函数模型的拟合问题讲义-2026届高三数学一轮复习

函数模型的拟合问题 课前学习任务 一、必备知识 1．几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 2．三种函数模型的性质 函数性质 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞)上的单调性 单调____ 单调____ 单调递增 增长速度 越来越____ 越来越____ 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与____平行 随x的增大逐渐表现为与____平行 随n值变化 而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax 二、练基础 1．在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1，2，…，11)，并由实验数据得到散点图如图．由此散点图，在区间[－2，3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx C．y＝a＋logbx D．y＝a＋ 2．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度v满足公式：v＝w ln ，其中M为火箭推进剂质量，m为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，w为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当M＝3m时，v＝5.544km/s．在保持w不变的情况下，若m＝25t，假设要使v超过第一宇宙速度达到8km/s，则M至少约为(结果精确到1，参考数据：e2≈7.389，ln 2≈0.693)(　　) A．135t B．160t C．185t D．210t 3．在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(　　) 　　　　　　 A　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 4．我国国内生产总值(GDP)2023年比2014年翻了一番，则平均每年的增长率是____． 课堂核心考点 题组强化 考点一 用函数图象刻画变化过程 例1　(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示．根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是(　　) A．首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用 B．每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒 C．首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用 D．首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法． (1) 构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2) 验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 考点二 已知函数模型的实际问题 视角1　二次函数模型 例 2－1　(2024·重庆期末)某医药公司生产某种药品，每年生产此药品不超过300千件，此药品的年固定成本为250万元，每生产x千件需另投入成本C(x)＝x2＋10x(单位：万元)．每千件药品售价为50万元，在疫情防控期间，该公司生产的药品能全部售完． (1) 当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ (2) 当年产量为多少千件时，每千件药品的平均利润最大？并求最大平均利润． 视角2　指数函数型 例 2－2　(2024·武汉期初)某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理．已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N(单位：mg/L)与时间t(单位：h)的关系为N＝N0e－kt，其中N0为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的(　　) A．49% B．51% C．65.7% D．72.9% 视角3　对数函数型 例 2－3　候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙．研究某种鸟类的专家发现，某种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量M之间的关系为v＝a＋blog3(其中a，b是常数)，据统计，该种鸟类在静止时的耗氧量为45个单位，而其耗氧量为105个单位时，其飞行速度为1 m/s． (1) 求出a，b的值； (2) 若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？ 考点三 构造函数模型的实际问题 例3　汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．某种算法将报警时间分为4段(如图所示)，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(单位：m/s)，且0≤v≤33.3时，通过大数据统计分析得到下表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9)． (例3) 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 t0 t1＝0.8 s t2＝0.2 s t3 距离 d0＝30 m d1 d2 d3＝m (1) 请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式； (2) 若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90 m，则汽车的行驶速度应限制在多少以下？ 课后提升练 一、单项选择题 1．