，即被4除的余数为0. 故答案为：1；0 14. 定义在上的可导函数，满足，且，若关于的方程有且只有1个实数根，则实数的取值范围是________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用导数运算法则求解出原函数，再利用求导思想来判断函数的单调性，还是利用导数来求解函数过原点的切线，最后通过数形结合，可得参数的取值范围. 【详解】由于，于是得到（为常数）， 所以，而，解得， 于是，. 进而得到的图像，如图所示， 动态做出直线，易知： 当时，原方程无解； 当时，原方程有唯一解； 当时，设直线与相切于点， 则在点切线方程为：， 由切线过原点可得：， 此时， 由于图可得：当时，直线与曲线仅有1个交点. 综上，实数的取值范围是或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 4名大学生参加实习活动.（以下小题结果用数字作答） （1）有项不同的工作，每人安排其中一项工作，有多少种不同安排方法？ （2）有项不同工作，每人安排其中一项工作，每项工作只安排一人，有多少种不同安排方法? （3）将人安排到国庆七天假期值班，每天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，有多少种不同的安排方法? 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用乘法原理即可求解； （2）根据题意利用排列数公式即可求解； （3）根据已知条件利用组合数公式求解即可. 【小问1详解】 每人各有种选择，每人都安排一项工作的不同方法数为； 小问2详解】 依题意得； 【小问3详解】 甲两天，乙三天，丙和丁各一天，所以不同的安排方法有种. 16. 已知函数在处取得极值4. （1）求，的值； （2）求函数在的最大值和最小值. 【答案】（1）， （2）最大值为4，最小值为0 【解析】 【分析】（1）由题意，求出，检验即可得解； （2）求导得函数在上的单调性，比较极值与端点函数值即可得解. 【小问1详解】 ，则， 因为函数在处取得极值4， 所以， 解得， 经检验，，符合题意. 【小问2详解】 由（1）可得，， 令，解得或； 令，解得； 所以在，上单调递增，在上单调递减， 又，，，， 故，. 17. 用甲、乙两款AI模型进行智能作图，甲、乙每次智能作图达到优质效果的概率分别为，.现用甲、乙模型各自独立地智能作图3次，每次作图前后之间互不影响.记甲、乙作图达到优质效果的次数分别为，. （1）求随机变量的分布列、数学期望和方差； （2）求事件“”的概率. 【答案】（1）分布列见解析，， （2） 【解析】 【分析】（1）随机变量的可能取值为0，1，2，3，然后根据相互独立事件的概率逐一求出每个值对应的概率，即可得分布列，进而求出数学期望和方差； （2）事件“”的情况可分为四类：，；，；，；，.先根据独立重复试验的概率分别求得相应的概率，再相加即可得事件“”的概率. 【小问1详解】 由题可知随机变量服从二项分布：， ， ， ， . 所以随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 均值为，. 【小问2详解】 由题可知“”的情况可分为四类： ①，时，， ②，时，， ③，时，， ④，时，， 所以. 18. 新能源汽车是我国重要的战略新兴产业.某研究机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的经验回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为. （1）该机构调查该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如表所示，依据小概率值的独立性检验，能否认为购买新能源汽车与车主性别有关联? 性别 购买新能源汽车 购买非新能源汽车 总计 男性 10 35 45 女性 20 25 45 总计 30 60 90 （2）若，求与的样本相关系数，并据此判断新能源汽车销量与年份的相关性强弱. 参考公式： （i）经验回归方程：，其中，； （ii）样本相关系数：，若，则可判断与线性相关性很强； （iii），其中. 附表： 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10828 【答案】（1）认为购买新能源汽车与车主性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 （2），新能源汽车销量与年份的相关性较强 【解析】 【分析】（1）计算卡方，对比临界值即可得解； （2）计算出相关系数，然后和0.9比较大小即可作出结论. 【小问1详解】 零假设为：购买新能源汽车与车主性别相互独立， 即购买新能源汽车与车主性别无关.， 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为购买新能源汽车与车主性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【小问2详解】 相关系数为， ， 故与线性相关较强. 19. 已知函数. （1）若，，求函数的极值； （2）若，当，求证：，； （3）若，设，若，，，求实数的取值范围. 【答案】（1）极大值为1，无极小值 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求导，利用导数讨论的单调性，再确定极值. （2）方法一：由题意，得，令，则问题转化为证明，利用函数的导数研究函数的单调性可证. 方法二：设，则，原不等式等价于恒成立. 可通过导数求函数的最小值得证. （3）设在上的最小值为，在上的最小值为，条件，，都有等价于，通过导数分别求函数和的最小值即可求解. 【小问1详解】 若，，，， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 所以无极小值，且当时，取得极大值 【小问2详解】 解法1：若，， 令，要证，只要证， 设， ，当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以，命题得证. 解法2：由题可知，对任意，恒成立. 等价于在恒成立. 所以， 即在恒成立. 设，则， 所以原不等式等价于恒成立. 设，得. 当时，令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减 所以在时，取到极小值，也是最小值，且最小值为. 