精品解析： 贵州省贵阳市第十九中学2024-2025学年下学期6月阶段性测试 九年级 数学

贵阳市第十九中学2024-2025学年度第二学期6月阶段性测试九年级数学 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 以下选项中，比1小2的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解答的关键．题目要求找出比1小2的数，即计算1减去2的结果． 【详解】解：根据题意，“比1小2”即进行减法运算：． 故选：B． 2. 的处理器采用先进封装技术，其内部某微型元件的直径为米．数据“”用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，将用科学记数法表示，需满足形式为（）．通过移动小数点确定和的值． 【详解】解： 故选：A． 3. “鼓舞”是国家级非物质文化遗产之一，左图是“鼓舞”人偶模型，其中“鼓”的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三视图，根据从上面看到的图形是俯视图进行解答即可． 【详解】解：根据题意，可知俯视图为 故选：D． 4. 如图，在同一平面内，将三角板顶点摆放在直尺下沿线上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平角的定义得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵直尺的两边平行 ∴ 故选：B． 5. 在端午假期中，“黔货出山”旅游商店第一天售出件吉祥物，第二天的销售量比第一天的2倍少1件，则代数式“”表示的意义是（ ） A. 第二天售出吉祥物的数量 B. 第二天比第一天多售出吉祥物的数量 C. 两天共售出吉祥物的数量 D. 第二天比第一天少售出吉祥物的数量 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了代数式的意义，根据题意，分别表示两天的销售量并求和，确定代数式“”的实际意义． 【详解】解： 第一天销售量为件．第二天销售量为件． 将两天的销售量相加，即 ∴因此，代数式“”表示两天共售出吉祥物的数量， 故选：C． 6. 小星计划利用假期，从“黄果树”“小七孔”“西江苗寨”中随机选择一处景点游览，则选中“黄果树”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率；根据概率的基本公式，计算选中“黄果树”的概率．总共有3个等可能的选项，选中“黄果树”是其中一种情况． 【详解】解：从“黄果树”“小七孔”“西江苗寨”中随机选择一处景点游览，选中“黄果树”的概率为， 故选：B． 7. 如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点A，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数求得的坐标，然后根据图象，写出直线在直线的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：当时，， 解得， ∴， 当时，， 所以不等式的解集为． 8. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等且平分，对边平行且相等，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； B、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； C、矩形的对角线相等且平分，故，原结论一定正确，符合题意； D、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； 故选C． 9. 用代入消元法解方程组时，将①代入②，得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查代入消元法的应用，将方程①中的y表达式代入方程②即可求解． 【详解】解：将方程①代入方程②中，替换方程②中的， 得：， 展开后为：， 故选：D． 10. 已知点到两条坐标轴的距离相等，则点的坐标为( ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离；根据点到坐标轴的距离相等，得到横纵坐标绝对值相等的方程，解方程求出的值，再代入得到点的坐标，即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为，到两坐标轴的距离相等， ∴， 解得：或 当时，，，则点的坐标为 当时，，，则点的坐标为 故选：A． 11. 如图1，以直角三角形的三边为边长制作正方形纸片，它们的面积分别记为．现将正方形纸片放置在最大的正方形内，如图2，阴影部分面积记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据阴影部分的面积等于，结合勾股定理得出，即可求解． 【详解】解：∵以直角三角形的三边为边长制作正方形纸片，它们的面积分别记为． ∴ 又∵， ∴， 故选：C． 12. 如图，平行四边形ABCD的周长为16，∠B＝60°，设AB的长为x，平行四边形ABCD的面积为y，则表示y与x的函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作AE⊥BC于点E，构建直角△ABE，通过解该直角三角形求得AE的长度，然后利用平行四边形的面积公式列出函数关系式，结合函数关系式找到对应的图象. 