第十一章11.1.1整式的乘法之幂的运算讲义2025-2026学年沪教版（五四制）（2024）七年级数学 上册

11.1.1整式的乘法（1） 1、 同底数幂的乘法 1、幂的运算概念：求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，叫做底数，叫做指数． 含义：中，为底数，为指数，即表示的个数，表示有个连续相乘． 例如：表示，表示，表示 ，表示，表示． 特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号． 2、“奇负偶正”口诀的应用： 口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：；． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号． （3）有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正． 例如：，． 特别地：当为奇数时，；而当为偶数时，． 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． 正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1” 归纳总结： 同底数幂相乘的性质：同底数幂相乘，___ __不变，_ _相加。 (m，n，p都是正整数) 【例题精讲】 【例1】计算下列各式，结果用幂的形式表示： （1）； （2）； （3）； （4）． 【难度】★ 【巩固】计算下列各式，结果用幂的形式表示： （1） （2） （3） （4） ； 【难度】★ 【例2】计算下列各式，结果用幂的形式表示． （1）； （2）； 【难度】★ 【巩固】计算下列各式，结果用幂的形式表示． （1） （2） 【难度】★ 【答案】 （1） （2） 【例3】在下列各小题的横线上，填上适当的正负号： 从上述练习中你能得到什么规律？ 【难度】★★ 【巩固】尝试计算： ； ； ； ； ； . 【难度】★★ 【例4】计算： 【难度】★★ 【巩固】尝试计算：（1） （2） 【难度】★★ 【例5】在下列各小题的横线上，填上适当的正负号： ； ； ； ． 【难度】★★ 【巩固】把下列各式化成的形式： ； ； ； ； 【难度】★★ 【例6】若，请用含a的式子表示的值． 【难度】★★ 【巩固】已知，试问a、b、c之间有怎样的关系？请说明理由． 【难度】★★ 【例7】如果，且，试求m、n的值． 【难度】★★ 【巩固】求值： （1）已知：，求的值． （2）已知：，求的值． 【难度】★★ 【拓展提高】 【例8】若，求的值． 【难度】★★★ 【巩固】若，求的值 【难度】★★★ 【例9】解关于的方程： （1）； （2）已知． 【难度】★★★ 【巩固训练1】 1． 　 　 2．___ ____ ___ ____ 3． 　　 　　 4．下列等式中，正确的是（ ） (A) (B) (C) (D) 5. 下列等式中能成立的是（ ） （A） （B） （C） （D） 6. 计算（1）． （2）（用的幂的形式表示结果）． （3） ． 7．若，且，求的值． 【难度】★ 二、幂的乘方 引入：计算； ； （1）= = （2）= = （3）= = 猜想：如果m、n都是正整数，那么 = 幂的乘方法则：幂的乘方， 不变， 相乘。 (m，n都是正整数) 【例1】计算下列各式，结果用幂的形式表示． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【难度】★ 【巩固】计算下列各式，结果用幂的形式表示． （1）； （2）； （3）[]； （4）[] （5）； （6）； （7） （8） 【难度】★ 【例2】把下列各式写成或的形式： （1） （2）[] 【难度】★ 【例3】已知：（为正整数），求的值． 【难度】★★ 【例4】计算 （1）； （2）． 【难度】★★ 【例5】计算： （1）； （2）． 【难度】★★ 【例6】已知求的值． 【难度】★★ 【拓展提高】 【例7】已知（、、都是正整数），且不大于3，求的值． 【难度】★★★ 【例8】比较大小： （1）比较下列一组数的大小：在，，，； （2）比较下列一组数的大小：； 【难度】★★★ 三、积的乘方 我们知道表示n个a相乘，那么表示什么呢？ ； ____________个 ； ________个________个 积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 (n是正整数) 拓展：这个性质对于三个或三个以上因式的积的乘方适用吗？如 【例1】计算：（1） （2） （3） （4） 【难度】★ 【巩固】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【难度】★ 【例2】计算： （1）； （2）； （3）． 【难度】★ 【巩固】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【难度】★ 【例3】用简便方法计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【难度】★★ 【巩固】简便计算： （1）； （2）； （3）． 【难度】★★ 【拓展提高】 【例4】已知，求的值． 【难度】★★★ 【巩固】已知：，求的值． 【难度】★★★ 【例5】计算：． 【难度】★★★ 【巩固训练】 1．下列等式成立的是（　 　） （A） （B） （C） （D） 2．如果x和y互为倒数，那么的值为 （ ）． A．x B．–x C．y D． –y 3．计算：（结果用幂的形式表示）． 4．计算：= ． 5．计算： ． 6．= （结果用幂的形式表示）． 7．若，则x= ． 8、填空： （1）计算：=__________； （2）计算：=__________； （3）计算：=__________． 9、用简便方法计算： （1）； （2）； （3）． 【难度】★★ 10、如果，求n的值． 【难度】★★ 11、已知、互为负倒数，、互为相反数，的绝对值为，则 =__________． 【难度】★★ 12、已知有理数，，满足，求的值． 【难度】★★ 13、已知，求之间的一个数量关系． 【难度】★★ 14、已知：，求的值． 