从甲地到乙地的距离约为240 km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h，0≤v≤120)的下列数据： v 0 40 60 80 120 Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是(　　) A．Q＝av＋b B．Q＝av3＋bv2＋cv C．Q＝0.5v＋a D．Q＝klogav＋b 2．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图： 由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程模型的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2 C．y＝a＋bex D．y＝a＋b ln x 3.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区疫情累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)(　　) A．60 B．63 C．66 D．69 4．在我国，每年因酒后驾车引发的交通事故达数万起，酒后驾车已经成为交通事故的第一大“杀手”．《中华人民共和国道路交通安全法》中规定：酒后驾车是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于20 mg/100 mL．某课题小组研究发现人体血液中的酒精含量V(t)(单位：mg/100 mL)与饮酒后经过的时间t(单位：h)近似满足关系式V(t)＝其中W为饮酒者的体重(单位： kg)，m为酒精摄入量(单位： mL)．根据上述关系式，已知某驾驶员体重75 kg，他快速饮用了含150 mL酒精的白酒，若要合法驾驶车辆，最少需在(　　) (参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.1，ln 5≈1.61) A．12小时后 B．24小时后 C．26小时后 D．28小时后 5．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M．2024年3月25日，斐济附近海域发生里氏5.1级地震，它所释放的能量是同日我国新疆阿克苏地区发生里氏3.1级地震的(　　) A．10倍 B．100倍 C．1 000倍 D．10 000倍 6．假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%．那么，大约需要经过多少天，甲的“日能力值”是乙的20倍？(参考数据：lg 102≈2.008 6，lg 99≈1.995 6，lg 2≈0.301 0)(　　) A．23 B．100 C．150 D．232 二、多项选择题 7．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示，横轴为投资时间，纵轴为每天的回报．根据以上信息，要使回报最多，下列说法正确的是(　　) A．投资3天以内(含3天)，采用方案一 B．投资4天，不采用方案三 C．投资6天，采用方案一 D．投资12天，采用方案二 8．氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期是12.43年．样本中氚的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·2－，其中N0表示氚原有的质量，则(参考数据：lg 2≈0.301)(　　) A．t＝12.43log2 B．经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若x年后，样本中氚元素的含量为0.4N0，则x＞16 9．英国经济学家凯恩斯(1883—1946)研究了国民收入支配与国家经济发展之间的关系，强调政府对市场经济的干预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派——凯恩斯学派．凯恩斯抽象出三个核心要素：国民收入Y，国民消费C和国民投资I．假设国民收入不是用于消费就是用于投资，则有其中常数a0表示房租、水电等固定消费，a(a≤1)为国民“边际消费倾向”，则(　　) A．若固定I且I≥0，则国民收入越高，“边际消费倾向”越大 B．若固定Y且Y≥0，则“边际消费倾向”越大，国民投资越高 C．若a＝，则收入增长量是投资增长量的5倍 D．若a＝－，则收入增长量是投资增长量的 三、填空题 10． 一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍．现假定对一张足够大的纸张(其厚度等同于0.076 6毫米的胶版纸)进行无限次的对折．借助计算工具进行运算，整理记录了其中的三次数据如下： 折纸次数 纸张厚度 参照物 22 321米 苏州东方之门的高度约为301.8米 27 10 281米 珠穆朗玛峰的高度约为8 848米 38 2.1万公里 地球直径约为1.3万公里 已知地球到月亮的距离约为38万公里，理论上至少对折____次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离． 11．物理学家本·福特提出的定律：在b进制的大量随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pb(n)＝logb．应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误．若 P10(n)＝(k∈N*)，则k＝____． 答案解析 课前学习任务 2. 递增　递增　快　慢　y轴　x轴 1. B　【解析】 由散点图的定义域可排除C，D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型． 2. B　【解析】 由题意知，当M＝3m时，v＝5.544km/s，故可以得到5.544＝w ln (1＋)＝2w ln 2，解得w＝≈4，故v＝4ln (1＋).由题意知，当m＝25t，v＝8km/s时，可以得到8＝4ln (1＋)，解得M＝25(e2－1)≈160t. 3. C　【解析】 在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除B；能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是C. 4. －1　【解析】 设年均增长率为x，根据题意得(1＋x)9＝2，解得x＝－1，所以平均每年的增长率是－1. 