【详解】如图，过点A作AE⊥BC于点E， ∵∠B＝60°，设边AB的长为x， ∴AE＝AB•sin60°＝x． ∵平行四边形ABCD的周长为12 ∴BC＝（12﹣2x）＝6﹣x， ∴y＝BC•AE＝（6﹣x）×x＝﹣x2+x（0≤x≤6） 则该函数图象是一开口向下的抛物线的一部分，观察选项，C选项符合题意． 故选C． 【点睛】考查了动点问题的函数图象．掌握平行四边形的周长公式和解直角三角形求得AD、BE的长度是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，先提公因数，然后根据平方差公式进行计算即可求解，也可直接计算． 【详解】解： 故答案为：． 14. 如图，小颖在10×10的方格纸中绘制图形“19”，为计算它的面积，小颖将米粒随机撒在方格纸上，经过大量重复试验，发现米粒落在“19”区域的频率稳定在常数附近，由此可估计图形“19”的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，设图形“19”的面积是，由题意可得，解之即可求解，解题的关键是理解大量重复试验中事件发生的频率即是事件发生的概率． 【详解】解：设图形“”的面积是， 由题意可得，， 解得， 由此可估计图形“”的面积为 故答案为：． 15. 已知一元二次方程的两根分别为和，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．一元二次方程的两根为，则，，据此进行求解即可． 【详解】解：∵方程的两根分别为和， ∴ ∴ 故答案为：． 16. 如图，在等腰直角三角形中，，，点为边上一点，，连接，将绕点逆时针旋转至，连接交于点则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，则，进而证明，根据，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转至， ∴，， ∴是等腰直角三角形，则， ∵在等腰直角三角形中，，， ∴，， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 解得： 故答案为：． 三、解答题 17. （1）计算：； （2）图是小星同学进行分式化简的过程， 请认真阅读并完成相应任务： ①小星同学的化简过程从第______步开始出现错误； ②请写出正确的化简过程，并从，，中选择合适的数代入求值． 化简：． 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 【答案】（1）；（2）①三；②； 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，然后合并即可； （2）根据分式的运算法则即可求解； 根据分式的运算法则化简，再根据分式有意义的条件，将字母的值代入，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）第三步开始出现错误； 故答案为：三； ． ∵ ∴当时，原式 18. 贵州拥有独特的高原山地气候，孕育了丰富多样且品质优异的水果资源．为保障水果线上销售渠道更通畅，某水果种植户计划从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．因此，该种植户收集了10家水果种植户对两家公司在配送速度和服务质量方面的评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表： 项目统计快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 分 分 分 乙 分 分 分 （1）表格中的______；圆心角的度数为______； （2）综合上表中的统计量，你认为该水果种植户应选择______家快递公司； （3）在甲公司配送服务质量获得7分的4位快递员（3名男生，1名女生）中，抽取2人进行配送速度调查，请用列表或者画树状图的方法计算恰好抽到两名男生的概率． 【答案】（1）， （2）甲 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，方差，平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析． （1）根据平均数的定义即可求解，用乘7分的占比，即可求解； （2）根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可； （3）画树状图列出所有等可能的结果数，找出选中的两人均是男生的结果数，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：乙公司7分的占比为， 所以平均数为， 扇形统计图中圆心角的度数为； 故答案为：8，； 【小问2详解】 解：该农产品种植户应选择甲公司（答案不唯一），理由如下： 配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， 甲更稳定， 应选择甲公司； 故答案为：甲； 【小问3详解】 解：树状图如图， 总共有12种等可能情况，满足两名男生的有6种情况，； ∴恰好抽到两名男生的概率为 19. 如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理等知识；正确的识别图形是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到且，再证，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由直角三角形斜边上的中线性质得，再由勾股定理得，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， 由（1）可知，， ， 在中，， ． 