因为，所以，即对任意，恒成立. 【小问3详解】 解法1：设，则， 设，则， 所以在区间上单调递增，因为，所以， 所以在上单调递增， 所以，即， 又时，， 所以在上恒成立. 即在上的最小值. 由得，， 令，则， 设，， 当时，则， 当时，，不合题意，舍去. 当时，当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的最小值为，即的最小值， 故要使得若，，都有，只需 解得，所以实数范围为. 解法2：由，则有 令， ， 因为所以，在上为增函数， 所以，即，所以在上为增函数， 则，即， 所以，，则有恒成立， 即，所以， 令， 则，，， 令，， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以, 所以实数范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南平市2024-2025学年高二下学期期末质量检测 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某物体做直线运动，其位移关于时间的函数是，则该运动物体在时的瞬时速度为（ ） A. 50 B. 60 C. 35 D. 40 2. 甲班1人、乙班2人、丙班3人站成一排拍照，要求同班的同学相邻，则不同的排法总数为（ ） A. 36 B. 30 C. 72 D. 60 3. 一批零件共有10个，其中有2个不合格，随机抽取3个零件进行检测，则至少取到1件不合格的概率为（ ） A B. C. D. 4. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.7 B. 0.65 C. 0.35 D. 0.15 5. 已知函数，若曲线在点处的切线方程，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 将4人分配到2个学校实习，每人分配到1个学校，每个学校至少1人，则不同的分配方案的种数为（ ） A 12 B. 14 C. 20 D. 24 7. 抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（六个面上的数字分别为1，2，3，4，5，6），如果抛掷后两枚骰子向上一面的点数不相同，则继续抛掷，直至两枚骰子向上一面的点数相同时停止.那么抛掷3次后停止的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，用，，，四个不同元件连接成一个系统，当和正常工作且和至少有一个正常工作时系统正常.已知，，，正常工作的概率分别为，，，，则在系统正常工作条件下，，同时正常工作的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 经验回归直线必过样本数据的中心点 B. 当样本相关系数时，两个变量负相关 C. 甲、乙两个回归模型的决定指数分别为0.88和0.80，则模型甲的拟合效果更好 D. 残差的散点图所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高 10. 如图，在平面直角坐标系中，设，从集合中任取两个不同的点，用随机变量表示他们之间的距离，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 甲、乙两人进行比赛，每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为.现比赛局，若约定甲获胜的局数多于乙，则甲赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为，则（ ） A. B. C. D. 最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙两人同时抢答一道问题，他们抢到答题机会是等可能的.已知甲正确回答的概率为，乙正确回答的概率是，则这道问题被正确回答的概率是________. 13. 已知，则________；被4除的余数为________. 14. 定义在上的可导函数，满足，且，若关于的方程有且只有1个实数根，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 4名大学生参加实习活动.（以下小题结果用数字作答） （1）有项不同的工作，每人安排其中一项工作，有多少种不同安排方法？ （2）有项不同的工作，每人安排其中一项工作，每项工作只安排一人，有多少种不同安排方法? （3）将人安排到国庆七天假期值班，每天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，有多少种不同的安排方法? 16. 已知函数在处取得极值4. （1）求，的值； （2）求函数在的最大值和最小值. 17. 用甲、乙两款AI模型进行智能作图，甲、乙每次智能作图达到优质效果的概率分别为，.现用甲、乙模型各自独立地智能作图3次，每次作图前后之间互不影响.记甲、乙作图达到优质效果的次数分别为，. （1）求随机变量的分布列、数学期望和方差； （2）求事件“”的概率. 18. 新能源汽车是我国重要的战略新兴产业.某研究机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的经验回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为. （1）该机构调查该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如表所示，依据小概率值的独立性检验，能否认为购买新能源汽车与车主性别有关联? 性别 购买新能源汽车 购买非新能源汽车 总计 男性 10 35 45 女性 20 25 45 总计 30 60 90 （2）若，求与样本相关系数，并据此判断新能源汽车销量与年份的相关性强弱. 参考公式： （i）经验回归方程：，其中，； （ii）样本相关系数：，若，则可判断与线性相关性很强； （iii），其中. 附表： 0.10 0.05 0.010 0.001 2706 3.841 6.635 10.828 19. 已知函数. （1）若，，求函数的极值； （2）若，当，求证：，； （3）若，设，若，，，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$