【难度】★★★ 【反思总结】 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.1.1整式的乘法（1） 1、 同底数幂的乘法 1、幂的运算概念：求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，叫做底数，叫做指数． 含义：中，为底数，为指数，即表示的个数，表示有个连续相乘． 例如：表示，表示，表示 ，表示，表示． 特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号． 2、“奇负偶正”口诀的应用： 口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：；． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号． （3）有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正． 例如：，． 特别地：当为奇数时，；而当为偶数时，． 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． 正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1” 归纳总结： 同底数幂相乘的性质：同底数幂相乘，___ __不变，_ _相加。 (m，n，p都是正整数) 【例题精讲】 【例1】计算下列各式，结果用幂的形式表示： （1）； （2）； （3）； （4）． 【难度】★ 【巩固】计算下列各式，结果用幂的形式表示： （1） （2） （3） （4） ； 【难度】★ 【例2】计算下列各式，结果用幂的形式表示． （1）； （2）； 【难度】★ 【巩固】计算下列各式，结果用幂的形式表示． （1） （2） 【难度】★ 【例3】在下列各小题的横线上，填上适当的正负号： 从上述练习中你能得到什么规律？ 【难度】★★ 【巩固】尝试计算： ； ； ； ； ； . 【难度】★★ 【例4】计算： 【难度】★★ 【巩固】尝试计算：（1） （2） 【难度】★★ 【例5】在下列各小题的横线上，填上适当的正负号： ； ； ； ． 【难度】★★ 【巩固】把下列各式化成的形式： ； ； ； ； 【难度】★★ 【例6】若，请用含a的式子表示的值． 【难度】★★ 【巩固】已知，试问a、b、c之间有怎样的关系？请说明理由． 【难度】★★ 【例7】如果，且，试求m、n的值． 【难度】★★ 【巩固】求值： （1）已知：，求的值． （2）已知：，求的值． 【难度】★★ 【拓展提高】 【例9】若，求的值． 【难度】★★★ 【巩固】若，求的值 【难度】★★★ 【例10】解关于的方程： （1）； （2）已知． 【难度】★★★ 【巩固训练1】 1． 　 　 2．___ ____ ___ ____ 3． 　　 　　 4．下列等式中，正确的是（ ） (A) (B) (C) (D) 5. 下列等式中能成立的是（ ） （A） （B） （C） （D） 6. 计算（1）． （2）（用的幂的形式表示结果）． （3） ． 7．若，且，求的值． 【难度】★ 二、幂的乘方 引入：计算； ； （1）= = （2）= = （3）= = 猜想：如果m、n都是正整数，那么 = 幂的乘方法则：幂的乘方， 不变， 相乘。 (m，n都是正整数) 【例1】计算下列各式，结果用幂的形式表示． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【难度】★ 【巩固】计算下列各式，结果用幂的形式表示． （1）； （2）； （3）[]； （4）[] （5）； （6）； （7） （8） 【难度】★ 【例2】把下列各式写成或的形式： （1） （2）[] 【难度】★ 【例3】已知：（为正整数），求的值． 【难度】★★ 【例4】计算 （1）； （2）． 【难度】★★ 【例5】计算： （1）； （2）． 【难度】★★ 【例6】已知求的值． 【难度】★★ 【拓展提高】 【例7】已知（、、都是正整数），且不大于3，求的值． 【难度】★★★ 【例8】比较大小： （1）比较下列一组数的大小：在，，，； （2）比较下列一组数的大小：； 【难度】★★★ 三、积的乘方 我们知道表示n个a相乘，那么表示什么呢？ ； ____________个 ； ________个________个 积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 (n是正整数) 拓展：这个性质对于三个或三个以上因式的积的乘方适用吗？如 【例1】计算：（1） （2） （3） （4） 【难度】★ 【巩固】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【难度】★ 【例2】计算： （1）； （2）； （3）． 【难度】★ 【巩固】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【难度】★ 【例3】用简便方法计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【难度】★★ 【巩固】简便计算： （1）； （2）； （3）． 【难度】★★ 【拓展提高】 【例4】已知，求的值． 【难度】★★★ 【巩固】已知：，求的值． 【难度】★★★ 【例5】计算：． 【难度】★★★ 【巩固训练】 1．下列等式成立的是（　 　） （A） （B） （C） （D） 2．如果x和y互为倒数，那么的值为 （ ）． A．x B．–x C．y D． –y 3．计算：（结果用幂的形式表示）． 4．计算：= ． 5．计算： ． 6．= （结果用幂的形式表示）． 7．若，则x= ． 8、填空： （1）计算：=__________； （2）计算：=__________； （3）计算：=__________． 9、用简便方法计算： （1）； （2）； （3）． 【难度】★★ 10、如果，求n的值． 【难度】★★ 11、已知、互为负倒数，、互为相反数，的绝对值为，则 =__________． 【难度】★★ 12、已知有理数，，满足，求的值． 【难度】★★ 13、已知，求之间的一个数量关系． 【难度】★★ 14、已知：，求的值． 【难度】★★★ 【反思总结】 学科网（北京）股份有限公司 $$