20. 2025年全民健身热潮持续升温，为丰富学生课余生活，增强学生体质，我校今年采购了一批体育器材．其中篮球的单价比足球的单价多元，用元购买的篮球数量与用元购买的足球数量相等． （1）求我校今年购买篮球和足球的单价各是多少元？ （2）若明年足球的单价比今年提高，篮球的单价与今年相同，我校明年计划再购买这两类球共个，且购买足球和篮球的总费用不超过元，求我校明年至少要购买多少个足球？ 【答案】（1）篮球单价为 元，足球单价为 元 （2）我校明年至少要购买 个足球 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找到等量关系和不等关系是解题的关键； （1）设足球的单价为元，则篮球的单价为元；根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）设购买足球 个，则购买篮球个，根据题意列出不等式，解不等式求最小整数解，即可求解． 【小问1详解】 设足球的单价为元，则篮球的单价为元；根据题意， 解得：，经检验是原方程的解，且符合题意， ∴篮球单价为元 【小问2详解】 设购买足球 个，则购买篮球个，根据题意得， 解得： ∴足球数量至少为 个 答：我校明年至少要购买 个足球 21. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，直线交轴于点，交轴于点，过点作轴于点，若． （1）求和的值； （2）点是轴上一点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出符合题意的点的坐标． 【答案】（1）， （2）或或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出，然后分；两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴， ∵轴，， ∴点P的纵坐标为9， 把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得． 【小问2详解】 解：对于，当时，， ∴， ∴， 当时， ∴D的坐标为或，即或； 当时， 设， 则， 解得或（不符合题意，舍去） ∴D的坐标为， 综上，D的坐标为或或． 22. 项目式学习 【项目主题】探秘路灯：太阳能电池板离地面有多高？ 【项目背景】学完《锐角三角函数》后，数学兴趣小组计划运用刚学到的三角函数知识，破解太阳能路灯电池板离地高度的秘密，让数学真正“活”起来！ 【提出问题】太阳能路灯电池板离地面高度的测量． 【实践任务】 课题太阳能路灯电池板离地面高度的测量 建立模型 如图所示，已知测角仪的高度为米，在测点处安置测角仪，测得点的仰角为，在与点相距2米的测点处安置等高的测角仪，测得点的仰角为，点在同一条直线上． 解决问题 计算太阳能路灯电池板距离地面的高度． （1）设米，用含的代数式表示的长为______米； （2）求电池板离地面的高度的长．（结果精确到米）（参考数据， 【答案】（1）；（2）电池板离地面的高度的长约为米 【解析】 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用解三角形的方法是解题关键． （1）延长交于点，根据等腰三角形的判定和性质得出为等腰直角三角形，设米，则米， （2）在中，根据正切函数的定义求解即可． 【详解】解：（1）延长交于点， 由题意得：米， 设米， ，， 为等腰直角三角形， 米， 米， （2）在中，， 解得， （米）. 电池板离地面的高度的长约为米． 23. 如图，在中，以上一点为圆心，长为半径作圆，连接交于点，连接并延长交于点与相切于点． （1）求证：是切线； （2）当时，求的半径； （3）若是中点，直接写出，与的数量关系． 【答案】（1） 证明：连， 在和中， ， ∴≌， ， 与相切， ， ， ， ， 为半径， 是切线； （2） （3） 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，切线的判定与性质，直角三角形的性质，熟记全等三角形的判定定理和性质定理、切线的判定定理及锐角三角函数是解本题的关键． （1）连，证明≌，由全等三角形的性质得出，由切线的性质得出，则可得出，可得出结论； （2）设，则，求出，得出，设，则，得出，求出则可求出答案； （3）连接，，证≌，可得，可得，可证，可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴设，则， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 半径为； 【小问3详解】 解：，理由如下： 连接，， 由（1）可知：， ，， 又，， ≌， ，， ， ， ， 点是中点，， ， ， ， ， ， ． 24. 纸飞机承中华千年飞天梦，形溯纸莺竹骨之巧．纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段．其中纸飞机上抛和下降的飞行轨迹可看作是一段抛物线，滑行的飞行轨迹是一条线段，滑行距离受滑行比（若纸飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为米，则滑行比为）的影响．如图所示，小明玩纸飞机，其起抛点的高度为米，当纸飞机的水平飞行距离为米时达到最大高度米． （1）求这条抛物线的表达式； （2）小明前方距离小明米，有一堵米高的墙，若纸飞机能顺利飞过这堵墙（不考虑墙的厚度，且不包括端点），求的取值范围； （3）小明根据多次实验，得到其折叠的纸飞机的滑行比为，纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能使纸飞机整个飞行阶段的水平飞行距离至少为米？