课堂核心考点 例1　ABC　【解析】 从图象中可以看出，首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用1单位该药物，约1小时后血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，再1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误． 例2-1　【解答】 (1) 设所获利润为y万元，则由题可得y＝50x－(x2＋10x)－250＝－x2＋40x－250＝－(x－200)2＋3 750(0<x≤300).当x＝200时，ymax＝3 750，所以当年产量为200千件时，在这一药品的生产中所获利润最大，最大利润为3 750万元． (2) 由题可知平均利润为＝－(＋)＋40≤－2＋40＝30，当且仅当＝，即x＝50时等号成立，所以当年产量为50千件时，每千件药品的平均利润最大，最大平均利润为30万元． 例2-2　C　【解析】 依题意，前2个小时过滤后剩余污染物数量为70%N0，于是70%N0＝N0e－2k，解得e－2k＝0.7.因此前6小时过滤后剩余污染物数量为N＝N0e－6k＝N0(e－2k)3＝N0×0.73＝0.343N0，所以前6小时共能过滤掉污染物的＝65.7%. 例2-3　【解答】 (1) 由题意可得0＝a＋blog3，化简得a＋b＝0①，1＝a＋blog3，化简得a＋2b＝1②，联立①②，解得a＝－1，b＝1. (2) 由(1)得v＝－1＋log3，令－1＋log3≥2，得log3≥3，即log3≥log327，解得M≥285，所以这种鸟类飞行的速度不低于2 m/s时，其耗氧量至少要285个单位． 例3　【解答】 (1) 根据题意，d＝d0＋d1＋d2＋d3＝30＋0.8v＋0.2v＋＝30＋v＋(0≤v≤33.3). (2) 根据题意，对任意的k∈[0.5，0.9]，d<90恒成立，即对任意的k∈[0.5，0.9]，30＋v＋<90恒成立．易知当v＝0时，满足题意；当0<v≤33.3时，有<－对任意的k∈[0.5，0.9]恒成立．由k∈[0.5，0.9]，得∈[，]，所以－>，即v2＋10v－600<0，解得－30<v<20，所以0<v<20.综上，0≤v<20，即汽车的行驶速度应限制在20 m/s以下． 课后提升练 1. B　【解析】 依题意可知，该函数必须满足三个条件：第一，定义域为[0，120]；第二，在定义域上单调递增；第三，函数经过坐标原点．对于A，Q＝av＋b不经过坐标原点，故A不符合；对于B，Q＝av3＋bv2＋cv满足以上三个条件，故B符合；对于C，Q＝0.5v＋a在定义域内单调递减，故C不符合；对于D，当v＝0时，Q＝klogav＋b无意义，故D不符合． 2. D　【解析】 由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程模型的是y＝a＋b ln x. 3. C　【解析】 因为I(t)＝，所以I(t*)＝＝0.95K，则e0.23(t*－53)＝19，所以0.23(t*－53)＝ln 19≈3，解得t*≈＋53≈66. 4. B　【解析】 当0≤t<1时，V(t)＝×(－t2＋2t＋1)＝－[(t－1)2－2]，所以V(t)<V(1)＝＝200>20；当t≥1时，令V(t)＝×()t－1＝200×()t－1<20，即()t－1<，所以t－1>≈23，所以t>24. 5. C　【解析】 设里氏5.1级和3.1级地震释放出的能量分别为E1和E2，由lg E＝4.8＋1.5M，得则lg ＝lg E1－lg E2＝3，因此＝103＝1 000，所以它释放的能量是里氏3.1级地震的1 000倍． 6. B　【解析】 令甲和乙刚开始的“日能力值”为1，n天后，甲、乙的“日能力值”分别为(1＋2%)n，(1－1%)n，依题意，＝20，即()n＝20，两边取对数得n lg ＝lg 20，因此n＝≈≈100，所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍． 7. ABC　【解析】 由图可知，投资3天以内(含3天)，结合图象对应的高低，可知方案一的回报最多，所以A正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，结合图象对应的高低，可知方案一、方案二都比方案三高，所以B正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，结合图象对应的高低，可知方案一比方案二、方案三高，所以C正确；投资12天，根据图象的变化可知，方案三高很多，所以采用方案三，所以D错误． 8. CD　【解析】 由题意得N＝N0·2－，故有＝2－，两边同时取对数得log2＝－，故得t＝－12.43log2，故A错误；当t＝24.86时，N＝N0·2－＝2－2·N0＝N0，故B错误；当t＝62.15时，N＝N0·2－＝2－5·N0＝N0，故经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确；由题意得0.4N0＝N0·2－，化简得x＝－12.43log2＝－12.43log2＝－12.43(log22－log25)＝－12.43(1－log25)＝－12.43(1－)＝－12.43(1－)，将lg 2≈0.301代入其中，可得x≈－12.43(1－)≈16.4>16，故D正确． 9. AC　【解析】 由题意可得固定I且I≥0，又所以Y＝a0＋aY＋I，所以a＝1－，由于a0，I为定值，所以可得Y增大时(国民收入越高)，a增大(“边际消费倾向”越大)，故A正确；由上可得I＝Y－Y·a－a0，a0，Y为定值，故a增大，I减小(投资越小)，故B错误；若a＝，由Y＝a0＋aY＋I，可得Y＝5a0＋5I，由导数的定义可得＝5，所以可得收入增长量是投资增长量的5倍，故C正确；同C项讨论可得若a＝－，可得9Y＝5a0＋5I，因此收入增长量是投资增长量的，故D错误． 10. 43　【解析】设a＝0.076 6，则由题意知a·238＝2.1(万公里)，设至少对折x次，纸张厚度超过38万公里，则a·2x>38⇒·2x>38⇒2x－38>≈18.1.因为24＝16<18<25＝32，函数y＝2x在R上单调递增，所以x－38≥5⇒x≥43，所以理论上至少对折43次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离． 11. 9　【解析】 P10(n)＝P10(k)＋P10(k＋1)＋…＋P10(80)＝lg ＋lg ＋…＋lg ＝lg ，而＝＝＝2lg 3＝lg 9，故k＝9. 学科网（北京）股份有限公司 $$