（受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超过米）． 【答案】（1） （2） （3）当纸飞机开始滑行时的高度为米时，才能使纸飞机整个飞行阶段的水平飞行距离至少为米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意得抛物线经过且顶点坐标为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）将代入解析式求出x的值即可得到答案； （3）设滑行高度为米，则水平滑行的距离为米，根据题意列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得抛物线经过，且顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 【小问2详解】 解：将代入解析式得：， 解得：或， ∴； 【小问3详解】 解：设滑行高度为米，则水平滑行的距离为米， 当时，解得或 ∴飞行的距离为米， ∴， ∴， 解得：（或不是方程的根，且不合题意舍去）， ∴当纸飞机开始滑行时的高度为米时，才能使纸飞机整个飞行阶段的水平飞行距离至少为米． 25. 综合与实践 在矩形中，，点在射线上，将沿翻折，使点落在点处． （1）【初步探究】如图①，若点在线段上，点恰好落在对角线上，则的长为______； （2）【深入思考】如图②，若点在射线上，点在矩形外，且，在图中用无刻度的直尺和圆规作出折痕（不写作法，保留痕迹），并求的长； （3）【拓展提升】如图③，若点在线段上，点是线段的三等分点，将沿翻折，点对应点为点，若三点共线，求出的长． 【答案】（1） （2）如图所示为所求， 设的垂直平分线交于点F，交于点G，连接， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理得：，再由折叠的性质得，再根据即可得出答案； （2）先作的垂直平分线，再以为圆心为半径画弧交的垂直平分线于点E，连接，易得，最后作的角平分线交射线于点Q即可；设的垂直平分线交于点F，交于点G，连接，易求，利用勾股定理求出，得到，证明，得到，设，则，由，建立方程求解即可； 延长到，连接，使得是正方形，延长交于点H，连接，求出，，证明，推出，得到三点共线，分和两种情况讨论，利用勾股定理建立方程，求出，再根据，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：在矩形中，，，， 由勾股定理得： ∵点E落在对角线上， 由折叠的性质得 ∴； 【小问2详解】 解：如图所示为所求， 设的垂直平分线交于点F，交于点G，连接， ∵垂直平分，， ∴，， ∵， ∴四边形都是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，即， 解得：， ∴； 【小问3详解】 延长到，连接，使得是正方形，延长交于点H，连接，则，， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， 如图，当时，则，， 设，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 当时，如图，则，， 设，则， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形中的折叠问题，线段垂直平分线的尺规作图，矩形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正方形的性质，垂直平分线的性质，尺规作线段的垂直平分线，解题的关键是熟练掌握相关性质，作出图形，数形结合，并注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市第十九中学2024-2025学年度第二学期6月阶段性测试九年级数学 一、选择题（每小题3分，共36分） 1. 以下选项中，比1小2的数是（ ） A. B. C. D. 2. 的处理器采用先进封装技术，其内部某微型元件的直径为米．数据“”用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “鼓舞”是国家级非物质文化遗产之一，左图是“鼓舞”人偶模型，其中“鼓”的俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在同一平面内，将三角板顶点摆放在直尺下沿线上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 在端午假期中，“黔货出山”旅游商店第一天售出件吉祥物，第二天的销售量比第一天的2倍少1件，则代数式“”表示的意义是（ ） A. 第二天售出吉祥物的数量 B. 第二天比第一天多售出吉祥物的数量 C. 两天共售出吉祥物的数量 D. 第二天比第一天少售出吉祥物的数量 6. 小星计划利用假期，从“黄果树”“小七孔”“西江苗寨”中随机选择一处景点游览，则选中“黄果树”的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点A，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 用代入消元法解方程组时，将①代入②，得（ ） A. B. C. D. 10. 已知点到两条坐标轴的距离相等，则点的坐标为( ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 11. 如图1，以直角三角形的三边为边长制作正方形纸片，它们的面积分别记为．现将正方形纸片放置在最大的正方形内，如图2，阴影部分面积记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，平行四边形ABCD的周长为16，∠B＝60°，设AB的长为x，平行四边形ABCD的面积为y，则表示y与x的函数关系的图象大致是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 计算：______． 14. 如图，小颖在10×10的方格纸中绘制图形“19”，为计算它的面积，小颖将米粒随机撒在方格纸上，经过大量重复试验，发现米粒落在“19”区域的频率稳定在常数附近，由此可估计图形“19”的面积为_______． 15. 已知一元二次方程的两根分别为和，则______． 16. 如图，在等腰直角三角形中，，，点为边上一点，，连接，将绕点逆时针旋转至，连接交于点则_____． 三、解答题 17. （1）计算：； （2）图是小星同学进行分式化简的过程， 请认真阅读并完成相应任务： ①小星同学的化简过程从第______步开始出现错误； ②请写出正确的化简过程，并从，，中选择合适的数代入求值． 化简：． 解：原式 第一步 第二步 第三步 第四步 18. 贵州拥有独特的高原山地气候，孕育了丰富多样且品质优异的水果资源．为保障水果线上销售渠道更通畅，某水果种植户计划从甲、乙两家快递公司中选择一家合作．因此，该种植户收集了10家水果种植户对两家公司在配送速度和服务质量方面的评价，并整理、描述、分析如下： 配送速度和服务质量得分统计表： 项目统计快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 分 分 分 乙 分 分 分 （1）表格中的______；圆心角的度数为______； （2）综合上表中的统计量，你认为该水果种植户应选择______家快递公司； （3）在甲公司配送服务质量获得7分的4位快递员（3名男生，1名女生）中，抽取2人进行配送速度调查，请用列表或者画树状图的方法计算恰好抽到两名男生的概率． 19. 如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，延长到点，使得，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 20. 2025年全民健身热潮持续升温，为丰富学生课余生活，增强学生体质，我校今年采购了一批体育器材．其中篮球的单价比足球的单价多元，用元购买的篮球数量与用元购买的足球数量相等． （1）求我校今年购买篮球和足球的单价各是多少元？ （2）若明年足球的单价比今年提高，篮球的单价与今年相同，我校明年计划再购买这两类球共个，且购买足球和篮球的总费用不超过元，求我校明年至少要购买多少个足球？ 21. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，直线交轴于点，交轴于点，过点作轴于点，若． （1）求和的值； （2）点是轴上一点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出符合题意的点的坐标． 22. 项目式学习 【项目主题】探秘路灯：太阳能电池板离地面有多高？ 【项目背景】学完《锐角三角函数》后，数学兴趣小组计划运用刚学到的三角函数知识，破解太阳能路灯电池板离地高度的秘密，让数学真正“活”起来！ 【提出问题】太阳能路灯电池板离地面高度的测量． 【实践任务】 课题太阳能路灯电池板离地面高度的测量 建立模型 如图所示，已知测角仪的高度为米，在测点处安置测角仪，测得点的仰角为，在与点相距2米的测点处安置等高的测角仪，测得点的仰角为，点在同一条直线上． 解决问题 计算太阳能路灯电池板距离地面的高度． （1）设米，用含的代数式表示的长为______米； （2）求电池板离地面的高度的长．（结果精确到米）（参考数据， 23. 如图，在中，以上一点为圆心，长为半径作圆，连接交于点，连接并延长交于点与相切于点． （1）求证：是切线； （2）当时，求的半径； （3）若是中点，直接写出，与的数量关系． 24. 纸飞机承中华千年飞天梦，形溯纸莺竹骨之巧．纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段．其中纸飞机上抛和下降的飞行轨迹可看作是一段抛物线，滑行的飞行轨迹是一条线段，滑行距离受滑行比（若纸飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为米，则滑行比为）的影响．如图所示，小明玩纸飞机，其起抛点的高度为米，当纸飞机的水平飞行距离为米时达到最大高度米． （1）求这条抛物线的表达式； （2）小明前方距离小明米，有一堵米高的墙，若纸飞机能顺利飞过这堵墙（不考虑墙的厚度，且不包括端点），求的取值范围； （3）小明根据多次实验，得到其折叠的纸飞机的滑行比为，纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能使纸飞机整个飞行阶段的水平飞行距离至少为米？（受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超过米）． 25. 综合与实践 在矩形中，，点在射线上，将沿翻折，使点落在点处． （1）【初步探究】如图①，若点在线段上，点恰好落在对角线上，则的长为______； （2）【深入思考】如图②，若点在射线上，点在矩形外，且，在图中用无刻度的直尺和圆规作出折痕（不写作法，保留痕迹），并求的长； （3）【拓展提升】如图③，若点在线段上，点是线段的三等分点，将沿翻折，点对应点为点，若三点共线，求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $